Torção pura de Saint-Venant
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La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant da buenas aproximaciones para valores , esto suele cumplirse en:.
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- Secciones macizas de gran inercia torsional (circulares o de otra forma).
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- Secciones tubulares cerradas de pared delgada.
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- Secciones multicelulares de pared delgada.
Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo existe giro.
Torção reta: teoria de Coulomb
A teoria de Coulomb é aplicável a eixos de transmissão de energia sólidos ou ocos; devido à simetria circular da seção, não pode haver empenamento diferencial na seção. De acordo com a teoria de Coulomb, a torção gera uma tensão de cisalhamento que é calculada pela fórmula:
Onde:.
Esta equação baseia-se na hipótese cinemática de Coulomb sobre como uma peça prismática com simetria de revolução se deforma, ou seja, é uma teoria aplicável apenas a elementos de seção circular circular ou oca. Para peças com seção deste tipo, assume-se que o eixo baricêntrico permanece inalterado e qualquer outra linha paralela ao eixo se transforma em uma espiral que gira em torno do eixo bariccêntrico, ou seja, aceita-se que a deformação seja dada por deslocamentos do tipo:
O tensor de deformação para uma peça torcida como a anterior é obtido derivando apropriadamente os componentes anteriores do vetor de deslocamento:
A partir desses componentes do tensor de deformação usando as equações de Lamé-Hooke, o tensor de tensão é dado por:
Usando as equações de equivalência chegamos à relação entre a função α e o torque:
Onde , é o momento polar de inércia que é a soma dos segundos momentos de área.
Torção não reta: teoria de Saint-Venant
Para uma barra reta de seção não circular, além da rotação relativa, aparecerá um pequeno empenamento que requer uma hipótese cinemática mais complicada. Para representar a deformação, pode-se tomar um sistema de eixos no qual
Onde está a rotação relativa da seção (sendo sua derivada constante); sendo z e y as coordenadas do centro de cisalhamento em relação ao centro de gravidade da seção transversal e ω(y, z) sendo a função de empenamento unitário que dá os deslocamentos perpendiculares à seção e nos permite saber a forma curva final que a seção transversal terá. Deve-se notar que a teoria que postula que a derivada do spin é constante é apenas uma aproximação útil para peças com grande inércia torcional.
Calculando as componentes do tensor de deformação a partir das derivadas do deslocamento, temos:
Calculando as tensões das deformações anteriores e introduzindo-as na equação de equilíbrio elástico chegamos a:.
Analogia da membrana de Prandtl
Para seções sólidas de grande rigidez torcional, a distribuição das tensões associadas à torção apresenta uma analogia mecânica com a deformação de uma membrana elástica quase plana. Especificamente, Prandtl provou em 1903 que a forma adotada pela membrana pode ser relacionada a uma função de tensão cujas derivadas fornecem as tensões tangenciais em cada direção. Em outras palavras, a inclinação de uma membrana de Prandtl deformada coincide com as tensões tangenciais de torção de um prisma mecânico cuja seção transversal tem precisamente o mesmo formato da membrana.
Nesse caso, para uma seção simplesmente conectada (ou seja, sólida), o problema de torção pode ser colocado em termos da função de tensão de Prandtl, que é definida por:.
E em termos destes as tensões são dadas por:.
Seções fechadas simples de paredes finas
Neste caso as tensões tangenciais podem ser consideradas aproximadamente constantes numa linha paralela à espessura da peça, ou seja, perpendicular ao contorno exterior da peça. A tensão tangencial neste caso pode ser expressa por:.
Onde:.
Enquanto a reviravolta:
Caso a espessura seja e(s) = econstante, esta última equação se reduz a:.