Quantization from classical phase space

In statistical physics, probability distributions are used over phase space; this set of probability distributions can be provided with a Hilbert space structure. It is precisely on this ultimate abstraction that quantum mechanics is built where configuration spaces are not used but directly Hilbert spaces. The state of a quantum system is defined as a wave function that is nothing more than an element or vector of this Hilbert space (specifically the state of the system is an equivalence class of vectors of the Hilbert space).

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Uno de los rasgos definitorios de la mecánica cuántica es que el estado físico de un sistema no determina el resultado de cualquier medida que pueda hacerse sobre él. En términos más crudos, el resultado de una medida sobre dos sistemas cuánticos que tienen el mismo estado físico no siempre arroja los mismos resultados.

Así una teoría como la mecánica cuántica que trata de describir la evolución temporal de los sistemas físicos sólo puede predecir la probabilidad de que al medir una determinada magnitud física se obtenga determinado valor. Es decir, la mecánica cuántica realmente es una teoría que explica cómo varía la distribución de probabilidad de las posibles medidas de un sistema (entre dos mediciones consecutivas, ya que en el instante de la medida se produce un colapso de la función de onda aleatorio).

El estado cuántico de un sistema por las razones anteriormente expuestas no se parece en nada al estado clásico de una partícula o un sistema de partículas. De hecho el estado cuántico de un sistema es representable mediante una función de onda:.

La relación más cercana entre espacio fásico y función de onda es que el cuadrado del módulo de la función de onda está relacionado con una distribución de probabilidad definida sobre el espacio fásico. Esto significa que, para construir el conjunto de estados cuánticos o espacio de Hilbert de ciertos sistemas cuánticos, puede considerarse inicialmente el espacio fásico que se usaría en su descripción clásica y considerar el conjunto de funciones de cuadrado integrable sobre el espacio fásico, a este tipo de procedimiento se le conoce como cuantización. En el tratamiento cuántico, las coordenadas del espacio fásico clásico p y q, se substituyen por operadores hermíticos sobre el espacio de Hilbert que contiene al conjunto de estados posibles.

La conexión entre los operadores hermíticos sobre el espacio de Hilbert y la interpretación clásica de los mismos como magnitudes físicas medibles, puede lograrse mediante el producto de Moyal") que es consistente con el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica. Cada observable cuántico corresponde a una única distribución sobre el espacio de fases, y al revés tal como demostró Hermann Weyl en 1927, trabajo que fue ampliado por John von Neumann (1931); Eugene Wigner (1932) y muy especialmente por H J Groenewold") (1946). El trabajo de J E Moyal") (1949), completó todas estas fundamentaciones de la cuantización de Weyl"), mediante una reformulación lógicamente independiente de los postulados de la mecánica cuántica.

Quantization from classical phase space

In statistical physics, probability distributions are used over phase space; this set of probability distributions can be provided with a Hilbert space structure. It is precisely on this ultimate abstraction that quantum mechanics is built where configuration spaces are not used but directly Hilbert spaces. The state of a quantum system is defined as a wave function that is nothing more than an element or vector of this Hilbert space (specifically the state of the system is an equivalence class of vectors of the Hilbert space).