Descripción matemática del método
El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro etapas:.
Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un problema de álgebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensión no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una proyección sobre un subespacio de dimensión finita, y por tanto con un número finito de ecuaciones (aunque en general el número de ecuaciones será elevado típicamente de miles o incluso centenares de miles). La discretización en elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de proyección sencillo, logrando además que la solución por el método de elementos finitos sea generalmente exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos coinciden usualmente con los vértices de los elementos finitos o puntos destacados de los mismos. Para la resolución concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los métodos convencionales del álgebra lineal en espacios de dimensión finita.
En lo que sigue d es la dimensión del dominio, n el número de elementos finitos y N el número de nodos total.
Formulación débil
La formulación débil de una ecuación diferencial permite convertir un problema de cálculo diferencial formulado en término de ecuaciones diferenciales en términos de un problema de álgebra lineal planteado sobre un espacio de Banach, generalmente de dimensión no finita, pero que puede ser aproximado por un sistema finito de ecuaciones algebraicas.
Dada una ecuación diferencial lineal de la forma:.
Donde la solución es una cierta función definida sobre un dominio d-dimensional , y se han especificado un conjunto de condiciones de contorno adecuadas, puede suponerse que la función buscada es un elemento de un espacio de funciones o espacio de Banach V y que la ecuación () es equivalente a:.
Donde V' es el espacio dual de V, la forma variacional débil se obtiene buscando la única solución tal que:.
Cuando el operador lineal es un operador elíptico, el problema se puede plantear como un problema de minimización sobre el espacio de Banach.
Discretización del dominio
Dado un dominio con una frontera continua en el sentido de Lipschitz una partición en n "elementos finitos", es una colección de n subdominios que satisface:.
Usualmente por conveniencia práctica y sencillez de análisis, todos los "elementos finitos" tienen la misma "forma", es decir, existe un dominio de referencia y una colección de funciones biyectivas:.
Este dominio de referencia se suele llamar frecuentemente también dominio isoparamétrico. En los análisis 2D (d = 2) el dominio de referencia se suele tomar como un triángulo equilátero o un cuadrado, mientras que en los análisis 3D (d = 3), el dominio de referencia típicamente es un tetraedro o un hexaedro. Además sobre cada elemento se considerarán algunos puntos especiales, llamados nodos y que generalmente incluirán los vértices del elemento finito y se requerirá la condición adicional de que dos elementos adyacentes compartan los nodos sobre el subconjunto , es decir:.
Una vez definida la partición en elementos finitos, se define sobre cada elemento un espacio funcional de dimensión finita, usualmente formado por polinomios. Este espacio funcional servirá para aproximar localmente la solución del problema variacional. El problema variacional en su forma débil se plantea sobre un espacio de dimensión no-finita, y por tanto la función buscada será una función de dicho espacio. El problema en esa forma exacta es computacionalmente inabordable, así que en la práctica se considerará un subespacio de dimensión finita del espacio vectorial original . Y en lugar de la solución exacta de () se calcula la proyección de la solución original sobre dicho subespacio vectorial de dimensión finita, es decir, se resolverá numéricamente el siguiente problema:.
Donde:.
Si la discretización es suficientemente fina y el espacio funcional finito sobre cada elemento está bien escogido, la solución numérica obtenida aproximará razonablemente bien la solución original. Eso implicará en general considerar un número muy elevado de elementos finitos y por tanto un subespacio de proyección de dimensión elevada. El error entre la solución exacta y la solución aproximada puede acotarse gracias al lema de Ceá"), que en esencia afirma que la solución exacta y la solución aproximada satisfacen:.
Es decir, el error dependerá ante todo de lo bien que el subespacio vectorial asociado a la discretización en elementos fintios aproxime el espacio vectorial original .
Funciones de forma y espacio de la solución
Existen muchas formas de elegir un conjunto de funciones que formen una base vectorial sobre la que aproximar la solución exacta del problema. Desde un punto de vista práctico resulta útil definir un espacio vectorial de dimensión finita definido sobre el dominio de referencia formado por todos los polinomios de grado igual o inferior a cierto grado:.
Entonces mediante las aplicaciones que aplican el dominio de referencia a cada elemento finito se define el espacio vectorial que servirá para aproximar la solución como:.
Cuando es una función lineal y el espacio está formado por polinomios entonces la restricción de es también un polinomio. El espacio vectorial es un espacio polinómico en que la base de dicho espacio está formada por funciones de forma , que dado el conjunto de nodos del dominio de referencia se definen como:.
Esto permite definir de manera unívoca unas funciones de forma sobre el dominio real sobre el que se define el problema:.
Estas funciones se pueden extender a todo el dominio, gracias a que el conjunto de subdominios o elementos finitos constituye una partición de todo el dominio:.
Las funciones de forma permiten proyectar sobre el espacio de elementos finitos cualquier función definida sobre el dominio original mediante el proyector :.
Resolución de las ecuaciones
Fijada una base asociada a una determinada discretización del dominio, como por ejemplo la dada por las funciones la forma débil del problema (, cuando la función es bilineal) puede escribirse como una ecuación matricial simple:.
Donde N es el número de nodos. Agrupando los términos y teniendo en cuenta que v^h es arbitrario y que, por tanto, la ecuación anterior debe cumplirse para cualquier valor de dicho vector arbitrario, se tiene que:.
Este es la forma común del sistema de ecuaciones de un problema de elementos asociado a una ecuación diferencial lineal, no dependiente del tiempo. Esta última forma es precisamente la forma () de la reseña histórica. Para resolver numéricamente el sistema de ecuaciones (), que usualmente consta de miles o incluso centenares de miles de ecuaciones se requieren algoritmos eficientes que optimicen el número de operaciones que debe realizarse y ahorren memoria.
En general las complicaciones computacionales que deben resolverse en la resolución numérica son:.
Para entender la necesidad de la integración numérica necesitamos ver qué forma tiene típicamente la forma débil del problema, expresada en términos de los subdominios o elementos finitos. Esa forma débil involucra integrales de la forma:.
Donde:.
Aproximación del error
De acuerdo con el lema de Ceá () el error cometido en la aproximación de una solución exacta mediante elementos finitos viene acotada por el error de aproximación, es decir, la solución obtenida mediante el MEF es, tanto más buena cuanto mejor sea la aproximación . Dado que el error de aproximación depende crucialmente del tamaño de los elementos, cuanto mayor sea su número a igualdad de otros factores tanto menor será el error de aproximación. A continuación acotamos este error de aproximación que acotará el error de la solución de elementos finitos.
Para ello necesitamos definir el diámetro de cada subdominio o elemento finito:.
h es una medida de la finura de la discretización es el máximo de los anteriores valores. Puede comprobarse que el error de aproximación (y por tanto el error de la solución mediante elementos finitos) viene acotada por:.
Donde:.
siendo un multiíndice y la derivada parcial de u asociada al mismo. La norma del espacio L(Ω).