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Como se demostró en el Theorema egregium de Gauss, una esfera (o elipsoide) no puede proyectarse sobre un plano "Plano (geometría)") sin que se deforme. Esto se ilustra comúnmente con la imposibilidad de alisar una cáscara de naranja sobre una superficie plana sin romperla y deformarla. La única representación real de una esfera a escala constante es otra esfera como un globo terráqueo.
Dado el limitado tamaño práctico de los globos terráqueos, debemos utilizar mapas para realizar una cartografía detallada. Los mapas requieren proyecciones. Una proyección implica una distorsión: Una separación constante en el mapa no se corresponde con una separación constante en el terreno. Aunque un mapa puede mostrar una escala gráfica de barras, la escala debe utilizarse teniendo en cuenta que solo será precisa en algunas líneas del mapa. (Esto se analiza con más detalle en los ejemplos de las siguientes secciones).
Sea P un punto de latitud y longitud en la esfera (o elipsoide). Sea Q un punto vecino y sea el ángulo entre el elemento PQ y el meridiano en P: este ángulo es el ángulo acimut del elemento PQ. Sean P' y Q' los puntos correspondientes de la proyección. El ángulo entre la dirección P'Q' y la proyección del meridiano es el rumbo . En general, . Comentario: esta distinción precisa entre el acimut (en la superficie de la Tierra) y el rumbo (en el mapa) no se observa universalmente, ya que muchos escritores utilizan los términos casi indistintamente.
Definición: la escala de puntos en P es la relación de las dos distancias P'Q' y PQ en el límite en que Q se acerca a P. Lo escribimos como.
Definición: si P y Q se encuentran en el mismo meridiano , la escala del meridiano se denota por .
Definición: si P y Q se encuentran en el mismo paralelo , la escala paralela se denota por .
Definición: si la escala del punto depende solo de la posición, no de la dirección, se dice que es isotrópica y convencionalmente se denota su valor en cualquier dirección por el factor de escala paralelo .
Definición: Se dice que una proyección cartográfica es conforme") si el ángulo entre un par de líneas que se cruzan en un punto P es el mismo que el ángulo entre las líneas proyectadas en el punto proyectado P', para todos los pares de líneas que se cruzan en el punto P. Un mapa conforme tiene un factor de escala isotrópico. A la inversa, los factores de escala isótropos a través del mapa implican una proyección conforme.
La isotropía de escala implica que los elementos pequeños se estiran por igual en todas las direcciones, es decir, que se conserva la forma de un elemento pequeño. Esta es la propiedad de ortomorfismo, del griego que significa «forma correcta». El calificativo pequeño significa que con una determinada precisión de medida no se puede detectar ningún cambio en el factor de escala sobre el elemento. Dado que las proyecciones conformes tienen un factor de escala isotrópico, también se han denominado proyecciones ortomórficas. Por ejemplo, la proyección Mercator es conforme ya que está construida para preservar los ángulos y su factor de escala es isotrópico, una función de la latitud solamente: Mercator sí preserva la forma en regiones pequeñas.
Definición: en una proyección conforme con una escala isotrópica, los puntos que tienen el mismo valor de escala pueden unirse para formar las líneas de isoescala. Estas no se trazan en los mapas para los usuarios finales, pero aparecen en muchos de los textos estándar. (Véase Snyder[2] páginas 203-206.).
A fração representativa (RF) ou escala principal
Existem duas convenções usadas para estabelecer as equações de qualquer projeção. Por exemplo, a projeção cilíndrica equirretangular pode ser escrita como.
Aqui adotaremos a primeira dessas convenções (seguindo o uso nos estudos de Snyder). É evidente que as equações de projeção acima definem posições num enorme cilindro enrolado em torno da Terra e depois desenrolado. Diz-se que essas coordenadas definem o mapa de projeção que deve ser logicamente diferenciado dos mapas reais impressos (ou visualizados). Se a definição da escala de pontos na seção anterior for em termos do mapa de projeção, então podemos esperar que os fatores de escala estejam próximos da unidade. Para projeções cilíndricas tangentes normais, a escala ao longo do equador é k=1 e, em geral, a escala muda à medida que nos afastamos do equador. A análise da escala no mapa de projeção é uma investigação da mudança de k em relação ao seu verdadeiro valor unitário.
Exibição de escala de pontos: a indicatriz Tissot
Consideremos um pequeno círculo na superfície da Terra centrado em um ponto P de latitude e longitude. Como a escala do ponto varia com a posição e a direção, a projeção do círculo na projeção será distorcida. Tissot") mostrou que, desde que a distorção não seja muito grande, o círculo se tornará uma elipse na projeção. Em geral, a dimensão, forma e orientação da elipse mudarão na projeção. A sobreposição dessas elipses de distorção na projeção do mapa transmite a maneira como a escala dos pontos muda no mapa. A elipse de distorção é conhecida como indicatriz de Tissot. O exemplo mostrado aqui é a projeção de Winkel-Tripel, a projeção padrão para o mundo mapas feitos pela National Geographic Society A distorção mínima ocorre no meridiano central nas latitudes de 30 graus (Norte e Sul).