O conceito de limite de uma sequência "Sequência (matemática)") refere-se a um elemento ao qual os termos da sequência se aproximam progressivamente. Para que este valor exista, deve haver um termo a partir do qual a sequência fique "presa" dentro de uma bola aberta de raio arbitrariamente pequeno centrada nesse valor.

Let Ser uma sequência de elementos em um espaço métrico. Diz-se que é o limite da sequência e é denotado como:.

se, e somente se, para cada valor real, um número natural puder ser encontrado tal que todos os termos da sequência começando em estejam a uma distância menor que . Escrito em linguagem formal:[8]​.

Se houver um valor que satisfaça a condição anterior, então esse valor é único.[9]​ Neste caso, a sequência é dita convergente, pois converge ou tende para quando tende ao infinito. Caso contrário, a sequência não tem limite e é dita divergente.

No caso dos números reais, a distância é dada pelo valor absoluto da diferença. O comportamento de longo prazo (para ) de sequências divergentes de números reais pode variar: há sequências que tendem ao infinito (positiva ou negativa), que oscilam dentro de um intervalo (delimitado por um limite superior e um limite inferior), ou nenhuma das opções acima.

Na análise real para funções de uma variável, uma definição de limite "Definição (matemática)") pode ser semelhante à do limite de uma sequência, em que os valores que a função assume dentro de um intervalo "Intervalo (matemática)") ou raio de convergência se aproximam de um ponto fixo c — ponto de acumulação —, independentemente de este pertencer ao domínio da função.[10] Isto pode ser generalizado para funções de diversas variáveis ​​ou funções em espaços diferentes. métrica.

Coloquialmente, diz-se que o limite da função f(x) quando x tende para c é L, e está escrito:.

se for possível encontrar para cada ocasião um x suficientemente próximo de c tal que o valor de f(x) seja tão próximo de L quanto desejado.

Para maior rigor matemático, utiliza-se a definição de limite épsilon-delta, que é mais rigorosa e torna o limite uma ótima ferramenta para análises reais. Sua definição é a seguinte:

Esta definição pode ser escrita usando termos lógico-matemáticos e de forma compacta:.

Esta definição equivale ao limite de uma sequência, uma função é contínua se:.

Na teoria dos conjuntos também é utilizado o conceito de limite, que pode ser calculado sobre uma sequência de conjuntos. Para isso, os conjuntos devem atender a uma série de condições, como a monotonia (aumentar ou diminuir). De forma mais geral, e utilizando a definição de limite superior e limite inferior para qualquer sequência de conjuntos, diz-se que o limite desta sequência existe se o limite superior e o limite inferior existirem e forem iguais. Em geral você tem:

Se o limite do primeiro mandato e o penúltimo mandato forem iguais, todas as igualdades serão verificadas. Esses conceitos são muito úteis em disciplinas matemáticas como a teoria da medida, especialmente em espaços de probabilidade. Não é difícil construir sequências não convergentes onde se verifica que:

Redes

Todas as noções de limite acima podem ser unificadas e generalizadas para espaços topológicos arbitrários, introduzindo redes topológicas e definindo seus limites.

Seja um espaço topológico e uma rede em. Diz-se que é um ponto limite da rede se a rede estiver finalmente em todos os ambientes "Ambiente (matemática)") de, ou seja, se qualquer que seja o ambiente de (isto é, qualquer que seja o conjunto tal que exista um aberto tal que ) existe tal que para cada um com ele contém isso.

Filtros

No caso dos filtros “Filtro (matemática)”, por serem objetos matemáticos semelhantes a redes topológicas, a definição de um limite também é possível. Na verdade, seja X um espaço topológico e x um ponto de X. Diz-se que um filtro base B converge para x, denotado como B → x ou, se para cada ambiente "Ambiente (matemática)") U de x, existe um B ∈ B tal que B ⊆ U. Neste caso, x é chamado de limite de B e B é chamado de filtro de base convergente.[11]​[12]​.

Da mesma forma, pode ser aplicado a funções, estendendo-se a elas a definição de continuidade. Se X, Y são dois espaços topológicos e f: X → Y é uma função, com B sendo um filtro de vizinhança em X de um ponto a pertencente a X, então o limite em relação ao filtro B de f é y, denotado como.

se B converge para a, então f converge para y; Em outras palavras, y é o limite de f no ponto a.[11]​.

Na análise funcional, um limite de Banach é um funcional linear contínuo definido no espaço de Banach para qualquer sequência limitada de números complexos, onde uma série de condições são atendidas, entre as quais se verifica que se for uma sequência convergente, então, generalizando o conceito de limite. Portanto, é uma extensão do funcional contínuo [13]​.

Em particular, a existência do limite de Banach não é única.[13]​.

Na teoria das categorias, um ramo da matemática, é definido o conceito abstrato de limite, que utiliza propriedades essenciais de construções universais como produtos "Produto (teoria das categorias)") e limites inversos.

Infinito como limite

Existe também a noção de que um limite “tende ao infinito”, e não a um valor finito. Diz-se que uma sequência "tende ao infinito" se, para cada número real, conhecido como limite, existe um número inteiro tal que para cada,

Isto é, para cada limite possível, a sucessão excederá o limite. Isso geralmente é expresso da seguinte forma ou simplesmente:

É possível que uma sequência seja divergente, mas não tenda ao infinito. Essas sequências são chamadas oscilatórias. Por exemplo, uma sequência oscilatória é.

Existe uma noção correspondente de tendência ao infinito negativo, definida pela modificação da desigualdade na definição anterior para com.

Uma sequência com é chamada boundaryless, uma definição também válida para sequências de números complexos ou em qualquer espaço métrico. Sequências que não tendem ao infinito são chamadas de limitadas. Sequências que não tendem a um infinito positivo são chamadas de limitadas acima, enquanto aquelas que não tendem a um infinito negativo são chamadas de limitadas abaixo.

Esta noção é utilizada em sistemas dinâmicos, para estudar os limites das trajetórias. Definindo uma trajetória como uma função, o ponto define a “posição” da trajetória no “tempo”. O conjunto limite de uma trajetória é definido como segue. Para qualquer sequência de tempos crescentes, existe uma sequência de posições associada. Se for o limite da sequência para qualquer sequência de tempos crescentes, então é um conjunto limite da trajetória.

Tecnicamente, este é o limite estabelecido. O conjunto correspondente de limites para sequências de tempo decrescente é chamado de conjunto de limites.

Um exemplo ilustrativo é o caminho circular: . Não possui limite único, mas para cada um, o ponto é um ponto limite, dada a sucessão de tempos. Mas não é necessário que os pontos limites sejam alcançados pela trajetória. A trajetória também tem o círculo unitário como limite definido.

O conceito de limite de uma sequência "Sequência (matemática)") refere-se a um elemento ao qual os termos da sequência se aproximam progressivamente. Para que este valor exista, deve haver um termo a partir do qual a sequência fique "presa" dentro de uma bola aberta de raio arbitrariamente pequeno centrada nesse valor.

Let Ser uma sequência de elementos em um espaço métrico. Diz-se que é o limite da sequência e é denotado como:.

se, e somente se, para cada valor real, um número natural puder ser encontrado tal que todos os termos da sequência começando em estejam a uma distância menor que . Escrito em linguagem formal:[8]​.

Se houver um valor que satisfaça a condição anterior, então esse valor é único.[9]​ Neste caso, a sequência é dita convergente, pois converge ou tende para quando tende ao infinito. Caso contrário, a sequência não tem limite e é dita divergente.

No caso dos números reais, a distância é dada pelo valor absoluto da diferença. O comportamento de longo prazo (para ) de sequências divergentes de números reais pode variar: há sequências que tendem ao infinito (positiva ou negativa), que oscilam dentro de um intervalo (delimitado por um limite superior e um limite inferior), ou nenhuma das opções acima.

Na análise real para funções de uma variável, uma definição de limite "Definição (matemática)") pode ser semelhante à do limite de uma sequência, em que os valores que a função assume dentro de um intervalo "Intervalo (matemática)") ou raio de convergência se aproximam de um ponto fixo c — ponto de acumulação —, independentemente de este pertencer ao domínio da função.[10] Isto pode ser generalizado para funções de diversas variáveis ​​ou funções em espaços diferentes. métrica.

Coloquialmente, diz-se que o limite da função f(x) quando x tende para c é L, e está escrito:.

se for possível encontrar para cada ocasião um x suficientemente próximo de c tal que o valor de f(x) seja tão próximo de L quanto desejado.

Para maior rigor matemático, utiliza-se a definição de limite épsilon-delta, que é mais rigorosa e torna o limite uma ótima ferramenta para análises reais. Sua definição é a seguinte:

Esta definição pode ser escrita usando termos lógico-matemáticos e de forma compacta:.

Esta definição equivale ao limite de uma sequência, uma função é contínua se:.

Na teoria dos conjuntos também é utilizado o conceito de limite, que pode ser calculado sobre uma sequência de conjuntos. Para isso, os conjuntos devem atender a uma série de condições, como a monotonia (aumentar ou diminuir). De forma mais geral, e utilizando a definição de limite superior e limite inferior para qualquer sequência de conjuntos, diz-se que o limite desta sequência existe se o limite superior e o limite inferior existirem e forem iguais. Em geral você tem:

Se o limite do primeiro mandato e o penúltimo mandato forem iguais, todas as igualdades serão verificadas. Esses conceitos são muito úteis em disciplinas matemáticas como a teoria da medida, especialmente em espaços de probabilidade. Não é difícil construir sequências não convergentes onde se verifica que:

Redes

Todas as noções de limite acima podem ser unificadas e generalizadas para espaços topológicos arbitrários, introduzindo redes topológicas e definindo seus limites.

Seja um espaço topológico e uma rede em. Diz-se que é um ponto limite da rede se a rede estiver finalmente em todos os ambientes "Ambiente (matemática)") de, ou seja, se qualquer que seja o ambiente de (isto é, qualquer que seja o conjunto tal que exista um aberto tal que ) existe tal que para cada um com ele contém isso.

Filtros

No caso dos filtros “Filtro (matemática)”, por serem objetos matemáticos semelhantes a redes topológicas, a definição de um limite também é possível. Na verdade, seja X um espaço topológico e x um ponto de X. Diz-se que um filtro base B converge para x, denotado como B → x ou, se para cada ambiente "Ambiente (matemática)") U de x, existe um B ∈ B tal que B ⊆ U. Neste caso, x é chamado de limite de B e B é chamado de filtro de base convergente.[11]​[12]​.

Da mesma forma, pode ser aplicado a funções, estendendo-se a elas a definição de continuidade. Se X, Y são dois espaços topológicos e f: X → Y é uma função, com B sendo um filtro de vizinhança em X de um ponto a pertencente a X, então o limite em relação ao filtro B de f é y, denotado como.

se B converge para a, então f converge para y; Em outras palavras, y é o limite de f no ponto a.[11]​.

Na análise funcional, um limite de Banach é um funcional linear contínuo definido no espaço de Banach para qualquer sequência limitada de números complexos, onde uma série de condições são atendidas, entre as quais se verifica que se for uma sequência convergente, então, generalizando o conceito de limite. Portanto, é uma extensão do funcional contínuo [13]​.

Em particular, a existência do limite de Banach não é única.[13]​.

Na teoria das categorias, um ramo da matemática, é definido o conceito abstrato de limite, que utiliza propriedades essenciais de construções universais como produtos "Produto (teoria das categorias)") e limites inversos.

Infinito como limite

Existe também a noção de que um limite “tende ao infinito”, e não a um valor finito. Diz-se que uma sequência "tende ao infinito" se, para cada número real, conhecido como limite, existe um número inteiro tal que para cada,

Isto é, para cada limite possível, a sucessão excederá o limite. Isso geralmente é expresso da seguinte forma ou simplesmente:

É possível que uma sequência seja divergente, mas não tenda ao infinito. Essas sequências são chamadas oscilatórias. Por exemplo, uma sequência oscilatória é.

Existe uma noção correspondente de tendência ao infinito negativo, definida pela modificação da desigualdade na definição anterior para com.

Uma sequência com é chamada boundaryless, uma definição também válida para sequências de números complexos ou em qualquer espaço métrico. Sequências que não tendem ao infinito são chamadas de limitadas. Sequências que não tendem a um infinito positivo são chamadas de limitadas acima, enquanto aquelas que não tendem a um infinito negativo são chamadas de limitadas abaixo.

Esta noção é utilizada em sistemas dinâmicos, para estudar os limites das trajetórias. Definindo uma trajetória como uma função, o ponto define a “posição” da trajetória no “tempo”. O conjunto limite de uma trajetória é definido como segue. Para qualquer sequência de tempos crescentes, existe uma sequência de posições associada. Se for o limite da sequência para qualquer sequência de tempos crescentes, então é um conjunto limite da trajetória.

Tecnicamente, este é o limite estabelecido. O conjunto correspondente de limites para sequências de tempo decrescente é chamado de conjunto de limites.

Um exemplo ilustrativo é o caminho circular: . Não possui limite único, mas para cada um, o ponto é um ponto limite, dada a sucessão de tempos. Mas não é necessário que os pontos limites sejam alcançados pela trajetória. A trajetória também tem o círculo unitário como limite definido.