Teoria da instabilidade
Introdução
Em geral
Em matemática, a teoria da estabilidade estuda a estabilidade de soluções de equações diferenciais e sistemas dinâmicos, ou seja, examina como as soluções diferem sob pequenas modificações nas condições iniciais.
A estabilidade é muito importante na física e nas ciências aplicadas, pois em geral em problemas práticos as condições iniciais nunca são conhecidas com total precisão, e a previsibilidade exige que pequenos desvios iniciais não gerem comportamentos qualitativamente muito diferentes no curto prazo. Quando a diferença entre duas soluções com valores iniciais próximos pode ser limitada pela diferença nos valores iniciais, diz-se que a evolução temporal do sistema é estável.
Estabilidade de equações diferenciais
Como toda equação diferencial pode ser reduzida a um sistema de equações diferenciais equivalentes de primeira ordem, o estudo da estabilidade de soluções de equações diferenciais pode ser reduzido ao estudo da estabilidade de sistemas de equações diferenciais. Considere, por exemplo, um sistema autônomo não linear de equações dado por:.
Onde está o vetor de estado do sistema, um conjunto aberto contendo a origem e uma função contínua. Sem perda de generalidade, pode-se assumir que a origem é um ponto de equilíbrio (se o ponto de equilíbrio fosse outro ponto, uma mudança variável pode ser feita e a função f pode ser redefinida para coincidir com a origem):
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- O ponto de origem é estável no sentido de Lyapunov, se para cada um existe tal que, se, então, para qualquer.
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- O ponto de origem é assintoticamente estável se for estável no sentido de Lyapunov e existir tal que se , então .
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- O ponto de origem é exponencialmente estável se for assintoticamente estável e se existirem tais que se, então, para.
Conceitualmente, as definições acima podem ser interpretadas como: