Teoría de parametrización
Introducción
En matemáticas, la geometría diferencial de superficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de superficies "Superficie (matemática)") o variedades diferenciales de dos dimensiones inmersas en variedades de Riemann y, en particular, en el espacio euclídeo.
Aquí se tratará de las superficies en .
Ecuación paramétrica de una superficie
Contenido
Puesto que una superficie en es una variedad diferenciable de dimensión dos, en un entorno V de una superficie, las coordenadas de cualquier punto de V pueden escribirse en función de dos parámetros (u, v), que funcionen como sistema de coordenadas propio de la superficie:.
Llamaremos a esta función r carta de la superficie.
Un punto Q = (u, v) se llama regular si en él se cumple que los vectores tangentes en las direcciones u y v no son nulos ni paralelos, es decir, que son linealmente independientes o, equivalentemente que su producto vectorial es no nulo:.
Esto es equivalente a pedir que el jacobiano de la carta r (que va desde el dominio V en a ) tenga rango máximo, es decir, sea igual a dos. Así se asegura la existencia del espacio tangente en cada punto de la superficie.
Plano tangente
Dada una superficie de y un punto se define como el único plano geométrico de que contiene al punto y que contiene a todos los vectores tangentes a la superficie en dicho punto. La ecuación analítica de este plano puede expresarse con ayuda de la ecuación paramétrica de una superficie:.
Más sencillamente el plano anterior puede escribirse como el conjunto que satisface la siguiente ecuación:.
Aquí, se ha usado la simplificación de notación
,... etc.