La teoría de la plasticidad es una rama de la mecánica de sólidos deformables que se utiliza para describir el comportamiento de los materiales que conservan remanentemente deformaciones "Plasticidad (mecánica de sólidos)") impuestas. Se caracteriza por el supuesto de que existe una regla de flujo&action=edit&redlink=1 "Regla de flujo (plasticidad) (aún no redactado)")[1] que puede usarse para determinar la cantidad de deformación plástica en el material.
En consecuencia, se supone que la deformación total de un cuerpo se puede descomponer de forma aditiva (o multiplicativa) en una parte elástica y una parte plástica. La parte elástica de la deformación se puede calcular a partir de un modelo constitutivo elástico lineal o hiperelástico. Sin embargo, la determinación de la parte plástica de la deformación requiere una regla de flujo y un modelo de endurecimiento&action=edit&redlink=1 "Modelo de endurecimiento (plasticidad) (aún no redactado)").
Teoría de la pequeña deformación
Contenido
Las teorías típicas de plasticidad de flujo para cargas unidireccionales (para plasticidad perfecta de deformación pequeña o plasticidad de endurecimiento) se desarrollan sobre la base de los siguientes requisitos:.
Los requisitos anteriores se pueden expresar en estados tridimensionales de tensión y carga multidireccional de la siguiente manera:.
Regla de flujo
En plasticidad de metales, la suposición de que el incremento de deformación plástica y el tensor de tensión desviatoria tienen las mismas direcciones principales se resume en una relación llamada regla de flujo"). Las teorías de la plasticidad de las rocas también utilizan un concepto similar, excepto que el requisito de dependencia de la presión de la superficie de fluencia requiere una relajación del supuesto anterior. En cambio, normalmente se supone que el incremento de la deformación plástica y la normal a la superficie de fluencia dependiente de la presión tienen la misma dirección, es decir,.
donde es un parámetro de endurecimiento. Esta forma de regla de flujo se denomina regla de flujo asociada") y el supuesto de codireccionalidad se denomina condición de normalidad&action=edit&redlink=1 "Condición de normalidad (plasticidad) (aún no redactado)"). La función también se llama potencial plástico").
Teoría de la plasticidad
Introducción
La teoría de la plasticidad es una rama de la mecánica de sólidos deformables que se utiliza para describir el comportamiento de los materiales que conservan remanentemente deformaciones "Plasticidad (mecánica de sólidos)") impuestas. Se caracteriza por el supuesto de que existe una regla de flujo&action=edit&redlink=1 "Regla de flujo (plasticidad) (aún no redactado)")[1] que puede usarse para determinar la cantidad de deformación plástica en el material.
En consecuencia, se supone que la deformación total de un cuerpo se puede descomponer de forma aditiva (o multiplicativa) en una parte elástica y una parte plástica. La parte elástica de la deformación se puede calcular a partir de un modelo constitutivo elástico lineal o hiperelástico. Sin embargo, la determinación de la parte plástica de la deformación requiere una regla de flujo y un modelo de endurecimiento&action=edit&redlink=1 "Modelo de endurecimiento (plasticidad) (aún no redactado)").
Teoría de la pequeña deformación
Contenido
Las teorías típicas de plasticidad de flujo para cargas unidireccionales (para plasticidad perfecta de deformación pequeña o plasticidad de endurecimiento) se desarrollan sobre la base de los siguientes requisitos:.
Los requisitos anteriores se pueden expresar en estados tridimensionales de tensión y carga multidireccional de la siguiente manera:.
Regla de flujo
En plasticidad de metales, la suposición de que el incremento de deformación plástica y el tensor de tensión desviatoria tienen las mismas direcciones principales se resume en una relación llamada regla de flujo"). Las teorías de la plasticidad de las rocas también utilizan un concepto similar, excepto que el requisito de dependencia de la presión de la superficie de fluencia requiere una relajación del supuesto anterior. En cambio, normalmente se supone que el incremento de la deformación plástica y la normal a la superficie de fluencia dependiente de la presión tienen la misma dirección, es decir,.
La regla de flujo anterior se justifica fácilmente para deformaciones perfectamente plásticas para las que cuando , es decir, la superficie de fluencia permanece constante bajo una deformación plástica creciente. Esto implica que el incremento de la deformación elástica también es cero, , debido a la ley de Hooke. Por lo tanto,.
Por lo tanto, tanto la normal a la superficie de fluencia como el tensor de deformación plástica son perpendiculares al tensor de tensión y deben tener la misma dirección.
Para un material endurecido mecánicamente, la superficie de fluencia puede expandirse al aumentar la tensión. Se asume el segundo postulado de estabilidad de Drucker, que establece que para un ciclo de tensión infinitesimal este trabajo plástico es positivo, es decir,.
La cantidad anterior es igual a cero para ciclos puramente elásticos. El examen del trabajo realizado durante un ciclo de carga y descarga plástico puede utilizarse para justificar la validez de la regla de flujo asociada.[2].
Condición de consistencia
La condición de consistencia de Prager") es necesaria para cerrar el conjunto de ecuaciones constitutivas y eliminar el parámetro desconocido del sistema de ecuaciones. La condición de consistencia establece que , dado que , y por lo tanto.
Teoría de grandes deformaciones
Las teorías de la plasticidad sobre el flujo con grandes deformaciones suelen comenzar con uno de los siguientes supuestos:.
El primer supuesto se utilizó ampliamente para simulaciones numéricas del comportamiento de los metales, pero gradualmente ha sido reemplazado por la teoría multiplicativa.
Cinemática de la plasticidad multiplicativa
El concepto de descomposición multiplicativa del gradiente de deformación en partes elásticas y plásticas fue propuesto por primera vez de forma independiente por B. A. Bilby"),[3] E. Kröner,[4] en el contexto de la plasticidad de cristales") y extendido a la plasticidad continua por Erasmus Lee.[5] La descomposición supone que el gradiente de deformación total (F) se puede descomponer como:.
donde F es la parte elástica (recuperable) y F es la parte plástica (irrecuperable) de la deformación. El gradiente de velocidad espacial viene dado por.
donde un punto superpuesto indica una derivada respecto al tiempo. Se puede escribir lo anterior como.
La cantidad.
se denomina gradiente de velocidad plástica y se define en una configuración libre de tensiones intermedia (incompatible&action=edit&redlink=1 "Compatibilidad (mecánica) (aún no redactado)")). La parte simétrica (D) de L se denomina tasa de deformación plástica, mientras que la parte antisimétrica (W) se llama giro plástico:.
Normalmente, el giro plástico se ignora en la mayoría de las descripciones de plasticidad finita.
Régimen elástico
El comportamiento elástico en el régimen de deformaciones finitas normalmente se describe mediante un modelo hiperelástico. La deformación elástica se puede medir utilizando un tensor de deformación de Cauchy-Green elástico derecho definido como:.
El tensor logarítmico") o de deformación de Hencky puede definirse entonces como.
El tensor de tensión de Mandel") simetrizado es una medida de tensión conveniente para la plasticidad finita y se define como.
donde S es el segunda tensión de Piola-Kirchhoff"). Un posible modelo hiperelástico en términos de deformación logarítmica es[6].
donde W es una función de densidad de energía de deformación, J = det(F), μ es un módulo y dev indica la parte desviadora de un tensor.
La aplicación de la desigualdad de Clausius-Duhem") conduce, en ausencia de un giro plástico, a la regla del flujo de la deformación finita.
Condiciones de carga-descarga
Se puede demostrar que las condiciones de carga y descarga son equivalentes a las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.
La condición de consistencia es idéntica a la del caso de deformaciones pequeñas,.
[3] ↑ Bilby, B. A.; Bullough, R.; Smith, E. (1955), «Continuous distributions of dislocations: a new application of the methods of non-Riemannian geometry», Proceedings of the Royal Society 231 (1185): 263-273, Bibcode:1955RSPSA.231..263B, doi:10.1098/rspa.1955.0171 .: http://adsabs.harvard.edu/abs/1955RSPSA.231..263B
[4] ↑ Kröner, E. (1958), «Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen», Erg. Angew. Math. 5: 1-179 .
[5] ↑ Lee, E. H. (1969), «Elastic-Plastic Deformation at Finite Strains», Journal of Applied Mechanics 36 (1): 1-6, Bibcode:1969JAM....36....1L, doi:10.1115/1.3564580 .Uso incorrecto de la plantilla enlace roto (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).: ftp://melmac.sd.ruhr-uni-bochum.de/kintzel/JoaM_27_04_2008/Lee_69.pdf
[6] ↑ Anand, L. (1979), «On H. Hencky's approximate strain-energy function for moderate deformations», Journal of Applied Mechanics 46 (1): 78-82, Bibcode:1979JAM....46...78A, doi:10.1115/1.3424532 .: http://adsabs.harvard.edu/abs/1979JAM....46...78A
donde es un parámetro de endurecimiento. Esta forma de regla de flujo se denomina regla de flujo asociada") y el supuesto de codireccionalidad se denomina condición de normalidad&action=edit&redlink=1 "Condición de normalidad (plasticidad) (aún no redactado)"). La función también se llama potencial plástico").
La regla de flujo anterior se justifica fácilmente para deformaciones perfectamente plásticas para las que cuando , es decir, la superficie de fluencia permanece constante bajo una deformación plástica creciente. Esto implica que el incremento de la deformación elástica también es cero, , debido a la ley de Hooke. Por lo tanto,.
Por lo tanto, tanto la normal a la superficie de fluencia como el tensor de deformación plástica son perpendiculares al tensor de tensión y deben tener la misma dirección.
Para un material endurecido mecánicamente, la superficie de fluencia puede expandirse al aumentar la tensión. Se asume el segundo postulado de estabilidad de Drucker, que establece que para un ciclo de tensión infinitesimal este trabajo plástico es positivo, es decir,.
La cantidad anterior es igual a cero para ciclos puramente elásticos. El examen del trabajo realizado durante un ciclo de carga y descarga plástico puede utilizarse para justificar la validez de la regla de flujo asociada.[2].
Condición de consistencia
La condición de consistencia de Prager") es necesaria para cerrar el conjunto de ecuaciones constitutivas y eliminar el parámetro desconocido del sistema de ecuaciones. La condición de consistencia establece que , dado que , y por lo tanto.
Teoría de grandes deformaciones
Las teorías de la plasticidad sobre el flujo con grandes deformaciones suelen comenzar con uno de los siguientes supuestos:.
El primer supuesto se utilizó ampliamente para simulaciones numéricas del comportamiento de los metales, pero gradualmente ha sido reemplazado por la teoría multiplicativa.
Cinemática de la plasticidad multiplicativa
El concepto de descomposición multiplicativa del gradiente de deformación en partes elásticas y plásticas fue propuesto por primera vez de forma independiente por B. A. Bilby"),[3] E. Kröner,[4] en el contexto de la plasticidad de cristales") y extendido a la plasticidad continua por Erasmus Lee.[5] La descomposición supone que el gradiente de deformación total (F) se puede descomponer como:.
donde F es la parte elástica (recuperable) y F es la parte plástica (irrecuperable) de la deformación. El gradiente de velocidad espacial viene dado por.
donde un punto superpuesto indica una derivada respecto al tiempo. Se puede escribir lo anterior como.
La cantidad.
se denomina gradiente de velocidad plástica y se define en una configuración libre de tensiones intermedia (incompatible&action=edit&redlink=1 "Compatibilidad (mecánica) (aún no redactado)")). La parte simétrica (D) de L se denomina tasa de deformación plástica, mientras que la parte antisimétrica (W) se llama giro plástico:.
Normalmente, el giro plástico se ignora en la mayoría de las descripciones de plasticidad finita.
Régimen elástico
El comportamiento elástico en el régimen de deformaciones finitas normalmente se describe mediante un modelo hiperelástico. La deformación elástica se puede medir utilizando un tensor de deformación de Cauchy-Green elástico derecho definido como:.
El tensor logarítmico") o de deformación de Hencky puede definirse entonces como.
El tensor de tensión de Mandel") simetrizado es una medida de tensión conveniente para la plasticidad finita y se define como.
donde S es el segunda tensión de Piola-Kirchhoff"). Un posible modelo hiperelástico en términos de deformación logarítmica es[6].
donde W es una función de densidad de energía de deformación, J = det(F), μ es un módulo y dev indica la parte desviadora de un tensor.
La aplicación de la desigualdad de Clausius-Duhem") conduce, en ausencia de un giro plástico, a la regla del flujo de la deformación finita.
Condiciones de carga-descarga
Se puede demostrar que las condiciones de carga y descarga son equivalentes a las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.
La condición de consistencia es idéntica a la del caso de deformaciones pequeñas,.
[3] ↑ Bilby, B. A.; Bullough, R.; Smith, E. (1955), «Continuous distributions of dislocations: a new application of the methods of non-Riemannian geometry», Proceedings of the Royal Society 231 (1185): 263-273, Bibcode:1955RSPSA.231..263B, doi:10.1098/rspa.1955.0171 .: http://adsabs.harvard.edu/abs/1955RSPSA.231..263B
[4] ↑ Kröner, E. (1958), «Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen», Erg. Angew. Math. 5: 1-179 .
[5] ↑ Lee, E. H. (1969), «Elastic-Plastic Deformation at Finite Strains», Journal of Applied Mechanics 36 (1): 1-6, Bibcode:1969JAM....36....1L, doi:10.1115/1.3564580 .Uso incorrecto de la plantilla enlace roto (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).: ftp://melmac.sd.ruhr-uni-bochum.de/kintzel/JoaM_27_04_2008/Lee_69.pdf
[6] ↑ Anand, L. (1979), «On H. Hencky's approximate strain-energy function for moderate deformations», Journal of Applied Mechanics 46 (1): 78-82, Bibcode:1979JAM....46...78A, doi:10.1115/1.3424532 .: http://adsabs.harvard.edu/abs/1979JAM....46...78A