Ecuaciones constitutivas de viscoelasticidad lineal

Existen diversos modelos constitutivos para materiales viscoelásticos lineales. Esos modelos incluyen el modelo de Maxwell, el modelo de Kelvin-Voigt y el modelo de sólido viscoelástico lineal estándar que combina los dos modelos anteriores. Todos estos modelos descomponen la tensión y deformación en dos sumandos, uno que representa los efectos elásticos y otro que representa los efectos viscosos, siendo estos modelos, interpretables en términos de muelles y amortiguadores. Cada uno de estos modelos difiere en la disposición de los muelles y amortiguadores.

Otra propiedad interesante es que las ecuaciones constitutivas también pueden ser interpretadas en términos de circuitos eléctricos, en los que la tensión mecánica sería el equivalente del voltaje y la velocidad de deformación sería equivalente a la intensidad de corriente. El módulo elástico sería equivalente a la capacitancia del circuito (que mide la capacidad de almacenaje de energía) y la viscosidad a la resistencia del circuito (que mide la capacidad de disipar energía).

Modelo de Maxwell

El modelo de Maxwell es un caso particular de la expresión () en el que , también llamado material viscoelástico de "larga memoria". Una virtud del modelo de Maxwell es que admite una representación intuitiva en términos de muelles y disipadores (amortiguadores), más concretamente el modelo de Maxwell representa un elemento elástico dispuesto en serie con un amortiguador. La ecuación constitutiva del modelo viene dada por la siguiente ecuación diferencial de primer orden:.

Este modelo predice que en un material puesto bajo deformación constante, las tensiones gradualmente se relajarán hasta hacerse cero. Igualmente predice que si el material se pone a tensión constante la deformación tendrá dos componentes, un primer componente elástico que aparece instantáneamente y una deformación a largo plazo de tipo viscoso que crecerá con el tiempo mientras sigan existiendo fuerzas. Alternativamente la ecuación constitutiva de este modelo puede escribirse como:.

Integrando por partes el último término se puede obtener reescribir la expresión anterior en términos de la función de relajación y la velocidad de deformación:.

Para obtener la de función de creep se integra directamente (), e integrando por partes se obtiene:.

Y no es posible encontrar una función ordinaria para expresar lo anterior en la forma ().

El modelo de Maxwell predice que la tensión decaerá exponencialmente con el tiempo en un polímero sometido a deformación constante, lo cual se ajusta bastante bien a lo observado experimentalmente para muchos polímeros. Sin embargo, una limitación importante es que no predice el comportamiento de "creep" de muchos polímeros de manera demasiado fidedigna ya que en este caso predice un aumento lineal de la deformación con el tiempo si la tensión es constante, sin embargo la mayor parte de los polímeros muestran una tasa de deformación decreciente con el tiempo. Las principales aplicaciones de este modelo son la modelización de los polímeros termoplásticos cerca de su temperatura de fusión, la del hormigón fresco y la de numerosos metales cerca de su punto de fusión.

Modelo de Voigt-Kelvin

El modelo de Kelvin-Voigt o modelo de Voigt es un caso particular de la expresión () en el que , también llamado material viscoelástico de "corta memoria". Al igual que el modelo anterior admite una representación simple en términos de muelles y amortiguadores: el modelo es representable por un amortiguador newtoniano y un muelle que sigue la ley de Hooke conectado en paralelo al amortiguador, tal como muestra la figura. La ecuación constitutiva del modelo puede expresarse como ecuación diferencial de primer orden:.

Este modelo representa un sólido que sufre deformación viscoplástica reversible. Bajo la aplicación de una tensión constante el material se deforma a un ritmo progresivamente más lento, llegando asintóticamente a un estado cuasiestacionario. Cuando se eliminan las fuerzas exteriores que generan las tensiones, el material se relaja hasta su estado no deformado original. En una situación de tensión constante (creep), el modelo es bastante realista y predice deformaciones que tienden al límite σ/E para tiempos grandes.

En este caso la función de relajación viene dada por la delta de Dirac (de ahí el nombre de "corta memoria") ya que:.

Para obtener la función de creep se busca la transformada de Laplace de () de donde es fácil aislar la transformada de la deformación y aplicando la transformada inversa se llega fácilmente a que:.

Integrando por partes esta última expresión se llega a una expresión que contiene la función de creep o fluencia lenta:.

Este modelo se usa para explicar el comportamiento de "creep" de los polímeros. Aunque, al igual que el modelo de Maxwell, el modelo de Kelvin-Voigt tiene limitaciones empíricas. Aunque modela muy bien el "creep" con respecto a la relajación el modelo generalmente se ajusta menos al comportamiento de los materiales viscoelásticos. Las aplicaciones principales del modelo son la modelización de polímeros orgánicos, goma, caucho y madera cuando la carga no es muy elevada.

Modelo estándar de sólido viscoelástico

Los dos últimos modelos expuestos tienen limitaciones en cierto modo complementarias. Por esa razón se considera que un modelo que combine características de ambos puede ser un modelo razonable de sólido viscoelástico. La ecuación constitutiva de este modelo viene dada por la siguiente ecuación diferencial:.

Usando transformadas de Laplace, despejando la transformada de la tensión y antitransformando se obtiene una ecuación de tipo Volterra como en los casos anteriores, que tiene la forma:.

Una integración por partes del último término permite escribir en términos de la función de relajación y la velocidad de deformación:.

Modelo de Burgers

El modelo de Burgers combina características de los modelos de Maxwell y Kevin-Voigt. La ecuación constitutiva se puede escribir como de manera compacta como ecuación diferencial de segundo orden:.

Donde , usando la transformada de Laplace se puede integrar de manera mecánica la ecuación anterior (suponiendo que inicialmente tanto la tensión, como la deformación y sus tasas de cambio son nulas):.

De donde se obtiene, integrando por partes, la función de relajación:.

Y también mediante la transformada de Laplace se obtiene la expresión:.

Donde:.

Que, integrada por partes, permite obtener la función de creep:.

Modelo de Wiechert

El modelo de Wiechert o Maxwell-Wiechert (a veces también modelo generalizado de Maxwell) es una generalización del modelo viscolástico estándar (y por tanto también del modelo de Maxwell simple). Este modelo toma en cuenta que la relación no ocurre según un único ritmo característico, sino según una distribución de escalas de tiempo. Esto sucede porque existen segmentos moleculares de diferentes longitudes, contribuyendo los más cortos menos que los más largos, de ahí la diversidad de escalas de tiempo. El modelo de Weichert modeliza esto mediante tantos conjuntos de muelle-amortiguador como sean necesarios para aproximar la distribución de escalas de tiempo. La figura de la derecha representa un posible modelo de Wiechert.[3]​[4]​[5]​ Dado un modelo de Maxwell-Wiecher con elementos cuyos módulos de elasticidad longitudinales sean con , y cuyas viscosidades sean con , y con tiempos de relajación dados por , entonces, la forma general del modelo de Maxwell-Wiechert viene dad por:.

Partiendo igual que en los casos anteriores de un estado natural no deformado y usando el formalismo de la transformada de Laplace tenemos que la tensión se expresa como:.

Por lo haciendo integración por partes se llega a que:.

Donde la función de relación tiene directamente la forma de una serie de Prony.

Este modelo encuentra aplicación en metales y aleaciones metálicas a temperaturas más bajas que un cuarto de su temperatura absoluta de fusión (expresada en K).

Ecuaciones constitutivas de viscoelasticidad lineal

Existen diversos modelos constitutivos para materiales viscoelásticos lineales. Esos modelos incluyen el modelo de Maxwell, el modelo de Kelvin-Voigt y el modelo de sólido viscoelástico lineal estándar que combina los dos modelos anteriores. Todos estos modelos descomponen la tensión y deformación en dos sumandos, uno que representa los efectos elásticos y otro que representa los efectos viscosos, siendo estos modelos, interpretables en términos de muelles y amortiguadores. Cada uno de estos modelos difiere en la disposición de los muelles y amortiguadores.

Otra propiedad interesante es que las ecuaciones constitutivas también pueden ser interpretadas en términos de circuitos eléctricos, en los que la tensión mecánica sería el equivalente del voltaje y la velocidad de deformación sería equivalente a la intensidad de corriente. El módulo elástico sería equivalente a la capacitancia del circuito (que mide la capacidad de almacenaje de energía) y la viscosidad a la resistencia del circuito (que mide la capacidad de disipar energía).

Modelo de Maxwell

El modelo de Maxwell es un caso particular de la expresión () en el que , también llamado material viscoelástico de "larga memoria". Una virtud del modelo de Maxwell es que admite una representación intuitiva en términos de muelles y disipadores (amortiguadores), más concretamente el modelo de Maxwell representa un elemento elástico dispuesto en serie con un amortiguador. La ecuación constitutiva del modelo viene dada por la siguiente ecuación diferencial de primer orden:.

Este modelo predice que en un material puesto bajo deformación constante, las tensiones gradualmente se relajarán hasta hacerse cero. Igualmente predice que si el material se pone a tensión constante la deformación tendrá dos componentes, un primer componente elástico que aparece instantáneamente y una deformación a largo plazo de tipo viscoso que crecerá con el tiempo mientras sigan existiendo fuerzas. Alternativamente la ecuación constitutiva de este modelo puede escribirse como:.

Integrando por partes el último término se puede obtener reescribir la expresión anterior en términos de la función de relajación y la velocidad de deformación:.

Para obtener la de función de creep se integra directamente (), e integrando por partes se obtiene:.

Y no es posible encontrar una función ordinaria para expresar lo anterior en la forma ().

El modelo de Maxwell predice que la tensión decaerá exponencialmente con el tiempo en un polímero sometido a deformación constante, lo cual se ajusta bastante bien a lo observado experimentalmente para muchos polímeros. Sin embargo, una limitación importante es que no predice el comportamiento de "creep" de muchos polímeros de manera demasiado fidedigna ya que en este caso predice un aumento lineal de la deformación con el tiempo si la tensión es constante, sin embargo la mayor parte de los polímeros muestran una tasa de deformación decreciente con el tiempo. Las principales aplicaciones de este modelo son la modelización de los polímeros termoplásticos cerca de su temperatura de fusión, la del hormigón fresco y la de numerosos metales cerca de su punto de fusión.

Modelo de Voigt-Kelvin

El modelo de Kelvin-Voigt o modelo de Voigt es un caso particular de la expresión () en el que , también llamado material viscoelástico de "corta memoria". Al igual que el modelo anterior admite una representación simple en términos de muelles y amortiguadores: el modelo es representable por un amortiguador newtoniano y un muelle que sigue la ley de Hooke conectado en paralelo al amortiguador, tal como muestra la figura. La ecuación constitutiva del modelo puede expresarse como ecuación diferencial de primer orden:.

Este modelo representa un sólido que sufre deformación viscoplástica reversible. Bajo la aplicación de una tensión constante el material se deforma a un ritmo progresivamente más lento, llegando asintóticamente a un estado cuasiestacionario. Cuando se eliminan las fuerzas exteriores que generan las tensiones, el material se relaja hasta su estado no deformado original. En una situación de tensión constante (creep), el modelo es bastante realista y predice deformaciones que tienden al límite σ/E para tiempos grandes.

En este caso la función de relajación viene dada por la delta de Dirac (de ahí el nombre de "corta memoria") ya que:.

Para obtener la función de creep se busca la transformada de Laplace de () de donde es fácil aislar la transformada de la deformación y aplicando la transformada inversa se llega fácilmente a que:.

Integrando por partes esta última expresión se llega a una expresión que contiene la función de creep o fluencia lenta:.

Este modelo se usa para explicar el comportamiento de "creep" de los polímeros. Aunque, al igual que el modelo de Maxwell, el modelo de Kelvin-Voigt tiene limitaciones empíricas. Aunque modela muy bien el "creep" con respecto a la relajación el modelo generalmente se ajusta menos al comportamiento de los materiales viscoelásticos. Las aplicaciones principales del modelo son la modelización de polímeros orgánicos, goma, caucho y madera cuando la carga no es muy elevada.

Modelo estándar de sólido viscoelástico

Los dos últimos modelos expuestos tienen limitaciones en cierto modo complementarias. Por esa razón se considera que un modelo que combine características de ambos puede ser un modelo razonable de sólido viscoelástico. La ecuación constitutiva de este modelo viene dada por la siguiente ecuación diferencial:.

Usando transformadas de Laplace, despejando la transformada de la tensión y antitransformando se obtiene una ecuación de tipo Volterra como en los casos anteriores, que tiene la forma:.

Una integración por partes del último término permite escribir en términos de la función de relajación y la velocidad de deformación:.

Modelo de Burgers

El modelo de Burgers combina características de los modelos de Maxwell y Kevin-Voigt. La ecuación constitutiva se puede escribir como de manera compacta como ecuación diferencial de segundo orden:.

Donde , usando la transformada de Laplace se puede integrar de manera mecánica la ecuación anterior (suponiendo que inicialmente tanto la tensión, como la deformación y sus tasas de cambio son nulas):.

De donde se obtiene, integrando por partes, la función de relajación:.

Y también mediante la transformada de Laplace se obtiene la expresión:.

Donde:.

Que, integrada por partes, permite obtener la función de creep:.

Modelo de Wiechert

El modelo de Wiechert o Maxwell-Wiechert (a veces también modelo generalizado de Maxwell) es una generalización del modelo viscolástico estándar (y por tanto también del modelo de Maxwell simple). Este modelo toma en cuenta que la relación no ocurre según un único ritmo característico, sino según una distribución de escalas de tiempo. Esto sucede porque existen segmentos moleculares de diferentes longitudes, contribuyendo los más cortos menos que los más largos, de ahí la diversidad de escalas de tiempo. El modelo de Weichert modeliza esto mediante tantos conjuntos de muelle-amortiguador como sean necesarios para aproximar la distribución de escalas de tiempo. La figura de la derecha representa un posible modelo de Wiechert.[3]​[4]​[5]​ Dado un modelo de Maxwell-Wiecher con elementos cuyos módulos de elasticidad longitudinales sean con , y cuyas viscosidades sean con , y con tiempos de relajación dados por , entonces, la forma general del modelo de Maxwell-Wiechert viene dad por:.

Partiendo igual que en los casos anteriores de un estado natural no deformado y usando el formalismo de la transformada de Laplace tenemos que la tensión se expresa como:.

Por lo haciendo integración por partes se llega a que:.

Donde la función de relación tiene directamente la forma de una serie de Prony.

Este modelo encuentra aplicación en metales y aleaciones metálicas a temperaturas más bajas que un cuarto de su temperatura absoluta de fusión (expresada en K).