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La filtración ha evolucionado como un arte práctico desde aplicaciones primitivas, como la tradicional filtración en lecho de arena empleado desde la antigüedad para la extracción de agua potable, recibiendo una mayor atención teórica durante el siglo a partir de los trabajos[3] de P. Carman en 1937[4] y B. Ruth en 1946[5] estudios que fueron progresivamente ampliados en trabajos con medios porosos,[6] por Heertjes y colaboradores en 1949 y 1966[7] y Tiller[8] entre 1953 y 1964. Anteriormente, varios autores han revisado el estado de los conocimientos en filtración tanto desde una perspectiva práctica en los trabajos de Cain en 1984[9] y Kiefer, en 1991[10] como en sus principios teóricos con las publicaciones de Bear, 1988[11] y Norden en 1994.[12].
Aunque la teoría de la filtración no se emplea en exclusiva para el diseño de filtros en aplicaciones concretas, es frecuentemente empleada para la interpretación de resultados a escala de laboratorio, la optimización de aplicaciones o la predicción de cambios en las condiciones de trabajo. Su principal limitación reside en el hecho de que las características de la mezcla a tratar de partículas sólidas y fluido, a veces llamada lechada, por su complejidad e interacción pueden ser muy variables en los diferentes casos reales.
El principio teórico de la filtración se fundamenta en la cuantificación de la relación básica de velocidad un fluido o caudal:.
donde la fuerza impulsora (F) que puede ser la fuerza de gravedad, el empuje de una bomba de presión o de succión, o la fuerza centrífuga, mientras que la resistencia (R) es la suma de la ofrecida por el medio filtrante y la torta de sólido formada sobre el mismo.
La velocidad del fluido se ve condicionada por el hecho de que tiene que atravesar un medio irregular constituido por los canales pequeños formados en los intersticios de la torta y el medio
filtrante (percolación), de manera que se puede aplicar la fórmula obtenida fluidodinámica de la ley de Hagen-Poiseuille:.
donde la velocidad diferencial o instantánea, es decir, el volumen (V) filtrado por tiempo (θ) y por unidad de superficie (A), se relaciona con la fuerza impulsora o caída total de presión (P) sobre el producto de la viscosidad del filtrado (μ) por la suma de la resistencia de la torta y la del medio de filtración (r). La resistencia de la torta se expresa por la relación entre el peso (W) y el área en función de una constante (α) promedio característica de cada torta.[3].
Por su parte, si se considera la aproximación de que la torta es incompresible o compactada de manera uniforme, la masa de la torta filtrante (W) se relaciona con el volumen de filtrado (V) mediante un sencillo balance de materia:.
donde la masa de sólidos por unidad de volumen filtrado (ω) es función de la densidad del filtrado (ρ), la fracción de sólidos en la corriente de aporte o concentración (c) y la relación de masas entre la torta húmeda y la seca.
La constante de resistencia específica de la torta (α) se relaciona con la presión por la fórmula:.
donde α' es otra constante que depende del tamaño de las partículas que conforman la torta y s, una constante de compresibilidad que varía de 0, para tortas incompresibles como diatomeas y arena fina,
a 1, para las muy compresibles.
Estudos experimentais
Estudos de filtração em laboratório ou em pequena escala permitem frequentemente obter experimentalmente e com uma configuração simples medições da variação ao longo do tempo do volume (velocidade) e pressão filtrados, dependendo de três tipos de fluxo:
Em testes de filtração de pressão constante, o fluido é bombeado por um gás ou ar comprimido que é mantido na mesma pressão. Nessas condições, a equação de Hagen-Poiseuille adaptada simplifica-se para a equação linear:.
onde K, K' e C são constantes para as condições dadas.
Em experimentos de filtração de volume constante, bombas de deslocamento positivo são usadas para medir a diferença de pressão inicial e final da qual a pressão diferencial do meio filtrante deve ser subtraída, de modo que a equação de filtração se torne:
onde P é a gota do meio filtrante:.
equações que nos permitem chegar à seguinte expressão simplificada para a velocidade de filtração:
com K e C', constantes características para as condições dadas.
No caso geral de filtração a pressão e velocidade variáveis a solução matemática para a equação geral torna-se complexa. Tiller propôs um modelo de integração satisfatório desde que a curva característica da bomba seja conhecida.
Limitações e conclusões do modelo
Além da premissa anterior de que o modelo da equação geral de filtração só é aplicável no caso de fluidos líquidos aos quais a lei de Hagen-Poiseuille pode ser aplicada, os resultados experimentais mostraram que o modelo só é aplicável no caso de meios filtrantes que formam torta, sem que possa ser utilizado para a modelagem daqueles casos de filtração onde não há formação de torta, como no caso de aplicações de fluidos com baixa concentração de sólidos e com meios filtrantes muito porosos, onde as partículas ficam retidas no interior do canais.[13].
Porém, a equação de filtração permitiu compreender a relação entre as variáveis mais importantes na maioria dos casos práticos de modo que naqueles casos em que a torta formada é rígida, como aqueles formados por grandes partículas granulares, a constante s é considerada nula e é concluída com:.
Ou seja, a velocidade de filtração é diretamente proporcional à pressão aplicada e à área, enquanto é inversamente proporcional à viscosidade da corrente de fluido, à quantidade de torta formada e ao tamanho das partículas que a formam.
Por outro lado, quando a torta é muito compressível, como nos casos em que o sólido é muito macio ou deformável, a solução da equação leva à conclusão de que a velocidade de filtração é independente da pressão aplicada e apenas proporcional à grande área de filtração: