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Como se demostró en el Theorema egregium de Gauss, una esfera (o elipsoide) no puede proyectarse sobre un plano "Plano (geometría)") sin que se deforme. Esto se ilustra comúnmente con la imposibilidad de alisar una cáscara de naranja sobre una superficie plana sin romperla y deformarla. La única representación real de una esfera a escala constante es otra esfera como un globo terráqueo.
Dado el limitado tamaño práctico de los globos terráqueos, debemos utilizar mapas para realizar una cartografía detallada. Los mapas requieren proyecciones. Una proyección implica una distorsión: Una separación constante en el mapa no se corresponde con una separación constante en el terreno. Aunque un mapa puede mostrar una escala gráfica de barras, la escala debe utilizarse teniendo en cuenta que solo será precisa en algunas líneas del mapa. (Esto se analiza con más detalle en los ejemplos de las siguientes secciones).
Sea P un punto de latitud y longitud en la esfera (o elipsoide). Sea Q un punto vecino y sea el ángulo entre el elemento PQ y el meridiano en P: este ángulo es el ángulo acimut del elemento PQ. Sean P' y Q' los puntos correspondientes de la proyección. El ángulo entre la dirección P'Q' y la proyección del meridiano es el rumbo . En general, . Comentario: esta distinción precisa entre el acimut (en la superficie de la Tierra) y el rumbo (en el mapa) no se observa universalmente, ya que muchos escritores utilizan los términos casi indistintamente.
Definición: la escala de puntos en P es la relación de las dos distancias P'Q' y PQ en el límite en que Q se acerca a P. Lo escribimos como.
Definición: si P y Q se encuentran en el mismo meridiano , la escala del meridiano se denota por .
Definición: si P y Q se encuentran en el mismo paralelo , la escala paralela se denota por .
Definición: si la escala del punto depende solo de la posición, no de la dirección, se dice que es isotrópica y convencionalmente se denota su valor en cualquier dirección por el factor de escala paralelo .
Definición: Se dice que una proyección cartográfica es conforme") si el ángulo entre un par de líneas que se cruzan en un punto P es el mismo que el ángulo entre las líneas proyectadas en el punto proyectado P', para todos los pares de líneas que se cruzan en el punto P. Un mapa conforme tiene un factor de escala isotrópico. A la inversa, los factores de escala isótropos a través del mapa implican una proyección conforme.
La isotropía de escala implica que los elementos pequeños se estiran por igual en todas las direcciones, es decir, que se conserva la forma de un elemento pequeño. Esta es la propiedad de ortomorfismo, del griego que significa «forma correcta». El calificativo pequeño significa que con una determinada precisión de medida no se puede detectar ningún cambio en el factor de escala sobre el elemento. Dado que las proyecciones conformes tienen un factor de escala isotrópico, también se han denominado proyecciones ortomórficas. Por ejemplo, la proyección Mercator es conforme ya que está construida para preservar los ángulos y su factor de escala es isotrópico, una función de la latitud solamente: Mercator sí preserva la forma en regiones pequeñas.
Definición: en una proyección conforme con una escala isotrópica, los puntos que tienen el mismo valor de escala pueden unirse para formar las líneas de isoescala. Estas no se trazan en los mapas para los usuarios finales, pero aparecen en muchos de los textos estándar. (Véase Snyder[2] páginas 203-206.).
The representative fraction (RF) or main scale
There are two conventions used to establish the equations of any projection. For example, the equirectangular cylindrical projection can be written as.
Here we will adopt the first of these conventions (following the use in Snyder's studies). It is evident that the projection equations above define positions in a huge cylinder wrapped around the Earth and then unwound. These coordinates are said to define the projection map which is to be logically distinguished from actual printed (or viewed) maps. If the definition of the point scale in the previous section is in terms of the projection map, then we can expect the scale factors to be close to unity. For normal tangent cylindrical projections, the scale along the equator is k=1, and in general the scale changes as we move away from the equator. The analysis of the scale on the projection map is an investigation of the change of k away from its true unity value.
Point scale display: the Tissot indicatrix
Let's consider a small circle on the Earth's surface centered at a point P in latitude and longitude. Since the scale of the point varies with position and direction, the projection of the circle onto the projection will be distorted. Tissot") showed that, as long as the distortion is not too large, the circle will become an ellipse on the projection. In general, the dimension, shape and orientation of the ellipse will change on the projection. The superimposition of these distortion ellipses on the map projection conveys the way in which the scale of points changes on the map. The distortion ellipse is known as the Tissot indicatrix. The example shown here is the projection of Winkel-Tripel, the standard projection for world maps made by the National Geographic Society. The minimum distortion occurs in the central meridian at latitudes of 30 degrees (North and South).