Equações constitutivas de viscoelasticidade linear

Existem vários modelos constitutivos para materiais viscoelásticos lineares. Esses modelos incluem o modelo Maxwell, o modelo Kelvin-Voigt e o modelo sólido viscoelástico linear padrão que combina os dois modelos acima. Todos estes modelos decompõem a tensão e a deformação em duas somas, uma que representa efeitos elásticos e outra que representa efeitos viscosos, sendo estes modelos interpretáveis ​​em termos de molas e amortecedores. Cada um desses modelos difere na disposição das molas e amortecedores.

Outra propriedade interessante é que as equações constitutivas também podem ser interpretadas em termos de circuitos elétricos, nos quais o estresse mecânico seria equivalente à tensão e a taxa de deformação seria equivalente à intensidade da corrente. O módulo de elasticidade seria equivalente à capacitância do circuito (que mede a capacidade de armazenamento de energia) e a viscosidade à resistência do circuito (que mede a capacidade de dissipar energia).

Modelo Maxwell

O modelo de Maxwell é um caso particular da expressão () em que , também chamado de material viscoelástico de “memória longa”. Uma virtude do modelo de Maxwell é que admite uma representação intuitiva em termos de molas e dissipadores (amortecedores), mais especificamente o modelo de Maxwell representa um elemento elástico disposto em série com um amortecedor. A equação constitutiva do modelo é dada pela seguinte equação diferencial de primeira ordem:.

Este modelo prevê que num material colocado sob constante deformação, as tensões irão relaxar gradualmente até se tornarem zero. Também prevê que se o material for colocado sob tensão constante, a deformação terá dois componentes, um primeiro componente elástico que aparece instantaneamente e uma deformação viscosa de longo prazo que crescerá ao longo do tempo enquanto as forças continuarem a existir. Alternativamente, a equação constitutiva deste modelo pode ser escrita como:.

Integrando o último termo por partes, é possível reescrever a expressão anterior em termos da função de relaxação e da taxa de deformação:

Para obter a função de fluência integramos diretamente (), e integrando por partes obtemos:

E não é possível encontrar uma função comum para expressar o acima na forma ().

O modelo de Maxwell prevê que a tensão irá decair exponencialmente com o tempo num polímero sujeito a deformação constante, o que se ajusta bastante bem ao que foi observado experimentalmente para muitos polímeros. No entanto, uma limitação importante é que não prevê o comportamento de fluência de muitos polímeros de forma muito fiável, uma vez que neste caso prevê um aumento linear na deformação com o tempo se a tensão for constante, no entanto a maioria dos polímeros apresenta uma taxa de deformação decrescente com o tempo. As principais aplicações deste modelo são a modelagem de polímeros termoplásticos próximos ao seu ponto de fusão, de concreto fresco e de numerosos metais próximos ao seu ponto de fusão.

Modelo Voigt-Kelvin

O modelo Kelvin-Voigt ou modelo Voigt é um caso particular da expressão () em que, também chamado de material viscoelástico de "memória curta". Tal como o modelo anterior, permite uma representação simples em termos de molas e amortecedores: o modelo é representável por um amortecedor newtoniano e uma mola que segue a lei de Hooke ligada em paralelo ao amortecedor, conforme mostrado na figura. A equação constitutiva do modelo pode ser expressa como uma equação diferencial de primeira ordem:.

Este modelo representa um sólido que sofre deformação viscoplástica reversível. Sob a aplicação de uma tensão constante, o material deforma-se a uma taxa progressivamente mais lenta, atingindo assintoticamente um estado quase estacionário. Quando as forças externas geradoras de tensão são removidas, o material relaxa ao seu estado original não deformado. Numa situação de tensão constante (fluência), o modelo é bastante realista e prevê deformações que tendem ao limite σ/E por longos tempos.

Neste caso a função de relaxação é dada pelo delta de Dirac (daí o nome “memória curta”) desde:.

Para obter a função de fluência procuramos a transformada de Laplace de () da qual é fácil isolar a transformada da deformação e aplicando a transformada inversa é fácil chegar a:

Integrando esta última expressão por partes, chegamos a uma expressão que contém a função de fluência:

Este modelo é usado para explicar o comportamento de fluência dos polímeros. Embora, assim como o modelo Maxwell, o modelo Kelvin-Voigt tenha limitações empíricas. Embora os modelos se desloquem muito bem em relação à relaxação, o modelo geralmente se adapta menos bem ao comportamento de materiais viscoelásticos. As principais aplicações do modelo são a modelagem de polímeros orgânicos, borracha, borracha e madeira quando a carga não é muito elevada.

Modelo Sólido Viscoelástico Padrão

Os dois últimos modelos apresentados apresentam limitações um tanto complementares. Por esta razão, considera-se que um modelo que combine características de ambos pode ser um modelo razoável de um sólido viscoelástico. A equação constitutiva deste modelo é dada pela seguinte equação diferencial:.

Utilizando as transformadas de Laplace, resolvendo a transformada de tensão e a antitransformação, obtém-se uma equação do tipo Volterra como nos casos anteriores, que tem a forma:.

Uma integração por partes do último termo permite-nos escrever em termos da função de relaxação e da taxa de deformação:.

Modelo de hambúrgueres

O modelo Burgers combina características dos modelos Maxwell e Kevin-Voigt. A equação constitutiva pode ser escrita de forma compacta como uma equação diferencial de segunda ordem:

Onde, usando a transformada de Laplace, a equação anterior pode ser integrada mecanicamente (assumindo que inicialmente tanto a tensão quanto a deformação e suas taxas de variação são zero):

Da qual se obtém a função de relaxação, integrando por partes:

E também através da transformada de Laplace obtém-se a expressão :.

Onde:.

O que, integrado por partes, permite obter a função de fluência:

Modelo Wiechert

O modelo Wiechert ou Maxwell-Wiechert (às vezes também modelo Maxwell generalizado) é uma generalização do modelo viscolástico padrão (e, portanto, também do modelo Maxwell simples). Este modelo leva em conta que a relação não ocorre segundo um ritmo único característico, mas sim segundo uma distribuição de escalas de tempo. Isso acontece porque existem segmentos moleculares de diferentes comprimentos, sendo que os mais curtos contribuem menos que os mais longos, daí a diversidade das escalas de tempo. O modelo Weichert modela isso usando tantos conjuntos mola-amortecedor quantos forem necessários para aproximar a distribuição da escala de tempo. A figura à direita representa um possível modelo de Wiechert.[3][4][5] Dado um modelo de Maxwell-Wiecher com elementos cujos módulos longitudinais de elasticidade são com, e cujas viscosidades são com, e com tempos de relaxação dados por, então a forma geral do modelo de Maxwell-Wiechert é dada por:.

Partindo como nos casos anteriores de um estado natural indeformado e utilizando o formalismo da transformada de Laplace, temos que a tensão é expressa como:.

Fazendo a integração por partes chegamos a:

Onde a função de relação tem diretamente a forma de uma série de Prony.

Este modelo encontra aplicação em metais e ligas metálicas em temperaturas inferiores a um quarto de sua temperatura absoluta de fusão (expressa em K).

Equações constitutivas de viscoelasticidade linear

Existem vários modelos constitutivos para materiais viscoelásticos lineares. Esses modelos incluem o modelo Maxwell, o modelo Kelvin-Voigt e o modelo sólido viscoelástico linear padrão que combina os dois modelos acima. Todos estes modelos decompõem a tensão e a deformação em duas somas, uma que representa efeitos elásticos e outra que representa efeitos viscosos, sendo estes modelos interpretáveis ​​em termos de molas e amortecedores. Cada um desses modelos difere na disposição das molas e amortecedores.

Outra propriedade interessante é que as equações constitutivas também podem ser interpretadas em termos de circuitos elétricos, nos quais o estresse mecânico seria equivalente à tensão e a taxa de deformação seria equivalente à intensidade da corrente. O módulo de elasticidade seria equivalente à capacitância do circuito (que mede a capacidade de armazenamento de energia) e a viscosidade à resistência do circuito (que mede a capacidade de dissipar energia).

Modelo Maxwell

O modelo de Maxwell é um caso particular da expressão () em que , também chamado de material viscoelástico de “memória longa”. Uma virtude do modelo de Maxwell é que admite uma representação intuitiva em termos de molas e dissipadores (amortecedores), mais especificamente o modelo de Maxwell representa um elemento elástico disposto em série com um amortecedor. A equação constitutiva do modelo é dada pela seguinte equação diferencial de primeira ordem:.

Este modelo prevê que num material colocado sob constante deformação, as tensões irão relaxar gradualmente até se tornarem zero. Também prevê que se o material for colocado sob tensão constante, a deformação terá dois componentes, um primeiro componente elástico que aparece instantaneamente e uma deformação viscosa de longo prazo que crescerá ao longo do tempo enquanto as forças continuarem a existir. Alternativamente, a equação constitutiva deste modelo pode ser escrita como:.

Integrando o último termo por partes, é possível reescrever a expressão anterior em termos da função de relaxação e da taxa de deformação:

Para obter a função de fluência integramos diretamente (), e integrando por partes obtemos:

E não é possível encontrar uma função comum para expressar o acima na forma ().

O modelo de Maxwell prevê que a tensão irá decair exponencialmente com o tempo num polímero sujeito a deformação constante, o que se ajusta bastante bem ao que foi observado experimentalmente para muitos polímeros. No entanto, uma limitação importante é que não prevê o comportamento de fluência de muitos polímeros de forma muito fiável, uma vez que neste caso prevê um aumento linear na deformação com o tempo se a tensão for constante, no entanto a maioria dos polímeros apresenta uma taxa de deformação decrescente com o tempo. As principais aplicações deste modelo são a modelagem de polímeros termoplásticos próximos ao seu ponto de fusão, de concreto fresco e de numerosos metais próximos ao seu ponto de fusão.

Modelo Voigt-Kelvin

O modelo Kelvin-Voigt ou modelo Voigt é um caso particular da expressão () em que, também chamado de material viscoelástico de "memória curta". Tal como o modelo anterior, permite uma representação simples em termos de molas e amortecedores: o modelo é representável por um amortecedor newtoniano e uma mola que segue a lei de Hooke ligada em paralelo ao amortecedor, conforme mostrado na figura. A equação constitutiva do modelo pode ser expressa como uma equação diferencial de primeira ordem:.

Este modelo representa um sólido que sofre deformação viscoplástica reversível. Sob a aplicação de uma tensão constante, o material deforma-se a uma taxa progressivamente mais lenta, atingindo assintoticamente um estado quase estacionário. Quando as forças externas geradoras de tensão são removidas, o material relaxa ao seu estado original não deformado. Numa situação de tensão constante (fluência), o modelo é bastante realista e prevê deformações que tendem ao limite σ/E por longos tempos.

Neste caso a função de relaxação é dada pelo delta de Dirac (daí o nome “memória curta”) desde:.

Para obter a função de fluência procuramos a transformada de Laplace de () da qual é fácil isolar a transformada da deformação e aplicando a transformada inversa é fácil chegar a:

Integrando esta última expressão por partes, chegamos a uma expressão que contém a função de fluência:

Este modelo é usado para explicar o comportamento de fluência dos polímeros. Embora, assim como o modelo Maxwell, o modelo Kelvin-Voigt tenha limitações empíricas. Embora os modelos se desloquem muito bem em relação à relaxação, o modelo geralmente se adapta menos bem ao comportamento de materiais viscoelásticos. As principais aplicações do modelo são a modelagem de polímeros orgânicos, borracha, borracha e madeira quando a carga não é muito elevada.

Modelo Sólido Viscoelástico Padrão

Os dois últimos modelos apresentados apresentam limitações um tanto complementares. Por esta razão, considera-se que um modelo que combine características de ambos pode ser um modelo razoável de um sólido viscoelástico. A equação constitutiva deste modelo é dada pela seguinte equação diferencial:.

Utilizando as transformadas de Laplace, resolvendo a transformada de tensão e a antitransformação, obtém-se uma equação do tipo Volterra como nos casos anteriores, que tem a forma:.

Uma integração por partes do último termo permite-nos escrever em termos da função de relaxação e da taxa de deformação:.

Modelo de hambúrgueres

O modelo Burgers combina características dos modelos Maxwell e Kevin-Voigt. A equação constitutiva pode ser escrita de forma compacta como uma equação diferencial de segunda ordem:

Onde, usando a transformada de Laplace, a equação anterior pode ser integrada mecanicamente (assumindo que inicialmente tanto a tensão quanto a deformação e suas taxas de variação são zero):

Da qual se obtém a função de relaxação, integrando por partes:

E também através da transformada de Laplace obtém-se a expressão :.

Onde:.

O que, integrado por partes, permite obter a função de fluência:

Modelo Wiechert

O modelo Wiechert ou Maxwell-Wiechert (às vezes também modelo Maxwell generalizado) é uma generalização do modelo viscolástico padrão (e, portanto, também do modelo Maxwell simples). Este modelo leva em conta que a relação não ocorre segundo um ritmo único característico, mas sim segundo uma distribuição de escalas de tempo. Isso acontece porque existem segmentos moleculares de diferentes comprimentos, sendo que os mais curtos contribuem menos que os mais longos, daí a diversidade das escalas de tempo. O modelo Weichert modela isso usando tantos conjuntos mola-amortecedor quantos forem necessários para aproximar a distribuição da escala de tempo. A figura à direita representa um possível modelo de Wiechert.[3][4][5] Dado um modelo de Maxwell-Wiecher com elementos cujos módulos longitudinais de elasticidade são com, e cujas viscosidades são com, e com tempos de relaxação dados por, então a forma geral do modelo de Maxwell-Wiechert é dada por:.

Partindo como nos casos anteriores de um estado natural indeformado e utilizando o formalismo da transformada de Laplace, temos que a tensão é expressa como:.

Fazendo a integração por partes chegamos a:

Onde a função de relação tem diretamente a forma de uma série de Prony.

Este modelo encontra aplicação em metais e ligas metálicas em temperaturas inferiores a um quarto de sua temperatura absoluta de fusão (expressa em K).