Teoria da parametrização
Introdução
Em geral
Em matemática, geometria diferencial de superfícies propõe definições e métodos para analisar a geometria de superfícies "Superfície (matemática)") ou variedades diferenciais de duas dimensões imersas em variedades Riemannianas e, em particular, no espaço euclidiano.
Aqui vamos lidar com as superfícies em .
Equação paramétrica de uma superfície
Contenido
Puesto que una superficie en es una variedad diferenciable de dimensión dos, en un entorno V de una superficie, las coordenadas de cualquier punto de V pueden escribirse en función de dos parámetros (u, v), que funcionen como sistema de coordenadas propio de la superficie:.
Llamaremos a esta función r carta de la superficie.
Un punto Q = (u, v) se llama regular si en él se cumple que los vectores tangentes en las direcciones u y v no son nulos ni paralelos, es decir, que son linealmente independientes o, equivalentemente que su producto vectorial es no nulo:.
Esto es equivalente a pedir que el jacobiano de la carta r (que va desde el dominio V en a ) tenga rango máximo, es decir, sea igual a dos. Así se asegura la existencia del espacio tangente en cada punto de la superficie.
plano tangente
Dada uma superfície e um ponto é definido como o único plano geométrico que contém o ponto e que contém todos os vetores tangentes à superfície nesse ponto. A equação analítica deste plano pode ser expressa com a ajuda da equação paramétrica de uma superfície:
Mais simplesmente, o plano anterior pode ser escrito como o conjunto que satisfaz a seguinte equação:
Aqui, a simplificação da notação foi usada
,... etc.