Seja um corpo elástico linear #Linear_Elasticity "Elasticidade (mecânica dos sólidos)") sobre o qual atuam dois conjuntos de forças e aplicadas aos pontos do sólido e , respectivamente. Sean:.

De forma similar,

O trabalho realizado pelas cargas independe da ordem de sua aplicação, bastando considerar dois casos:

Como dito no início, a energia de deformação não depende da ordem de aplicação das cargas, portanto igualando as expressões obtidas nos dois casos considerados:

Essa igualdade é o que dá origem ao Teorema de Maxwell-Betti, que pode ser enunciado da seguinte forma:

A principal consequência deste resultado é que os coeficientes de influência recíproca são iguais. Na verdade, vamos supor que ambos. Então o significado de coincide com a definição do coeficiente de influência, enquanto corresponde ao coeficiente de influência recíproco ao anterior, ou seja, , e pela expressão que define o Teorema de Maxwell-Betti, temos que:.

Este teorema também se aplica no caso em que as ações aplicadas sobre o sólido elástico não sejam forças, mas momentos (ou mesmo forças e momentos) "Elasticidade (mecânica dos sólidos)"), caso em que os deslocamentos serão substituídos pelo ângulo de rotação correspondente.

Seja um corpo deformável cujo comportamento é linear-elástico. Sobre ele atuam duas forças: sobre qualquer ponto e sobre um ponto, cada uma das quais gera um campo de deslocamentos que, pela linearidade do problema, são mutuamente independentes. Considere então que o efeito conjunto sobre o corpo deformável é a soma de dois sistemas:

Observe que dos deslocamentos em um ponto é considerado apenas o seu valor na direção da carga aplicada naquele ponto. Da mesma forma, nota-se que a notação corresponde a um deslocamento no ponto devido à carga aplicada no ponto.

Devido à linearidade do problema, o princípio da superposição é aplicável. Portanto, o trabalho total realizado aplicando primeiro o sistema I e depois o sistema II (caso 1) deve ser o mesmo que se fossem aplicados ao contrário (caso 2).

Quando aplicado o sistema I, a força realiza trabalho em movimento, o que, levando em consideração que existe proporcionalidade entre deslocamentos e forças, é o seguinte:

Quando o sistema II é aplicado, a força realiza trabalho quando se move, mas também realiza outro trabalho quando se move uma quantidade. Neste último, deve-se considerar também que atua sempre com seu valor máximo, portanto o coeficiente de não é incorporado. Com isso, o trabalho gerado ao aplicar o sistema II é:

Portanto o trabalho total é a soma de ambos e vale:

Quando o sistema II é aplicado, a força realiza trabalho durante o movimento, que é o seguinte:

Quando o sistema I é aplicado, a força realiza trabalho quando se move, mas também realiza outro trabalho quando se move uma quantidade. Com isso, o trabalho gerado ao aplicar o sistema I é:

Somando o acima, o trabalho total neste novo caso vale:

Como foi dito, a linearidade do problema exige que o trabalho total do caso 1 seja igual ao total do caso 2. Equacionando ambas as expressões e simplificando:.

O que é um caso simplificado do teorema de Maxwell-Betti já apresentado, quando os conjuntos de cargas e são compostos cada um por uma única carga. A demonstração do caso geral pode assim ser abordada de forma simples por indução simples com base no que é explicado nesta seção.

Teorema de Maxwell

Antes do teorema de Maxwell-Betti, em 1864, James Clerk Maxwell publicou um teorema denominado "Método das Distorções ou Deslocamentos Recíprocos", para o qual contribuíram significativamente os trabalhos de outros cientistas como Mohr e Clapeyron. Considera-se que este teorema dá origem ao primeiro método de análise para estruturas estaticamente indeterminadas. É afirmado da seguinte forma:

Como vemos, este teorema nada mais é do que um caso particular do geral, expresso através do Teorema de Maxwell-Betti, pois aqui se considera apenas a atuação de uma força e não um conjunto delas.

Simetria da matriz de rigidez

O teorema de Maxwell-Betti aplicado a uma estrutura linear caracterizável por uma matriz de rigidez implica que a matriz de rigidez deve ser simétrica. Pois caso contrário, o estado elástico final não seria único e dependeria da ordem e modo de aplicação das cargas, o que contraria o caráter linear da estrutura.

Suponha que um sólido elástico seja inicialmente descarregado e comecemos a carregá-lo com uma força . Pelas hipóteses expressas acima, existe proporcionalidade entre forças e deslocamentos de modo que um certo aumento relativo na força corresponde ao mesmo aumento relativo no deslocamento, ou em outras palavras, a inclinação de um gráfico força-deslocamento é constante. E portanto, a aplicação de uma força corresponderá a um deslocamento.

A energia de deformação acumulada durante todo o processo de carregamento será igual à área abaixo da linha representada no gráfico força-deslocamento, ou seja, a área de um triângulo:.

Se o sólido elástico não for carregado com uma única força, mas sim com um conjunto delas, aplicando o princípio da superposição temos:

Tendo em conta o que foi dito na secção dedicada aos coeficientes de influência:

Seja um corpo elástico linear #Linear_Elasticity "Elasticidade (mecânica dos sólidos)") sobre o qual atuam dois conjuntos de forças e aplicadas aos pontos do sólido e , respectivamente. Sean:.

De forma similar,

O trabalho realizado pelas cargas independe da ordem de sua aplicação, bastando considerar dois casos:

Como dito no início, a energia de deformação não depende da ordem de aplicação das cargas, portanto igualando as expressões obtidas nos dois casos considerados:

Essa igualdade é o que dá origem ao Teorema de Maxwell-Betti, que pode ser enunciado da seguinte forma:

A principal consequência deste resultado é que os coeficientes de influência recíproca são iguais. Na verdade, vamos supor que ambos. Então o significado de coincide com a definição do coeficiente de influência, enquanto corresponde ao coeficiente de influência recíproco ao anterior, ou seja, , e pela expressão que define o Teorema de Maxwell-Betti, temos que:.

Este teorema também se aplica no caso em que as ações aplicadas sobre o sólido elástico não sejam forças, mas momentos (ou mesmo forças e momentos) "Elasticidade (mecânica dos sólidos)"), caso em que os deslocamentos serão substituídos pelo ângulo de rotação correspondente.

Seja um corpo deformável cujo comportamento é linear-elástico. Sobre ele atuam duas forças: sobre qualquer ponto e sobre um ponto, cada uma das quais gera um campo de deslocamentos que, pela linearidade do problema, são mutuamente independentes. Considere então que o efeito conjunto sobre o corpo deformável é a soma de dois sistemas:

Observe que dos deslocamentos em um ponto é considerado apenas o seu valor na direção da carga aplicada naquele ponto. Da mesma forma, nota-se que a notação corresponde a um deslocamento no ponto devido à carga aplicada no ponto.

Devido à linearidade do problema, o princípio da superposição é aplicável. Portanto, o trabalho total realizado aplicando primeiro o sistema I e depois o sistema II (caso 1) deve ser o mesmo que se fossem aplicados ao contrário (caso 2).

Quando aplicado o sistema I, a força realiza trabalho em movimento, o que, levando em consideração que existe proporcionalidade entre deslocamentos e forças, é o seguinte:

Quando o sistema II é aplicado, a força realiza trabalho quando se move, mas também realiza outro trabalho quando se move uma quantidade. Neste último, deve-se considerar também que atua sempre com seu valor máximo, portanto o coeficiente de não é incorporado. Com isso, o trabalho gerado ao aplicar o sistema II é:

Portanto o trabalho total é a soma de ambos e vale:

Quando o sistema II é aplicado, a força realiza trabalho durante o movimento, que é o seguinte:

Quando o sistema I é aplicado, a força realiza trabalho quando se move, mas também realiza outro trabalho quando se move uma quantidade. Com isso, o trabalho gerado ao aplicar o sistema I é:

Somando o acima, o trabalho total neste novo caso vale:

Como foi dito, a linearidade do problema exige que o trabalho total do caso 1 seja igual ao total do caso 2. Equacionando ambas as expressões e simplificando:.

O que é um caso simplificado do teorema de Maxwell-Betti já apresentado, quando os conjuntos de cargas e são compostos cada um por uma única carga. A demonstração do caso geral pode assim ser abordada de forma simples por indução simples com base no que é explicado nesta seção.

Teorema de Maxwell

Antes do teorema de Maxwell-Betti, em 1864, James Clerk Maxwell publicou um teorema denominado "Método das Distorções ou Deslocamentos Recíprocos", para o qual contribuíram significativamente os trabalhos de outros cientistas como Mohr e Clapeyron. Considera-se que este teorema dá origem ao primeiro método de análise para estruturas estaticamente indeterminadas. É afirmado da seguinte forma:

Como vemos, este teorema nada mais é do que um caso particular do geral, expresso através do Teorema de Maxwell-Betti, pois aqui se considera apenas a atuação de uma força e não um conjunto delas.

Simetria da matriz de rigidez

O teorema de Maxwell-Betti aplicado a uma estrutura linear caracterizável por uma matriz de rigidez implica que a matriz de rigidez deve ser simétrica. Pois caso contrário, o estado elástico final não seria único e dependeria da ordem e modo de aplicação das cargas, o que contraria o caráter linear da estrutura.