En definitiva, lo que se hace es, sustituir cada uno de los elementos del circuito por su impedancia compleja (gracias a la Transformada de Laplace, véase la explicación arriba), traducir este nuevo circuito con tensiones e intensidades complejas a través del Análisis de nodos (ley de nudos de Kirchhoff) o a través del Análisis de mallas (ley de mallas de Kirchhoff) a un sistema (o ecuación) lineal de n incógnitas con n ecuaciones, resolver el sistema y después interpretar los resultados en números complejos para conocer su significado en el tiempo.

Generalização da lei de Ohm

A tensão entre as extremidades de uma impedância é igual ao produto da corrente e da impedância:.

Tanto a impedância, como a corrente e a tensão são, em geral, complexas.

Impedâncias em série ou paralelo

As impedâncias são tratadas como resistências pela lei de Ohm. A impedância é igual à soma:.

A impedância de várias impedâncias em paralelo é igual ao inverso da soma dos inversos:.

Interpretação dos resultados

O resultado de um cálculo de tensão ou corrente é geralmente um número complexo. Este número complexo é interpretado da seguinte forma:

Geradores de tensão ou corrente fora de fase

Se houver vários geradores de tensão ou corrente em um circuito, um deles é escolhido como gerador de referência de fase. Se a tensão verdadeira do gerador de referência for , para o cálculo com as impedâncias sua tensão é escrita como . Se a tensão de outro gerador tiver um avanço de fase em relação ao gerador de referência e sua corrente for , para o cálculo com as impedâncias sua corrente é escrita como . O argumento_e_representação_geométrica "Número complexo") das tensões e correntes calculadas será a mudança de fase dessas tensões ou correntes em relação ao gerador tomado como referência.

Circuitos com diferentes fontes de frequência

Surge o problema que ao calcular as impedâncias dos capacitores ou bobinas do nosso circuito, cada uma das fontes com frequências diferentes tem uma pulsação diferente, portanto para o mesmo circuito um capacitor poderia ter tantas impedâncias diferentes quantas fontes com frequências diferentes.

Por se tratarem de circuitos lineares (Sistema Linear), o Teorema da Superposição é aplicado da seguinte forma: como muitos circuitos, vamos chamá-los de auxiliares, são desenhados exatamente iguais ao original, pois as fontes que excitam o circuito possuem frequências diferentes, exceto que em cada um dos circuitos apenas as fontes de tensão e intensidade ficam com a mesma frequência, o restante das fontes são substituídas por um curto-circuito e um circuito aberto respectivamente. Cada um desses circuitos é resolvido e depois são somados os efeitos de cada tipo de fonte, ou seja, se quiser saber a tensão entre dois pontos, calcula-se a tensão que seria obtida para cada um dos circuitos auxiliares, e depois soma-se, em resumo: o circuito soma de todos os circuitos auxiliares é equivalente ao circuito original.

Circuito série RL

Supõe-se que uma corrente circula pelo circuito da figura 8:

Como está em fase e avançado 90° em relação à referida corrente, teremos:.

Somando ambas as tensões fasoricamente, obtém-se o V: total.

onde, e de acordo com o diagrama fasorial da figura 8b, V é o módulo da tensão total:.

e φ o ângulo formado pelos fasores "Fasor (eletrônica)") tensão e corrente totais (ângulo de fase):.

A expressão representa a oposição que o circuito oferece à passagem da corrente alternada, que é chamada de impedância e é representada por Z:.

Na forma polar:

com o qual a impedância pode ser considerada como um comprimento complexo, cujo valor, segundo o triângulo da figura 9, é:.

Observe que a parte real acaba sendo a componente resistiva e a parte imaginária a parte indutiva.

Circuito série RC

Supõe-se que uma corrente circula pelo circuito da figura 10:

Como está em fase e atrasado 90° em relação à referida corrente, teremos:.

La tensión total V será igual a la suma fasorial de ambas tensiones,.

E de acordo com seu diagrama fasorial (figura 10b) temos:.

Como na seção anterior, a expressão é o módulo da impedância, pois.

o que significa que a impedância é uma grandeza complexa cujo valor, conforme o triângulo da figura 11, é:.

Observe que a parte real acaba sendo a componente resistiva e a parte imaginária, agora com sinal negativo, a capacitiva.

Circuito série RLC

Raciocinado de forma semelhante no circuito série RLC da Figura 12, chega-se à conclusão de que a impedância Z tem um valor de:.

sendo φ.

No diagrama foi assumido que o circuito era indutivo (), mas em geral podem ocorrer os seguintes casos:

Circuito em série geral

Sejam n impedâncias em série como as mostradas na Figura 13, às quais é aplicada uma tensão alternada V entre os terminais A e B, o que causará uma corrente I. De acordo com a lei de Ohm:

onde é a impedância equivalente da associação (figura 13c), ou seja, aquela que conectou a mesma tensão alternada, , exige a mesma intensidade, . Da mesma forma que para uma associação em série de resistências, isso pode ser demonstrado.

o que isso implica:

Circuito paralelo geral

Da mesma forma que na seção anterior, são consideradas em paralelo “n” impedâncias como as mostradas na figura 13b, às quais é aplicada uma tensão alternada “V” entre os terminais A e B, o que causará uma corrente “I”. De acordo com a lei de Ohm:

e da mesma forma que para uma associação paralela de resistências, isso pode ser demonstrado.

Para facilitar o cálculo na análise de circuitos deste tipo, costumamos trabalhar com admitâncias em vez de reatâncias.

Um gerador de rádio único

No diagrama à direita há um gerador senoidal com amplitude de 10 volts e frequência de 10 kHz. Em série há uma indutância de 10 mH e um resistor de 1,2 k.

A corrente que circula no circuito é calculada:

A aplicação do cálculo com números complexos é necessária se esta notação for utilizada.

O módulo da corrente é:.

Como o valor da tensão do gerador obtido foi um valor de pico (amplitude), o valor da corrente obtido também é um valor de pico. A corrente efetiva é:.

A fase da corrente é o argument_and_geometric_representation "Número complexo") do número complexo

:.

A corrente está defasada em relação à fase do gerador. Isso é lógico, pois o circuito é indutivo.

Apenas o resistor dissipa energia:

A fração aparece porque o valor atual é o valor de pico.

A tensão entre as extremidades da resistência é.

A tensão efetiva que seria lida com um voltímetro seria o módulo desta tensão dividido por:.

A tensão extrema da indutância é:.

A tensão efetiva lida com um voltímetro também seria:

Nota-se que a soma das duas tensões “complexas” dá (levando em consideração o arredondamento) a tensão do gerador. Por outro lado, a soma das duas tensões lidas com um voltímetro é maior que a do gerador (). Este resultado é típico de medições feitas com voltímetro em circuitos nos quais as tensões não estão em fase. Um voltímetro mede módulos em valor efetivo, que não pode ser somado diretamente, pois se trata de fasores com suas diferentes orientações.

Dois geradores fora de fase

No circuito à direita, um capacitor e um resistor em série são conectados entre dois geradores senoidais. Duas fases da alimentação trifásica são consideradas geradores. O gerador à esquerda será nosso gerador de referência. O gerador certo está em fase avançada. Quer dizer, . Com o formalismo da impedância, o gerador da esquerda será e o gerador da direita será .

Começamos calculando a diferença de tensão entre os dois geradores:

O módulo desta tensão é retardado em 0,5236 radianos (30°) em relação à tensão de referência.

A corrente que circula é:

Como os valores de tensão utilizados para os geradores foram valores RMS, a corrente calculada também vem como um valor RMS: 91 mA em avanço de fase de 16,71° em relação à tensão de referência.

A tensão entre as extremidades da resistência é:.

A tensão entre as extremidades do capacitor é:.

A tensão entre as extremidades do capacitor está atrasada em 73,3° em relação à tensão de referência. Assim como no exemplo anterior, a soma dos módulos das tensões (aquelas que seriam medidas com um voltímetro) do resistor e do capacitor (563 V) é maior que a tensão total aplicada (398 V).

A tensão no ponto A do circuito será:.

A tensão no ponto A é maior que a de cada gerador.

En definitiva, lo que se hace es, sustituir cada uno de los elementos del circuito por su impedancia compleja (gracias a la Transformada de Laplace, véase la explicación arriba), traducir este nuevo circuito con tensiones e intensidades complejas a través del Análisis de nodos (ley de nudos de Kirchhoff) o a través del Análisis de mallas (ley de mallas de Kirchhoff) a un sistema (o ecuación) lineal de n incógnitas con n ecuaciones, resolver el sistema y después interpretar los resultados en números complejos para conocer su significado en el tiempo.

Generalização da lei de Ohm

A tensão entre as extremidades de uma impedância é igual ao produto da corrente e da impedância:.

Tanto a impedância, como a corrente e a tensão são, em geral, complexas.

Impedâncias em série ou paralelo

As impedâncias são tratadas como resistências pela lei de Ohm. A impedância é igual à soma:.

A impedância de várias impedâncias em paralelo é igual ao inverso da soma dos inversos:.

Interpretação dos resultados

O resultado de um cálculo de tensão ou corrente é geralmente um número complexo. Este número complexo é interpretado da seguinte forma:

Geradores de tensão ou corrente fora de fase

Se houver vários geradores de tensão ou corrente em um circuito, um deles é escolhido como gerador de referência de fase. Se a tensão verdadeira do gerador de referência for , para o cálculo com as impedâncias sua tensão é escrita como . Se a tensão de outro gerador tiver um avanço de fase em relação ao gerador de referência e sua corrente for , para o cálculo com as impedâncias sua corrente é escrita como . O argumento_e_representação_geométrica "Número complexo") das tensões e correntes calculadas será a mudança de fase dessas tensões ou correntes em relação ao gerador tomado como referência.

Circuitos com diferentes fontes de frequência

Surge o problema que ao calcular as impedâncias dos capacitores ou bobinas do nosso circuito, cada uma das fontes com frequências diferentes tem uma pulsação diferente, portanto para o mesmo circuito um capacitor poderia ter tantas impedâncias diferentes quantas fontes com frequências diferentes.

Por se tratarem de circuitos lineares (Sistema Linear), o Teorema da Superposição é aplicado da seguinte forma: como muitos circuitos, vamos chamá-los de auxiliares, são desenhados exatamente iguais ao original, pois as fontes que excitam o circuito possuem frequências diferentes, exceto que em cada um dos circuitos apenas as fontes de tensão e intensidade ficam com a mesma frequência, o restante das fontes são substituídas por um curto-circuito e um circuito aberto respectivamente. Cada um desses circuitos é resolvido e depois são somados os efeitos de cada tipo de fonte, ou seja, se quiser saber a tensão entre dois pontos, calcula-se a tensão que seria obtida para cada um dos circuitos auxiliares, e depois soma-se, em resumo: o circuito soma de todos os circuitos auxiliares é equivalente ao circuito original.

Circuito série RL

Supõe-se que uma corrente circula pelo circuito da figura 8:

Como está em fase e avançado 90° em relação à referida corrente, teremos:.

Somando ambas as tensões fasoricamente, obtém-se o V: total.

onde, e de acordo com o diagrama fasorial da figura 8b, V é o módulo da tensão total:.

e φ o ângulo formado pelos fasores "Fasor (eletrônica)") tensão e corrente totais (ângulo de fase):.

A expressão representa a oposição que o circuito oferece à passagem da corrente alternada, que é chamada de impedância e é representada por Z:.

Na forma polar:

com o qual a impedância pode ser considerada como um comprimento complexo, cujo valor, segundo o triângulo da figura 9, é:.

Observe que a parte real acaba sendo a componente resistiva e a parte imaginária a parte indutiva.

Circuito série RC

Supõe-se que uma corrente circula pelo circuito da figura 10:

Como está em fase e atrasado 90° em relação à referida corrente, teremos:.

La tensión total V será igual a la suma fasorial de ambas tensiones,.

E de acordo com seu diagrama fasorial (figura 10b) temos:.

Como na seção anterior, a expressão é o módulo da impedância, pois.

o que significa que a impedância é uma grandeza complexa cujo valor, conforme o triângulo da figura 11, é:.

Observe que a parte real acaba sendo a componente resistiva e a parte imaginária, agora com sinal negativo, a capacitiva.

Circuito série RLC

Raciocinado de forma semelhante no circuito série RLC da Figura 12, chega-se à conclusão de que a impedância Z tem um valor de:.

sendo φ.

No diagrama foi assumido que o circuito era indutivo (), mas em geral podem ocorrer os seguintes casos:

Circuito em série geral

Sejam n impedâncias em série como as mostradas na Figura 13, às quais é aplicada uma tensão alternada V entre os terminais A e B, o que causará uma corrente I. De acordo com a lei de Ohm:

onde é a impedância equivalente da associação (figura 13c), ou seja, aquela que conectou a mesma tensão alternada, , exige a mesma intensidade, . Da mesma forma que para uma associação em série de resistências, isso pode ser demonstrado.

o que isso implica:

Circuito paralelo geral

Da mesma forma que na seção anterior, são consideradas em paralelo “n” impedâncias como as mostradas na figura 13b, às quais é aplicada uma tensão alternada “V” entre os terminais A e B, o que causará uma corrente “I”. De acordo com a lei de Ohm:

e da mesma forma que para uma associação paralela de resistências, isso pode ser demonstrado.

Para facilitar o cálculo na análise de circuitos deste tipo, costumamos trabalhar com admitâncias em vez de reatâncias.

Um gerador de rádio único

No diagrama à direita há um gerador senoidal com amplitude de 10 volts e frequência de 10 kHz. Em série há uma indutância de 10 mH e um resistor de 1,2 k.

A corrente que circula no circuito é calculada:

A aplicação do cálculo com números complexos é necessária se esta notação for utilizada.

O módulo da corrente é:.

Como o valor da tensão do gerador obtido foi um valor de pico (amplitude), o valor da corrente obtido também é um valor de pico. A corrente efetiva é:.

A fase da corrente é o argument_and_geometric_representation "Número complexo") do número complexo

:.

A corrente está defasada em relação à fase do gerador. Isso é lógico, pois o circuito é indutivo.

Apenas o resistor dissipa energia:

A fração aparece porque o valor atual é o valor de pico.

A tensão entre as extremidades da resistência é.

A tensão efetiva que seria lida com um voltímetro seria o módulo desta tensão dividido por:.

A tensão extrema da indutância é:.

A tensão efetiva lida com um voltímetro também seria:

Nota-se que a soma das duas tensões “complexas” dá (levando em consideração o arredondamento) a tensão do gerador. Por outro lado, a soma das duas tensões lidas com um voltímetro é maior que a do gerador (). Este resultado é típico de medições feitas com voltímetro em circuitos nos quais as tensões não estão em fase. Um voltímetro mede módulos em valor efetivo, que não pode ser somado diretamente, pois se trata de fasores com suas diferentes orientações.

Dois geradores fora de fase

No circuito à direita, um capacitor e um resistor em série são conectados entre dois geradores senoidais. Duas fases da alimentação trifásica são consideradas geradores. O gerador à esquerda será nosso gerador de referência. O gerador certo está em fase avançada. Quer dizer, . Com o formalismo da impedância, o gerador da esquerda será e o gerador da direita será .

Começamos calculando a diferença de tensão entre os dois geradores:

O módulo desta tensão é retardado em 0,5236 radianos (30°) em relação à tensão de referência.

A corrente que circula é:

Como os valores de tensão utilizados para os geradores foram valores RMS, a corrente calculada também vem como um valor RMS: 91 mA em avanço de fase de 16,71° em relação à tensão de referência.

A tensão entre as extremidades da resistência é:.

A tensão entre as extremidades do capacitor é:.

A tensão entre as extremidades do capacitor está atrasada em 73,3° em relação à tensão de referência. Assim como no exemplo anterior, a soma dos módulos das tensões (aquelas que seriam medidas com um voltímetro) do resistor e do capacitor (563 V) é maior que a tensão total aplicada (398 V).

A tensão no ponto A do circuito será:.

A tensão no ponto A é maior que a de cada gerador.