Descrição matemática do método
El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro etapas:.
Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un problema de álgebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensión no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una proyección sobre un subespacio de dimensión finita, y por tanto con un número finito de ecuaciones (aunque en general el número de ecuaciones será elevado típicamente de miles o incluso centenares de miles). La discretización en elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de proyección sencillo, logrando además que la solución por el método de elementos finitos sea generalmente exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos coinciden usualmente con los vértices de los elementos finitos o puntos destacados de los mismos. Para la resolución concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los métodos convencionales del álgebra lineal en espacios de dimensión finita.
En lo que sigue d es la dimensión del dominio, n el número de elementos finitos y N el número de nodos total.
formulação fraca
A formulação fraca de uma equação diferencial permite-nos converter um problema de cálculo diferencial formulado em termos de equações diferenciais num problema de álgebra linear colocado num espaço de Banach, geralmente de dimensão não finita, mas que pode ser aproximado por um sistema finito de equações algébricas.
Dada uma equação diferencial linear da forma:.
Onde a solução é uma certa função definida em um domínio d-dimensional, e um conjunto de condições de contorno apropriadas foi especificado, pode-se assumir que a função procurada é um elemento de um espaço de funções ou espaço de Banach V e que a equação () é equivalente a:.
Onde V' é o espaço dual de V, a forma variacional fraca é obtida procurando a única solução tal que:.
Quando o operador linear é um operador elíptico, o problema pode ser declarado como um problema de minimização no espaço de Banach.
Discretização de domínio
Dado um domínio com um limite contínuo no sentido de Lipschitz, uma partição em n "elementos finitos", é uma coleção de n subdomínios que satisfazem:.
Normalmente, por conveniência prática e simplicidade de análise, todos os “elementos finitos” possuem a mesma “forma”, ou seja, existe um domínio de referência e uma coleção de funções bijetivas:.
Este domínio de referência também é frequentemente chamado de domínio isoparamétrico. Em análises 2D (d = 2) o domínio de referência é normalmente considerado um triângulo equilátero ou um quadrado, enquanto em análises 3D (d = 3), o domínio de referência é normalmente um tetraedro ou um hexaedro. Adicionalmente, em cada elemento serão considerados alguns pontos especiais, denominados nós e que geralmente incluirão os vértices do elemento finito e será necessária a condição adicional de que dois elementos adjacentes compartilhem os nós do subconjunto, ou seja:.
Uma vez definida a partição em elementos finitos, define-se um espaço funcional de dimensão finita sobre cada elemento, geralmente formado por polinômios. Este espaço funcional servirá para aproximar localmente a solução do problema variacional. O problema variacional na sua forma fraca é colocado num espaço de dimensão não finita e, portanto, a função procurada será uma função desse espaço. O problema nessa forma exata é computacionalmente intratável, portanto, na prática, um subespaço de dimensão finita do espaço vetorial original será considerado. E em vez da solução exata de (), calcula-se a projeção da solução original no referido subespaço vetorial de dimensão finita, ou seja, o seguinte problema será resolvido numericamente:
Onde:.
Se a discretização for suficientemente fina e o espaço funcional finito sobre cada elemento for bem escolhido, a solução numérica obtida aproximar-se-á razoavelmente bem da solução original. Isto geralmente implicará considerar um número muito elevado de elementos finitos e, portanto, um subespaço de projeção de alta dimensão. O erro entre a solução exata e a solução aproximada pode ser limitado graças ao lema de Ceá"), que afirma essencialmente que a solução exata e a solução aproximada satisfazem:.
Ou seja, o erro dependerá sobretudo de quão bem o subespaço vetorial associado à discretização em elementos fintio se aproxima do espaço vetorial original.
Funções de forma e espaço de solução
Existem muitas maneiras de escolher um conjunto de funções que formam uma base vetorial para aproximar a solução exata do problema. Do ponto de vista prático é útil definir um espaço vetorial de dimensão finita definido no domínio de referência formado por todos os polinômios de grau igual ou menor que um certo grau:.
Então, através das aplicações que aplicam o domínio de referência a cada elemento finito, o espaço vetorial que servirá para aproximar a solução é definido como:
Quando é uma função linear e o espaço é composto por polinômios então a restrição também é um polinômio. O espaço vetorial é um espaço polinomial em que a base desse espaço é formada por funções de forma, que dado o conjunto de nós do domínio de referência são definidas como:
Isso nos permite definir exclusivamente funções de forma no domínio real no qual o problema é definido:
Estas funções podem ser estendidas a todo o domínio, graças ao fato de que o conjunto de subdomínios ou elementos finitos constitui uma partição de todo o domínio:
As funções de forma permitem que qualquer função definida no domínio original seja projetada no espaço de elementos finitos usando o projetor:.
Resolvendo as equações
Dada uma base associada a uma certa discretização do domínio, como aquela dada pelas funções, a forma fraca do problema (quando a função é bilinear) pode ser escrita como uma equação matricial simples:
Onde N é o número de nós. Agrupando os termos e levando em consideração que v^h é arbitrário e que, portanto, a equação anterior deve ser cumprida para qualquer valor do referido vetor arbitrário, temos:
Esta é a forma comum do sistema de equações de um problema de elemento associado a uma equação diferencial linear, independente do tempo. Esta última forma é justamente a forma () da revisão histórica. Para resolver numericamente o sistema de equações (), que geralmente consiste em milhares ou mesmo centenas de milhares de equações, são necessários algoritmos eficientes que otimizem o número de operações que devem ser realizadas e economizem memória.
Em geral, as complicações computacionais que devem ser resolvidas na resolução numérica são:
Para compreender a necessidade de integração numérica, precisamos ver qual é a forma típica da forma fraca do problema, expressa em termos de subdomínios ou elementos finitos. Essa forma fraca envolve integrais da forma:.
Onde:.
Aproximação de erro
Segundo o lema de Ceá (), o erro cometido na aproximação de uma solução exata utilizando elementos finitos é limitado pelo erro de aproximação, ou seja, a solução obtida através do MEF é melhor a aproximação. Como o erro de aproximação depende crucialmente do tamanho dos elementos, quanto maior o seu número, sendo iguais os outros fatores, menor será o erro de aproximação. Abaixo limitamos este erro de aproximação que limitará o erro da solução de elementos finitos.
Para fazer isso precisamos definir o diâmetro de cada subdomínio ou elemento finito:
h é uma medida da finura da discretização e é o máximo dos valores acima. Pode-se verificar que o erro de aproximação (e portanto o erro da solução utilizando elementos finitos) é limitado por:.
Onde:.
sendo um multiíndice e a derivada parcial de u associada a ele. A norma do espaço L(Ω).