Teoría de la inestabilidad
Introducción
En matemáticas, la teoría de estabilidad estudia la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos, es decir, examina cómo difieren las soluciones bajo pequeñas modificaciones de las condiciones iniciales.
La estabilidad es muy importante en física y ciencias aplicadas, ya que en general en los problemas prácticos las condiciones iniciales nunca se conocen con toda precisión, y la predictibilidad requiere que pequeñas desviaciones iniciales, no generen comportamientos cualitativamente muy diferentes a corto plazo. Cuando la diferencia entre dos soluciones con valores iniciales cercanos puede acotarse mediante la diferencia de valores iniciales, se dice que la evolución temporal del sistema presenta estabilidad.
Estabilidad de ecuaciones diferenciales
Debido a que toda ecuación diferencial puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente, el estudio de la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales puede reducirse al estudio de la estabilidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Consideremos por ejemplo un sistema de ecuaciones autónomo no lineal dado por:.
Donde es el vector de estado del sistema, un conjunto abierto que contiene al origen y una función continua. Sin pérdida de generalidad, se puede asumir que el origen es un punto de equilibrio (si el punto de equilibrio fuera otro punto se puede hacer un cambio de variable y redefinir la función f para que coincida con el origen):.
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- El punto origen es estable en el sentido de Lyapunov, si para cada , existe un tal que, si , entonces , para cualquier .
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- El punto origen es estable asintóticamente si es estable en el sentido de Lyapunov y existe tal que si , entonces .
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- El punto origen es estable exponencialmente si es asintóticamente estable y si existen tales que si , entonces , para .
Conceptualmente, las definiciones anteriores se pueden interpretar como que:.