Figuras poliédricas relacionadas
Frustos
Um tronco é a porção de uma pirâmide entre dois planos paralelos que cortam todas as faces laterais, apresentando duas bases poligonais não congruentes. É formado pelo truncamento de uma pirâmide paralela à sua base, removendo assim uma tampa piramidal menor.
As faces laterais de um tronco consistem em trapézios conectando as duas bases. O volume VVV de um tronco é calculado usando a fórmula
onde hhh é a altura perpendicular entre as bases, e B1B_1B1 e B2B_2B2 são as áreas das duas bases poligonais.[42]
Um exemplo representativo é o tronco de uma pirâmide quadrada, caracterizado por faces laterais trapezoidais com arestas inclinadas não paralelas. Esses formatos encontram aplicação prática na engenharia, como na construção de caçambas e tremonhas para manuseio de materiais.[43][44]
Ao contrário dos prismas completos, as bordas laterais de um tronco não são paralelas e convergem uma para a outra.[45]
Prismas Truncados
Um prisma truncado é um poliedro uniforme obtido realizando um truncamento uniforme em um prisma uniforme, onde os vértices são cortados até que as arestas originais sejam reduzidas a pontos, resultando em todas as arestas de comprimento igual e todas as faces sendo polígonos regulares. Este processo preserva a convexidade e uniformidade do prisma original enquanto introduz novas faces nos vértices truncados.[15][46]
Na estrutura de um n-prisma truncado, as duas bases n-gonais originais são transformadas em 2n-gons regulares, à medida que cada aresta original da base é substituída por duas novas arestas separadas pelos cortes truncados. As n faces laterais quadriláteras originais (quadrados no caso uniforme) tornam-se octógonos regulares, com cada uma das quatro arestas originais substituídas por duas, e novas arestas adicionadas a partir dos truncamentos nos quatro vértices. Além disso, cada um dos 2n vértices originais, que são trivalentes, é substituído por uma nova face triangular regular. Assim, o n-prisma truncado tem 2 2n-gons regulares, n octógonos regulares e 2n triângulos regulares como faces. O número de vértices é 6n, e o número de arestas é 9n, satisfazendo a fórmula de Euler para poliedros.[47][48]
Exemplos representativos incluem os casos para n pequeno. O prisma triangular truncado (n=3) consiste em dois hexágonos regulares, três octógonos regulares e seis triângulos regulares; tem 18 vértices e 27 arestas. O prisma quadrado truncado (n = 4) apresenta dois octógonos regulares das bases, quatro octógonos regulares das faces laterais (indistinguíveis dos derivados da base no tipo) e oito triângulos regulares. O prisma pentagonal truncado (n=5) possui dois decágonos regulares, cinco octógonos regulares e dez triângulos regulares. Esses exemplos ilustram a progressão na complexidade, mantendo comprimentos de borda uniformes.[47]
A simetria de um prisma n truncado é a mesma do prisma uniforme original, pertencente ao grupo diédrico D_{nh}, que inclui rotações em torno do eixo principal por múltiplos de 360°/n, reflexões através de planos contendo o eixo, e reflexões horizontais perpendiculares ao eixo. Esta simetria prismática garante a transitividade dos vértices e a natureza regular de todas as faces.[16]
Prismas truncados para n = 3,4,5 estão entre os poliedros uniformes convexos com simetria prismática, estendendo a classe de sólidos de Arquimedes em enumerações mais amplas de poliedros semirregulares além dos 13 com simetria tetraédrica, octaédrica ou icosaédrica completa.
Prismas Estrelados e Cruzados
Um prisma estrela é um tipo de poliedro uniforme não convexo formado por duas bases poligonais de estrelas regulares paralelas conectadas por faces laterais retangulares, normalmente quadradas no caso uniforme, onde as bases têm uma densidade maior que 1. Essas bases são polígonos estelares, denotados no símbolo Schläfli como {n/k} com k > 1, como o pentagrama {5/2}, levando a recortes e uma aparência de estrela na estrutura geral. Ao contrário dos prismas convexos com bases poligonais simples, os prismas em estrela são transitivos em vértices, mas exibem simetria reduzida, pertencendo ao grupo diédrico D_{nh}, e sua não convexidade surge das bordas que se cruzam dos polígonos de base sem que a superfície completa do poliedro se cruze na construção padrão.
Os prismas cruzados representam uma variante não-convexa adicional, onde as bases do polígono das duas estrelas são giradas uma em relação à outra - geralmente em um ângulo de 36° para casos pentagonais - fazendo com que as faces laterais se cruzem e produzam poliedros que se auto-intersectam com maior densidade. No prisma pentagrama cruzado, por exemplo, dois pentagramas {5/2} são ligados por faces laterais triangulares, resultando em uma densidade de 2 e uma estrutura onde os vértices ficam em uma superfície hiperbolóide, permitindo o cruzamento mantendo a regularidade geométrica. Essas figuras podem formar compostos ou exibir simetrias semelhantes a compostos, com propriedades que incluem autointersecção de faces e potencial incorporação em superfícies regradas, distinguindo-as de prismas estelares não cruzados por seus elementos laterais que se cruzam.
Exemplos de prismas estelares incluem o prisma pentagrama (poliedro uniforme U78), com 10 vértices, 15 arestas e 7 faces (dois pentagramas e cinco quadrados), e o prisma triangular estrelado, uma variante que usa uma configuração de base estrelada para obter não convexidade através de facetas estendidas. Variantes cruzadas, como o prisma cruzado octagrama, demonstram como a rotação introduz influências da geometria hiperbólica, com vértices em hiperbolóides equiláteros.[53] Alguns prismas estelares se relacionam com os poliedros estelares regulares Kepler-Poinsot, como o grande dodecaedro estrelado {5/2, 3}, através do uso compartilhado de polígonos estelares e figuras de vértices uniformes, embora os prismas mantenham simetria prismática em vez de icosaédrico completo.
Prismas de Dimensão Superior
Em dimensões superiores, um n-prisma é definido como o produto cartesiano de um politopo (n-1) dimensional com um segmento de linha, resultando em um politopo n-dimensional onde as duas facetas paralelas (n-1)-dimensionais correspondem às cópias do politopo base nas extremidades do segmento. Esta construção generaliza o familiar prisma 3D, com as (n-1) facetas laterais sendo os produtos das (n-2) facetas da base com o segmento de linha.
Os n-prismas uniformes estendem essa ideia, exigindo que as duas células paralelas (n-1) sejam politopos regulares e que as células do prisma de conexão sejam cúbicas em sua estrutura lateral, garantindo transitividade do vértice e comprimentos de borda iguais por toda parte. Exemplos notáveis incluem o tesserato quadridimensional, que pode ser construído como um prisma sobre uma base quadrada extrudada em duas dimensões (equivalente ao produto de um quadrado e dois segmentos de linha), apresentando oito células cúbicas. Da mesma forma, o penterato 5-dimensional (ou 5-cubo) surge como um prisma sobre uma base cúbica, com dez células tesserácticas de 4 células.
O volume n-dimensional de um n-prisma é dado pelo produto do volume (n-1)-dimensional do politopo base e o comprimento hhh do segmento de linha, V=Vn−1×hV = V_{n-1} \times hV=Vn−1×h.[56] O grupo de simetria de um n-prisma é o produto direto do grupo de simetria do politopo de base e do grupo diédrico D2hD_{2h}D2h atuando na direção de extrusão, permitindo reflexões e rotações que preservam as bases paralelas.[60]
Famílias infinitas de politopos prismáticos uniformes existem em dimensões superiores, incluindo favos de mel prismáticos que ladrilham o espaço n euclidiano, como o produto de um favo de mel cúbico (n-1) dimensional com um segmento de linha, formando tesselações que preenchem o espaço com células uniformes.