Contenido

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia mínima r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:.

Para un cuerpo de masa continua (medio continuo), se generaliza como:.

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa inercial es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:.

donde:.

Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :.

El vector "Vector (física)") momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

Steiner's theorem or parallel axes theorem

Steiner's theorem (named after Jakob Steiner) states that the moment of inertia with respect to any axis parallel to an axis passing through the center of mass is equal to the moment of inertia with respect to the axis passing through the center of mass plus the product of the mass times the square of the distance between the two axes:

where: I is the moment of inertia with respect to the axis that does not pass through the center of mass;

I is the moment of inertia for an axis parallel to the previous one that passes through the center of mass; M (Total Mass) and h (Distance between the two parallel axes considered).

The proof of this theorem is immediate if we consider the decomposition of coordinates relative to the center of mass C immediate:.

where the second term is null since the average vector distance of mass around the center of mass is null, due to the definition of the center of mass.

The center of gravity and the center of mass may not be coincident, since the center of mass only depends on the mass density of the body; however, the center of gravity depends on the gravitational field in which said body is immersed.

The following moments of inertia are written for rigid bodies of uniform composition and whose axes of rotation pass through a plane of symmetry (that is, perpendicular to said plane) of the body that contains the center of mass.

When studying problems with 3D solids rotating in space, it is necessary to use a slightly more general concept of rotational inertia, called the inertia tensor. The inertia tensor of a rigid solid is a second-order symmetric tensor, which expressed in an orthonormal basis is given by a symmetric matrix, whose tensor components are:

Where are the rectangular Cartesian coordinates.

The elements are called the moment of inertia with respect to the axis, and are the diagonal components of the tensor. The components of the inertia tensor in a rectangular Cartesian coordinate system are:

And the three products of inertia according to the same axes:.

All of the above forms can be derived from the definition of the moment of inertia tensor by doing:.

The moment with respect to any other axis can be expressed as a linear combination of the above magnitudes:

Where the matrix is ​​the inertia tensor expressed in the XYZ base and is the vector parallel to the axis according to which the moment of inertia is to be found.

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Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia mínima r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:.

Para un cuerpo de masa continua (medio continuo), se generaliza como:.

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa inercial es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:.

donde:.

Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :.

El vector "Vector (física)") momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

Steiner's theorem or parallel axes theorem

Steiner's theorem (named after Jakob Steiner) states that the moment of inertia with respect to any axis parallel to an axis passing through the center of mass is equal to the moment of inertia with respect to the axis passing through the center of mass plus the product of the mass times the square of the distance between the two axes:

where: I is the moment of inertia with respect to the axis that does not pass through the center of mass;

I is the moment of inertia for an axis parallel to the previous one that passes through the center of mass; M (Total Mass) and h (Distance between the two parallel axes considered).

The proof of this theorem is immediate if we consider the decomposition of coordinates relative to the center of mass C immediate:.

where the second term is null since the average vector distance of mass around the center of mass is null, due to the definition of the center of mass.

The center of gravity and the center of mass may not be coincident, since the center of mass only depends on the mass density of the body; however, the center of gravity depends on the gravitational field in which said body is immersed.

The following moments of inertia are written for rigid bodies of uniform composition and whose axes of rotation pass through a plane of symmetry (that is, perpendicular to said plane) of the body that contains the center of mass.

When studying problems with 3D solids rotating in space, it is necessary to use a slightly more general concept of rotational inertia, called the inertia tensor. The inertia tensor of a rigid solid is a second-order symmetric tensor, which expressed in an orthonormal basis is given by a symmetric matrix, whose tensor components are:

Where are the rectangular Cartesian coordinates.

The elements are called the moment of inertia with respect to the axis, and are the diagonal components of the tensor. The components of the inertia tensor in a rectangular Cartesian coordinate system are:

And the three products of inertia according to the same axes:.

All of the above forms can be derived from the definition of the moment of inertia tensor by doing:.

The moment with respect to any other axis can be expressed as a linear combination of the above magnitudes:

Where the matrix is ​​the inertia tensor expressed in the XYZ base and is the vector parallel to the axis according to which the moment of inertia is to be found.