Levando em conta que esta teoria assume que o coeficiente de Poisson é insignificante para o cálculo das tensões normais, mas não para as tensões tangenciais, podemos expressar o campo de tensões com a ajuda das equações de Lamé da seguinte forma:

E que as forças tangenciais são escritas como:.

Onde temos isso é o Módulo de Young, é o Módulo de Cisalhamento ou Módulo de Cisalhamento, é um dos Parâmetros de Lamé e é a dilatação cúbica, que é calculada como.

Podemos definir o momento fletor atuante no elemento como a soma de um par de forças atuantes na seção transversal, representado pelas forças normais atuantes na área da seção transversal da viga. Podemos expressar isso matematicamente como:.

Da mesma forma podemos definir a força cortante atuante na viga, como a soma das forças atuantes na seção transversal da viga, ou seja, as forças cortantes que atuam na área da seção transversal do elemento. Matematicamente é expresso como:

Substituindo nestas expressões o valor das tensões normais () e das tensões de cisalhamento () obtidos na seção anterior, temos:

Onde está a deformação por flexão do elemento. É interessante apreciar isso e depender apenas do eixo coordenado.

A expressão para as tensões normais (), nos diz que a variação ao longo da espessura do elemento é linear, o que podemos considerar exato, de acordo com a teoria clássica das vigas.[2]​ Em contrapartida, a expressão para as tensões tangenciais (), nos mostra que sua distribuição na seção transversal é uniforme (independente das coordenadas e ). Este resultado pode ser considerado uma “melhoria” em relação à teoria de Euler-Bernoulli, que prevê e mesmo que a força cortante seja diferente de zero.

Mesmo assim, o resultado da teoria de Timoshenko de distribuição uniforme na seção transversal também não pode ser considerado exato, pois está em clara contradição, por exemplo, com a distribuição parabólica presente em elementos de seção retangular[2]​ que é deduzida exatamente pela fórmula de Collignon. Para neutralizar este problema, adota-se um coeficiente de forma ou distorção, que busca igualar o trabalho de deformação constante com o exato. Desta forma podemos expressar a tensão tangencial () e a força cortante como:.

Onde é chamada de área reduzida da seção transversal. O coeficiente de forma depende da forma da seção transversal e do coeficiente de Poisson e está na faixa . A determinação precisa deste coeficiente não é simples no caso geral e vários autores forneceram estimativas para diferentes secções transversais; Por exemplo, Cowper (1966)[3]​ forneceu expressões para seções de tubos retangulares, circulares e de paredes finas, entre outras.

A tabela a seguir apresenta o fator de correção de cisalhamento para vigas com materiais elásticos isotrópicos, segundo Cowper, para as seções mais comuns.

onde está o índice de Poisson.

A seguir, estamos interessados ​​em encontrar o campo de deslocamentos transversais, que nos dá a forma da viga deformada em termos das ações externas, que podem ser forças perpendiculares ao eixo da viga (pontuais ou distribuídas), bem como torques concentrados. Eventualmente, poderá ser necessário obter também a torção da secção transversal. Começaremos estabelecendo as equações de equilíbrio para um elemento de viga diferencial como o mostrado na figura, o que também explica a convenção de sinais que será utilizada neste desenvolvimento.

A partir do equilíbrio de forças na direção do elemento diferencial, obtemos:

Do equilíbrio de momentos, obtemos:

Por outro lado, combinando a expressão do momento fletor obtida na seção anterior, com a expressão fornecida acima (na seção Campo de deslocamento) e utilizando , obtemos:

Alternativa 1.

Se as duas expressões anteriores forem combinadas e o equilíbrio das forças verticais também for considerado, obtém-se uma equação diferencial de segunda ordem na incógnita, que pode ser resolvida por dupla integração se duas condições de contorno forem conhecidas e se a distribuição do momento fletor for conhecida. (Nota-se que a força distribuída costuma ser um fato do problema). Esta equação é:

Alternativa 2.

Se for derivado em relação à equação de equilíbrio de momentos e for considerada a relação obtida na seção de Forças Internas, obtemos:

Se estas duas expressões forem combinadas, novamente considerando a relação entre e o cisalhamento e assumindo uma seção transversal constante, obtém-se uma equação diferencial na qual aparece a derivada da força cortante em relação a. Esta derivada pode ser eliminada usando o equilíbrio de forças expresso acima, para obter uma equação diferencial de quarta ordem na incógnita que pode ser resolvida em termos de carga distribuída, desde que quatro condições de contorno sejam conhecidas. Esta equação é:

Alternativa 3.

Alternativamente, é possível encontrar a deformação da viga resolvendo duas equações diferenciais de primeira ordem de maneira gradual: a primeira delas é simplesmente a relação já mencionada, enquanto a segunda vem da reescrita da expressão dada na seção sobre Campo de Deslocamento, levando em consideração (1), a relação ; (2), a relação entre cisalhamento e (3), a equação do equilíbrio de momentos.

As duas equações diferenciais mencionadas são as seguintes:.

A primeira equação pode ser resolvida em termos do momento fletor se uma condição de contorno para a rotação da seção transversal da viga for conhecida. Uma vez encontrada, a segunda equação pode ser resolvida em termos de cisalhamento se uma condição de contorno para o deformado for conhecida.

Levando em conta que esta teoria assume que o coeficiente de Poisson é insignificante para o cálculo das tensões normais, mas não para as tensões tangenciais, podemos expressar o campo de tensões com a ajuda das equações de Lamé da seguinte forma:

E que as forças tangenciais são escritas como:.

Onde temos isso é o Módulo de Young, é o Módulo de Cisalhamento ou Módulo de Cisalhamento, é um dos Parâmetros de Lamé e é a dilatação cúbica, que é calculada como.

Podemos definir o momento fletor atuante no elemento como a soma de um par de forças atuantes na seção transversal, representado pelas forças normais atuantes na área da seção transversal da viga. Podemos expressar isso matematicamente como:.

Da mesma forma podemos definir a força cortante atuante na viga, como a soma das forças atuantes na seção transversal da viga, ou seja, as forças cortantes que atuam na área da seção transversal do elemento. Matematicamente é expresso como:

Substituindo nestas expressões o valor das tensões normais () e das tensões de cisalhamento () obtidos na seção anterior, temos:

Onde está a deformação por flexão do elemento. É interessante apreciar isso e depender apenas do eixo coordenado.

A expressão para as tensões normais (), nos diz que a variação ao longo da espessura do elemento é linear, o que podemos considerar exato, de acordo com a teoria clássica das vigas.[2]​ Em contrapartida, a expressão para as tensões tangenciais (), nos mostra que sua distribuição na seção transversal é uniforme (independente das coordenadas e ). Este resultado pode ser considerado uma “melhoria” em relação à teoria de Euler-Bernoulli, que prevê e mesmo que a força cortante seja diferente de zero.

Mesmo assim, o resultado da teoria de Timoshenko de distribuição uniforme na seção transversal também não pode ser considerado exato, pois está em clara contradição, por exemplo, com a distribuição parabólica presente em elementos de seção retangular[2]​ que é deduzida exatamente pela fórmula de Collignon. Para neutralizar este problema, adota-se um coeficiente de forma ou distorção, que busca igualar o trabalho de deformação constante com o exato. Desta forma podemos expressar a tensão tangencial () e a força cortante como:.

Onde é chamada de área reduzida da seção transversal. O coeficiente de forma depende da forma da seção transversal e do coeficiente de Poisson e está na faixa . A determinação precisa deste coeficiente não é simples no caso geral e vários autores forneceram estimativas para diferentes secções transversais; Por exemplo, Cowper (1966)[3]​ forneceu expressões para seções de tubos retangulares, circulares e de paredes finas, entre outras.

A tabela a seguir apresenta o fator de correção de cisalhamento para vigas com materiais elásticos isotrópicos, segundo Cowper, para as seções mais comuns.

onde está o índice de Poisson.

A seguir, estamos interessados ​​em encontrar o campo de deslocamentos transversais, que nos dá a forma da viga deformada em termos das ações externas, que podem ser forças perpendiculares ao eixo da viga (pontuais ou distribuídas), bem como torques concentrados. Eventualmente, poderá ser necessário obter também a torção da secção transversal. Começaremos estabelecendo as equações de equilíbrio para um elemento de viga diferencial como o mostrado na figura, o que também explica a convenção de sinais que será utilizada neste desenvolvimento.

A partir do equilíbrio de forças na direção do elemento diferencial, obtemos:

Do equilíbrio de momentos, obtemos:

Por outro lado, combinando a expressão do momento fletor obtida na seção anterior, com a expressão fornecida acima (na seção Campo de deslocamento) e utilizando , obtemos:

Alternativa 1.

Se as duas expressões anteriores forem combinadas e o equilíbrio das forças verticais também for considerado, obtém-se uma equação diferencial de segunda ordem na incógnita, que pode ser resolvida por dupla integração se duas condições de contorno forem conhecidas e se a distribuição do momento fletor for conhecida. (Nota-se que a força distribuída costuma ser um fato do problema). Esta equação é:

Alternativa 2.

Se for derivado em relação à equação de equilíbrio de momentos e for considerada a relação obtida na seção de Forças Internas, obtemos:

Se estas duas expressões forem combinadas, novamente considerando a relação entre e o cisalhamento e assumindo uma seção transversal constante, obtém-se uma equação diferencial na qual aparece a derivada da força cortante em relação a. Esta derivada pode ser eliminada usando o equilíbrio de forças expresso acima, para obter uma equação diferencial de quarta ordem na incógnita que pode ser resolvida em termos de carga distribuída, desde que quatro condições de contorno sejam conhecidas. Esta equação é:

Alternativa 3.

Alternativamente, é possível encontrar a deformação da viga resolvendo duas equações diferenciais de primeira ordem de maneira gradual: a primeira delas é simplesmente a relação já mencionada, enquanto a segunda vem da reescrita da expressão dada na seção sobre Campo de Deslocamento, levando em consideração (1), a relação ; (2), a relação entre cisalhamento e (3), a equação do equilíbrio de momentos.

As duas equações diferenciais mencionadas são as seguintes:.

A primeira equação pode ser resolvida em termos do momento fletor se uma condição de contorno para a rotação da seção transversal da viga for conhecida. Uma vez encontrada, a segunda equação pode ser resolvida em termos de cisalhamento se uma condição de contorno para o deformado for conhecida.