El concepto de límite de una sucesión "Sucesión (matemática)") se refiere a un elemento al que los términos de la sucesión se aproximan progresivamente. Para que este valor exista, debe de haber un término a partir del cual la sucesión queda «atrapada» dentro de una bola abierta de radio arbitrariamente pequeño centrada en dicho valor.

Sea una sucesión de elementos en un espacio métrico . Se dice que es el límite de la sucesión y se denota como:.

si, y solo si para todo valor real se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la sucesión a partir de están a una distancia de inferior a . Escrito en un lenguaje formal:[8]​.

Si existe un valor que satisface la anterior condición, entonces este valor es único.[9]​ En tal caso se dice que la sucesión es convergente, puesto que converge o tiende a cuando tiende a infinito. En caso contrario, la sucesión no tiene límite y se dice que es divergente.

En el caso de números reales, la distancia viene dada por el valor absoluto de la diferencia. El comportamiento a largo plazo (para ) de las sucesiones divergentes de números reales puede variar: hay sucesiones que tienden hacia el infinito (positivo o negativo), que oscilan dentro de un rango (delimitado por un límite superior y un límite inferior), o ninguna de las anteriores.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición "Definición (matemática)") de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo "Intervalo (matemática)") o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c — punto de acumulación —, independientemente de que este pertenezca al dominio de la función.[10]​ Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Coloquialmente, se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a c es L , y se escribe:.

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:.

Esta definición se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:.

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:.

En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera , se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales. En general se tiene:.

Si el límite primer término y el penúltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades. Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad. No es difícil construir sucesiones no convergentes donde se verifica que:.

Redes

Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes "Red (matemáticas)") topológicas y la definición de sus límites.

Sea un espacio topológico y una red en . Se dice que es un punto límite de la red si la red está finalmente en cada entorno "Entorno (matemática)") de , es decir, si cualquiera que sea el entorno de (esto es, cualquiera que sea el conjunto de forma que exista un abierto tal que ) existe un de tal forma que para cada con se cumple que .

Filtros

En el caso de filtros "Filtro (matemáticas)"), por ser objetos matemáticos similares a redes topológicas, también es posible la definición de límite. En efecto, sea X un espacio topológico y x un punto de X. Se dice que un filtro base B converge a x, denotado como B → x o , si para todo entorno "Entorno (matemática)") U de x, existe un B ∈ B tal que B ⊆ U. En este caso, x se llama límite de B y B se denomina filtro base convergente.[11]​[12]​.

De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definición de continuidad a estas. Si X, Y son dos espacios topológicos y f: X → Y es una función, siendo B un filtro entorno en X de un punto a perteneciente a X, entonces el límite con respecto al filtro B de f es y, denotado como.

si B converge a a, luego f converge a y; dicho de otra forma, y es el límite de f en el punto a.[11]​.

En análisis funcional, un límite de Banach es un funcional lineal continuo definido sobre el espacio de Banach para toda sucesión acotada de números complejos, donde se cumplen una serie de condiciones entre las que se encuentra que si es una sucesión convergente, entonces , generalizando el concepto de límite. Por lo tanto, es una extensión del funcional continuo [13]​.

En particular, la existencia del límite de Banach no es única.[13]​.

En teoría de categorías, una rama de la matemática, se define el concepto abstracto de límite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales como productos "Producto (teoría de categorías)") y límites inversos.

El infinito como límite

También existe la noción de que un límite «tienda al infinito», en lugar de a un valor finito . Una sucesión se dice que "tiende al infinito" si, para cada número real , conocido como la frontera, existe un número entero tal que para cada ,

O sea, para toda frontera posible, la sucesión llegará a exceder la frontera. A menudo ello se expresa de la siguiente manera o simplemente .

Es posible que una sucesión sea divergente, pero no tienda al infinito. Tales sucesiones se denominan oscilatorias. Por ejemplo una sucesión oscilatoria es .

Existe una noción correspondiente de tendencia al infinito negativo, , definida modificando la desigualdad en la definición previa a con.

Una sucesión con es denominada sin frontera, una definición también válida para sucesiones de números complejos, o en cualquier espacio métrico. Las secuencias que no tienden a infinito se denominan acotadas. Las sucesiones que no tienden a un infinito positivo son denominadas acotadas por arriba, mientras que aquellas que no tienden a un infinito negativo son denominadas acotadas por abajo.

Esta noción se utiliza en sistemas dinámicos, para estudiar los límites de las trayectorias. Definiendo una trayectoria como una función , el punto define la "posición" de la trayectoria en al "tiempo" . El conjunto límite de una trayectoria se define como sigue. Para cualquier sucesión de tiempos crecientes , existe una sucesión asociada de posiciones . Si es el límite de la sucesión para cualquier sucesión de tiempos crecientes, entonces es un conjunto límite de la trayectoria.

Técnicamente, este es el conjunto límite . El correspondiente conjunto de límites para sucesións de tiempo decreciente se denomina el conjunto límite .

Un ejemplo ilustrativo es la trayectoria circular: . La misma no posee un límite único, pero para cada , el punto es un punto límite, dada la sucesión de tiempos . Pero no es necesario que los puntos límite sean alcanzados por la trayectoria. La trayectoria también tiene al círculo unitario somo su conjunto límite.

El concepto de límite de una sucesión "Sucesión (matemática)") se refiere a un elemento al que los términos de la sucesión se aproximan progresivamente. Para que este valor exista, debe de haber un término a partir del cual la sucesión queda «atrapada» dentro de una bola abierta de radio arbitrariamente pequeño centrada en dicho valor.

Sea una sucesión de elementos en un espacio métrico . Se dice que es el límite de la sucesión y se denota como:.

si, y solo si para todo valor real se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la sucesión a partir de están a una distancia de inferior a . Escrito en un lenguaje formal:[8]​.

Si existe un valor que satisface la anterior condición, entonces este valor es único.[9]​ En tal caso se dice que la sucesión es convergente, puesto que converge o tiende a cuando tiende a infinito. En caso contrario, la sucesión no tiene límite y se dice que es divergente.

En el caso de números reales, la distancia viene dada por el valor absoluto de la diferencia. El comportamiento a largo plazo (para ) de las sucesiones divergentes de números reales puede variar: hay sucesiones que tienden hacia el infinito (positivo o negativo), que oscilan dentro de un rango (delimitado por un límite superior y un límite inferior), o ninguna de las anteriores.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición "Definición (matemática)") de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo "Intervalo (matemática)") o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c — punto de acumulación —, independientemente de que este pertenezca al dominio de la función.[10]​ Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Coloquialmente, se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a c es L , y se escribe:.

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:.

Esta definición se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:.

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:.

En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera , se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales. En general se tiene:.

Si el límite primer término y el penúltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades. Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad. No es difícil construir sucesiones no convergentes donde se verifica que:.

Redes

Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes "Red (matemáticas)") topológicas y la definición de sus límites.

Sea un espacio topológico y una red en . Se dice que es un punto límite de la red si la red está finalmente en cada entorno "Entorno (matemática)") de , es decir, si cualquiera que sea el entorno de (esto es, cualquiera que sea el conjunto de forma que exista un abierto tal que ) existe un de tal forma que para cada con se cumple que .

Filtros

En el caso de filtros "Filtro (matemáticas)"), por ser objetos matemáticos similares a redes topológicas, también es posible la definición de límite. En efecto, sea X un espacio topológico y x un punto de X. Se dice que un filtro base B converge a x, denotado como B → x o , si para todo entorno "Entorno (matemática)") U de x, existe un B ∈ B tal que B ⊆ U. En este caso, x se llama límite de B y B se denomina filtro base convergente.[11]​[12]​.

De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definición de continuidad a estas. Si X, Y son dos espacios topológicos y f: X → Y es una función, siendo B un filtro entorno en X de un punto a perteneciente a X, entonces el límite con respecto al filtro B de f es y, denotado como.

si B converge a a, luego f converge a y; dicho de otra forma, y es el límite de f en el punto a.[11]​.

En análisis funcional, un límite de Banach es un funcional lineal continuo definido sobre el espacio de Banach para toda sucesión acotada de números complejos, donde se cumplen una serie de condiciones entre las que se encuentra que si es una sucesión convergente, entonces , generalizando el concepto de límite. Por lo tanto, es una extensión del funcional continuo [13]​.

En particular, la existencia del límite de Banach no es única.[13]​.

En teoría de categorías, una rama de la matemática, se define el concepto abstracto de límite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales como productos "Producto (teoría de categorías)") y límites inversos.

El infinito como límite

También existe la noción de que un límite «tienda al infinito», en lugar de a un valor finito . Una sucesión se dice que "tiende al infinito" si, para cada número real , conocido como la frontera, existe un número entero tal que para cada ,

O sea, para toda frontera posible, la sucesión llegará a exceder la frontera. A menudo ello se expresa de la siguiente manera o simplemente .

Es posible que una sucesión sea divergente, pero no tienda al infinito. Tales sucesiones se denominan oscilatorias. Por ejemplo una sucesión oscilatoria es .

Existe una noción correspondiente de tendencia al infinito negativo, , definida modificando la desigualdad en la definición previa a con.

Una sucesión con es denominada sin frontera, una definición también válida para sucesiones de números complejos, o en cualquier espacio métrico. Las secuencias que no tienden a infinito se denominan acotadas. Las sucesiones que no tienden a un infinito positivo son denominadas acotadas por arriba, mientras que aquellas que no tienden a un infinito negativo son denominadas acotadas por abajo.

Esta noción se utiliza en sistemas dinámicos, para estudiar los límites de las trayectorias. Definiendo una trayectoria como una función , el punto define la "posición" de la trayectoria en al "tiempo" . El conjunto límite de una trayectoria se define como sigue. Para cualquier sucesión de tiempos crecientes , existe una sucesión asociada de posiciones . Si es el límite de la sucesión para cualquier sucesión de tiempos crecientes, entonces es un conjunto límite de la trayectoria.

Técnicamente, este es el conjunto límite . El correspondiente conjunto de límites para sucesións de tiempo decreciente se denomina el conjunto límite .

Un ejemplo ilustrativo es la trayectoria circular: . La misma no posee un límite único, pero para cada , el punto es un punto límite, dada la sucesión de tiempos . Pero no es necesario que los puntos límite sean alcanzados por la trayectoria. La trayectoria también tiene al círculo unitario somo su conjunto límite.