Sea un cuerpo elástico lineal#Elasticidad_lineal "Elasticidad (mecánica de sólidos)") sobre el que actúan dos conjuntos de fuerzas y aplicados sobre los puntos del sólido y , respectivamente. Sean:.

Análogamente,.

El trabajo realizado por las cargas no depende del orden de aplicación de las mismas, por lo que basta considerar dos casos:.

Tal y como se ha dicho al principio, la energía de deformación no depende del orden de aplicación de las cargas por lo que igualando las expresiones obtenidas en los dos casos considerados:.

Esta igualdad es la que da lugar al Teorema de Maxwell-Betti, que puede enunciarse de la siguiente forma:.

La principal consecuencia de este resultado es que los coeficientes de influencia recíprocos son iguales. En efecto, supongamos que tanto . Entonces el significado de coincide con la definición del coeficiente de influencia , mientras que se corresponde con el coeficiente de influencia recíproco al anterior, es decir, , y por la expresión que define el Teorema de Maxwell-Betti, se tiene que:.

Este teorema es de aplicación también en el caso de que no sean fuerzas sino momentos (o incluso fuerzas y momentos) las acciones aplicadas sobre el sólido elástico "Elasticidad (mecánica de sólidos)"), en cuyo caso los desplazamientos serán sustituidos por el ángulo de rotación correspondiente.

Sea un cuerpo deformable cuyo comportamiento es elástico-lineal. Sobre él actúan dos fuerzas: sobre un punto cualquiera y sobre un punto , cada una de las cuales genera un campo de desplazamientos que, por la linealidad del problema, son mutuamente independientes. Considérese pues que el efecto conjunto sobre el cuerpo deformable es suma de dos sistemas:.

Nótese que de los desplazamientos en un punto se considera únicamente su valor en la dirección de la carga que se aplica en tal punto. Igualmente, se señala que la notación corresponde a un desplazamiento en el punto debido a la carga aplicada en el punto .

Debido a la linealidad del problema, es aplicable el principio de superposición. Por tanto, el trabajo total realizado aplicando primero el sistema I y luego el sistema II (caso 1) debe ser el mismo que si se aplican al revés (caso 2).

Cuando se aplica el sistema I, la fuerza realiza un trabajo al desplazarse , que, teniendo en cuenta que hay proporcionalidad entre desplazamientos y fuerzas, es el siguiente:.

Al aplicarse el sistema II, la fuerza realiza un trabajo al desplazarse , pero también realiza otro al desplazar una cantidad . En esta última se debe considerar, además, que actúa en todo momento con su valor máximo, por lo que no se incorpora el coeficiente de . Con esto, el trabajo generado al aplicar el sistema II es:.

Con lo que el trabajo total es la suma de ambos y vale:.

Cuando se aplica el sistema II, la fuerza realiza un trabajo al desplazarse , que es el siguiente:.

Al aplicarse el sistema I, la fuerza realiza un trabajo al desplazarse , pero también realiza otro al desplazar una cantidad . Con esto, el trabajo generado al aplicar el sistema I es:.

Sumando lo previo, el trabajo total en este nuevo caso vale:.

Como se ha dicho, la linealidad del problema exige que el trabajo total del caso 1 sea igual al total del caso 2. Igualando ambas expresiones y simplificando:.

Que es un caso simplificado del teorema de Maxwell-Betti ya presentado, cuando los conjuntos de cargas y están constituidos, cada uno, por una única carga. La demostración del caso general se puede así abordar de forma sencilla por simple inducción a partir de lo explicado en este apartado.

Teorema de Maxwell

Previamente al teorema de Maxwell-Betti, en 1864, James Clerk Maxwell publicó un teorema denominado "Método de las Distorsiones o Desplazamientos Recíprocos", al que contribuyeron notablemente los trabajos de otros científicos como Mohr y Clapeyron. Se considera que este teorema da lugar al primer método de análisis para estructuras estáticamente indeterminadas. Se enuncia como sigue:.

Como vemos, este teorema no es sino un caso particular del general, expresado mediante el Teorema de Maxwell-Betti, puesto que aquí únicamente se considera la actuación de una fuerza y no un conjunto de ellas.

Simetría de la matriz de rigidez

El teorema de Maxwell-Betti aplicado a una estructura lineal caracterizable mediante una matriz de rigidez, implica que la matriz de rigidez debe ser simétrica. Ya que de no serlo el estado elástico final no sería único y dependería del orden y modo de aplicación de las cargas, lo cual contradice el carácter lineal de la estructura.

Supongamos un sólido elástico inicialmente descargado, y que empezamos a cargarlo con una fuerza . Debido a las hipótesis expresadas anteriormente, existe proporcionalidad entre fuerzas y desplazamientos de modo que a un determinado incremento relativo de la fuerza le corresponde el mismo incremento relativo del desplazamiento, o lo que es lo mismo, la pendiente de una gráfica fuerza-desplazamiento es constante. Y por tanto, a la aplicación de una fuerza le corresponderá un desplazamiento .

La energía de deformación acumulada durante todo el proceso de carga será igual al área que queda por debajo de la recta representada en la gráfica fuerza-desplazamiento, es decir, el área de un triángulo:.

Si el sólido elástico no se carga con una única fuerza, sino con un conjunto de ellas, aplicando el principio de superposición se tiene:.

Teniendo en cuenta lo dicho en el apartado dedicado a los coeficientes de influencia:.

Sea un cuerpo elástico lineal#Elasticidad_lineal "Elasticidad (mecánica de sólidos)") sobre el que actúan dos conjuntos de fuerzas y aplicados sobre los puntos del sólido y , respectivamente. Sean:.

Análogamente,.

El trabajo realizado por las cargas no depende del orden de aplicación de las mismas, por lo que basta considerar dos casos:.

Tal y como se ha dicho al principio, la energía de deformación no depende del orden de aplicación de las cargas por lo que igualando las expresiones obtenidas en los dos casos considerados:.

Esta igualdad es la que da lugar al Teorema de Maxwell-Betti, que puede enunciarse de la siguiente forma:.

La principal consecuencia de este resultado es que los coeficientes de influencia recíprocos son iguales. En efecto, supongamos que tanto . Entonces el significado de coincide con la definición del coeficiente de influencia , mientras que se corresponde con el coeficiente de influencia recíproco al anterior, es decir, , y por la expresión que define el Teorema de Maxwell-Betti, se tiene que:.

Este teorema es de aplicación también en el caso de que no sean fuerzas sino momentos (o incluso fuerzas y momentos) las acciones aplicadas sobre el sólido elástico "Elasticidad (mecánica de sólidos)"), en cuyo caso los desplazamientos serán sustituidos por el ángulo de rotación correspondiente.

Sea un cuerpo deformable cuyo comportamiento es elástico-lineal. Sobre él actúan dos fuerzas: sobre un punto cualquiera y sobre un punto , cada una de las cuales genera un campo de desplazamientos que, por la linealidad del problema, son mutuamente independientes. Considérese pues que el efecto conjunto sobre el cuerpo deformable es suma de dos sistemas:.

Nótese que de los desplazamientos en un punto se considera únicamente su valor en la dirección de la carga que se aplica en tal punto. Igualmente, se señala que la notación corresponde a un desplazamiento en el punto debido a la carga aplicada en el punto .

Debido a la linealidad del problema, es aplicable el principio de superposición. Por tanto, el trabajo total realizado aplicando primero el sistema I y luego el sistema II (caso 1) debe ser el mismo que si se aplican al revés (caso 2).

Cuando se aplica el sistema I, la fuerza realiza un trabajo al desplazarse , que, teniendo en cuenta que hay proporcionalidad entre desplazamientos y fuerzas, es el siguiente:.

Al aplicarse el sistema II, la fuerza realiza un trabajo al desplazarse , pero también realiza otro al desplazar una cantidad . En esta última se debe considerar, además, que actúa en todo momento con su valor máximo, por lo que no se incorpora el coeficiente de . Con esto, el trabajo generado al aplicar el sistema II es:.

Con lo que el trabajo total es la suma de ambos y vale:.

Cuando se aplica el sistema II, la fuerza realiza un trabajo al desplazarse , que es el siguiente:.

Al aplicarse el sistema I, la fuerza realiza un trabajo al desplazarse , pero también realiza otro al desplazar una cantidad . Con esto, el trabajo generado al aplicar el sistema I es:.

Sumando lo previo, el trabajo total en este nuevo caso vale:.

Como se ha dicho, la linealidad del problema exige que el trabajo total del caso 1 sea igual al total del caso 2. Igualando ambas expresiones y simplificando:.

Que es un caso simplificado del teorema de Maxwell-Betti ya presentado, cuando los conjuntos de cargas y están constituidos, cada uno, por una única carga. La demostración del caso general se puede así abordar de forma sencilla por simple inducción a partir de lo explicado en este apartado.

Teorema de Maxwell

Previamente al teorema de Maxwell-Betti, en 1864, James Clerk Maxwell publicó un teorema denominado "Método de las Distorsiones o Desplazamientos Recíprocos", al que contribuyeron notablemente los trabajos de otros científicos como Mohr y Clapeyron. Se considera que este teorema da lugar al primer método de análisis para estructuras estáticamente indeterminadas. Se enuncia como sigue:.

Como vemos, este teorema no es sino un caso particular del general, expresado mediante el Teorema de Maxwell-Betti, puesto que aquí únicamente se considera la actuación de una fuerza y no un conjunto de ellas.

Simetría de la matriz de rigidez

El teorema de Maxwell-Betti aplicado a una estructura lineal caracterizable mediante una matriz de rigidez, implica que la matriz de rigidez debe ser simétrica. Ya que de no serlo el estado elástico final no sería único y dependería del orden y modo de aplicación de las cargas, lo cual contradice el carácter lineal de la estructura.