Deformações e tensões nas vigas

Se os componentes do tensor de deformação forem calculados a partir desses deslocamentos, chegaremos a:

A partir destas deformações, as tensões podem ser obtidas através das equações de Lamé-Hooke, assumindo:.

onde E é o módulo de elasticidade longitudinal, ou módulo de Young, e G o módulo de elasticidade transversal. É claro que a teoria de Euler-Bernoulli é incapaz de aproximar a energia de deformação tangencial, para isso devemos recorrer à teoria de Timoshenko, na qual:

Forças internas em vigas

A partir dos resultados anteriores e das equações de equivalência, a tensão normal, a tensão de cisalhamento e o momento fletor ao qual está submetida uma seção de uma viga submetida à flexão simples na teoria de Euler-Bernouilli podem ser obtidos de forma simples.

onde: A área da seção transversal, I o momento de inércia de acordo com o eixo em relação ao qual ocorre a flexão. A última dessas equações é justamente a equação da curva elástica, uma das equações básicas da teoria das vigas que relaciona as forças internas ao campo de deslocamento vertical.

Equações de equilíbrio

As equações de equilíbrio para uma viga são a aplicação das equações da estática a um vão de viga em equilíbrio. As forças que intervêm na seção seriam a carga externa aplicada à viga e as forças cortantes atuantes nas seções extremas que delimitam a seção. Se a seção estiver em equilíbrio, isso implica que a soma das forças verticais deve ser zero, e também a soma dos momentos de força na fibra neutra deve ser zero na direção tangente à fibra neutra. Estas duas condições só podem ser atendidas se a variação da tensão de cisalhamento e do momento fletor estiver relacionada à carga vertical por unidade de comprimento por:.

Cálculo de tensões em vigas

O cálculo de tensões em vigas geralmente requer conhecer a variação das forças internas e a partir delas aplicar a fórmula adequada dependendo se a viga está submetida a flexão, torção, tensão normal ou tensão de cisalhamento. O tensor de tração de uma viga é dado em função das forças internas por:.

onde as tensões podem ser determinadas, aproximadamente, a partir das forças internas. Se for considerado um sistema de eixos principais de inércia na viga, considerado como um prisma mecânico, as tensões associadas à extensão, flexão, cisalhamento e torção acabam sendo:

donde:.

As tensões normais e tangenciais máximas em qualquer seção transversal da viga podem ser calculadas a partir da primeira () e da terceira () tensão principal:.

Em vigas metálicas, o critério de ruptura é frequentemente utilizado se em algum ponto a tensão equivalente de Von Mises exceder uma determinada tensão última definida a partir do limite elástico. Nesse caso, o critério de falha pode ser escrito como:

Deformações e tensões nas vigas

Se os componentes do tensor de deformação forem calculados a partir desses deslocamentos, chegaremos a:

A partir destas deformações, as tensões podem ser obtidas através das equações de Lamé-Hooke, assumindo:.

onde E é o módulo de elasticidade longitudinal, ou módulo de Young, e G o módulo de elasticidade transversal. É claro que a teoria de Euler-Bernoulli é incapaz de aproximar a energia de deformação tangencial, para isso devemos recorrer à teoria de Timoshenko, na qual:

Forças internas em vigas

A partir dos resultados anteriores e das equações de equivalência, a tensão normal, a tensão de cisalhamento e o momento fletor ao qual está submetida uma seção de uma viga submetida à flexão simples na teoria de Euler-Bernouilli podem ser obtidos de forma simples.

onde: A área da seção transversal, I o momento de inércia de acordo com o eixo em relação ao qual ocorre a flexão. A última dessas equações é justamente a equação da curva elástica, uma das equações básicas da teoria das vigas que relaciona as forças internas ao campo de deslocamento vertical.

Equações de equilíbrio

As equações de equilíbrio para uma viga são a aplicação das equações da estática a um vão de viga em equilíbrio. As forças que intervêm na seção seriam a carga externa aplicada à viga e as forças cortantes atuantes nas seções extremas que delimitam a seção. Se a seção estiver em equilíbrio, isso implica que a soma das forças verticais deve ser zero, e também a soma dos momentos de força na fibra neutra deve ser zero na direção tangente à fibra neutra. Estas duas condições só podem ser atendidas se a variação da tensão de cisalhamento e do momento fletor estiver relacionada à carga vertical por unidade de comprimento por:.

Cálculo de tensões em vigas

O cálculo de tensões em vigas geralmente requer conhecer a variação das forças internas e a partir delas aplicar a fórmula adequada dependendo se a viga está submetida a flexão, torção, tensão normal ou tensão de cisalhamento. O tensor de tração de uma viga é dado em função das forças internas por:.

onde as tensões podem ser determinadas, aproximadamente, a partir das forças internas. Se for considerado um sistema de eixos principais de inércia na viga, considerado como um prisma mecânico, as tensões associadas à extensão, flexão, cisalhamento e torção acabam sendo:

donde:.

As tensões normais e tangenciais máximas em qualquer seção transversal da viga podem ser calculadas a partir da primeira () e da terceira () tensão principal:.

Em vigas metálicas, o critério de ruptura é frequentemente utilizado se em algum ponto a tensão equivalente de Von Mises exceder uma determinada tensão última definida a partir do limite elástico. Nesse caso, o critério de falha pode ser escrito como: