Simetría
Introducción
Desde el punto de vista geométrico, un objeto posee simetría si existe una "operación" o "transformación" (como una isometría o una transformación afín) capaz de aplicar su figura sobre sí misma. De forma análoga, se dice que el objeto es simétrico porque posee una invarianza con respecto a la transformación.[1].
Por ejemplo, un círculo girado alrededor de su centro tendrá la misma forma y tamaño que el círculo original: todos los puntos antes y después de la transformación serían indistinguibles. En consecuencia, se dice que un círculo es simétrico por rotación o que posee simetría rotacional. Si la isometría es el reflejo de una figura geométrica, se dice que la figura tiene un eje de simetría; además, es posible que una figura u objeto tenga más de un eje de simetría.[2].
Los tipos de simetrías que son posibles para una figura dependen del conjunto de transformaciones geométricas disponibles y de qué propiedades del objeto deban permanecer sin cambios después de una transformación. Debido a que la composición de dos transformaciones también es una transformación, y que cada transformación tiene una transformación inversa que la deshace, el conjunto de transformaciones respecto a las que un objeto es simétrico forma un grupo "Grupo (matemática)") matemático, el grupo de simetría del objeto.[3].
Simetrías euclídeas en general
El grupo más común de transformaciones aplicadas a los objetos se denomina grupo euclídeo de "isometrías", que son transformaciones que conservan la distancia relativa entre sus puntos, comúnmente consideradas en el espacio bidimensional o tridimensional (es decir, en la geometría del plano o en la geometría del espacio).
Estas isometrías consisten en reflexiones "Reflexión (matemáticas)"), rotaciones, traslaciones "Traslación (geometría)") y combinaciones de estas tres operaciones básicas.[4] En una transformación isométrica, se dice que una figura es simétrica si, después de la transformación, es indistinguible del objeto original antes de la transformación. De forma general, un objeto geométrico es simétrico solo bajo un subconjunto o "subgrupo" de todas las isometrías posibles.
A continuación se describen los tipos de subgrupos de isometría, seguidos por otros tipos de grupos de transformación y por los tipos de invariancia posibles.