Contenido

El intento de dar sensación de volumen a las representaciones pictóricas se encuentra más o menos presente desde las primeras muestras del arte paleolítico, como se puede apreciar en las pinturas rupestres de la cueva de Altamira (con unos 35.000 años de antigüedad), en las que se aprovecha el relieve de las rocas de la pared de la cueva para dotar de profundidad a los dibujos.[12]​ Esta tendencia alcanzó altas cotas de perfección técnica durante la época romana (seguramente basándose en procedimientos empíricos o intuitivos), pero no fue hasta el siglo , durante el Renacimiento italiano, cuando se sentaron las bases geométricas que permitieron convertir el dibujo en perspectiva en una técnica con sólidos fundamentos teóricos. Desde entonces, ha pasado a generalizarse su uso, convirtiéndose en una útil herramienta primero para los pintores, después para los arquitectos y más adelante para los ingenieros, hasta llegar al desarrollo en el último cuarto del siglo de las aplicaciones por ordenador que permiten automatizar la generación de este tipo de vistas, que hasta entonces podían requerir de una laboriosa construcción gráfica.[13]​.

Antecedentes

Las primeras pinturas y dibujos artísticos generalmente clasificaban muchos objetos y personajes jerárquicamente según su importancia espiritual o temática, pero no según su distancia al espectador, y no usaban el escorzo. Las figuras más importantes a menudo se muestran como las más altas en una composición, especialmente de motivos hieráticos, lo que lleva a la llamada "perspectiva vertical", común en el arte del Antiguo Egipto, donde un grupo de figuras "más cercanas" se muestran debajo de la figura o figuras más grandes. En las pinturas egipcias se concebía un espacio bidimensional de la superficie a pintar, sin sugerir estrictamente una idea de concepción espacial. Disponían los personajes aumentando su tamaño según su importancia, lo que los historiadores del arte denominan perspectiva jerárquica o teológica.[14]​.

El único método para indicar la posición relativa de los elementos en la composición era la superposición, de la que se hace mucho uso en trabajos como los mármoles de Elgin, las famosas esculturas que decoraban el Partenón de Atenas. Sin embargo, existen numerosos estudios acerca del propio Partenón, que afirman que sus dimensiones (especialmente la forma e inclinación de sus columnas) fueron meticulosamente estudiadas para contrarrestar los efectos de la perspectiva sobre las líneas maestras del edificio.[15]​.

Antigüedad y Edad Media

Se considera que los primeros intentos por desarrollar un sistema de perspectiva comenzaron alrededor del siglo a. C. en el arte de la Antigua Grecia, como parte del interés en producir la ilusión óptica de profundidad en los escenarios teatrales. Este hecho se describe en la Poética "Poética (Aristóteles)") de Aristóteles como la escenografía: el uso de paneles planos en un escenario para dar la ilusión de profundidad.[16]​ Los filósofos Anaxágoras y Demócrito elaboraron teorías geométricas de la perspectiva para ser usadas en la skenographia. Alcibíades tenía pinturas en su casa diseñadas usando esta técnica,[17]​ por lo que este arte no se limitó simplemente a los escenarios.

Platón fue uno de los primeros en discutir los problemas de la perspectiva:.

En su Óptica, Euclides introdujo una teoría matemática de la perspectiva, pero existe cierto debate sobre hasta qué punto coincide con la definición matemática moderna. En los últimos períodos de la antigüedad, los artistas, especialmente aquellos de tradiciones menos populares, sabían que los objetos distantes podían mostrarse más pequeños que los cercanos para aumentar el realismo, pero el hecho de que esta convención se utilizara realmente en un trabajo dependía de muchos factores. Algunas de las pinturas encontradas en las ruinas de Pompeya muestran un notable realismo y perspectiva para su tiempo.[19]​ Se ha afirmado que los sistemas completos de perspectiva ya se desarrollaron en la antigüedad, pero la mayoría de los eruditos no lo aceptan. Casi ninguna de las muchas obras en las que se hubiera utilizado un sistema así ha sobrevivido. Un pasaje de Filóstrato sugiere que los artistas y teóricos clásicos pensaban en términos de "círculos" a igual distancia del espectador, como un teatro semicircular clásico visto desde el escenario.[20]​ En los dibujos del códice Vergilius Vaticanus, alrededor del año 400 más o menos, las vigas del techo de las habitaciones se muestran convergentes en un punto de fuga común, pero esto no está sistemáticamente relacionado con el resto de la composición.

Los artistas chinos utilizaron la proyección oblicua desde el siglo hasta el siglo . No es seguro cómo llegaron a usarla; algunas autoridades sugieren que los chinos adquirieron esta técnica de la India, que a su vez la adquirió de la Antigua Roma.[21]​ La proyección oblicua también aparece en el arte japonés, como en las pinturas Ukiyo-e de Torii Kiyonaga (1752-1815).[21]​ En el siglo , los artistas chinos comenzaron a combinar la perspectiva oblicua con la disminución regular del tamaño de las personas y los objetos con la distancia; no se elige ningún punto de vista particular, pero se logra un efecto convincente.[21]​.

En el período de la Antigüedad tardía, el uso de técnicas de perspectiva disminuyó. El arte de las nuevas culturas del período de las grandes migraciones no tenía tradición de intentar composiciones con gran número de figuras, y el arte medieval temprano tardó mucho y fue inconsistente en volver a aprender la convención de los modelos clásicos, aunque el proceso ya se puede apreciar en el arte carolingio.[23]​.

Varias pinturas durante la Edad Media muestran intentos de proyecciones en dibujos de muebles, donde las líneas paralelas se representan con éxito en proyección isométrica o mediante líneas a su vez paralelas, pero sin un único punto de fuga.

Los artistas medievales en Europa, como los del mundo islámico y China, conocían el principio general de variar el tamaño relativo de los elementos según la distancia, pero contaban con motivos compositivos para ignorarlo, incluso más que el arte clásico. Los edificios a menudo se muestran oblicuamente según una convención particular. El uso y la sofisticación de los intentos de transmitir la sensación de distancia aumentaron constantemente durante este período, pero sin basarse en una teoría sistemática. El arte bizantino también conocía estos principios, pero mantenía la convención de la perspectiva invertida para destacar las figuras principales.[24]​ Hasta llegar al final de la Baja Edad Media, los intentos de conseguir una cierta idea de perspectiva se encuentran en la perspectiva caballera,[25]​ donde los objetos más alejados se sitúan en la parte superior de la composición y los más cercanos, en la inferior.

Renacimiento: base matemática

El artista que se considera el antecesor del renacimiento italiano, el pintor gótico Giotto (1267-1336), fue uno de los primeros pintores que comenzó a dotar de tridimensionalidad de forma coherente aunque todavía intuitiva a sus composiciones.[26]​ Los artistas empiezan a buscar la sensación espacial a través de la observación de la naturaleza. Con las obras de Fra Angelico (1390-1455) —como en La Anunciación "La Anunciación (Fra Angélico, Florencia)")— y sobre todo con las de Masaccio[27]​ —en su Trinidad "Trinidad (Masaccio)") (h. 1420-1425)—, se logra la sensación de espacio mediante el uso metódico de la perspectiva cónica, donde las líneas paralelas de un objeto convergen hacia un determinado punto de fuga. El tamaño de las figuras se va reduciendo en función de la distancia, lo que provoca la ilusión óptica de profundidad.

Entre los años 1416 y 1420, Filippo Brunelleschi (1377-1476), artista y arquitecto florentino del renacimiento italiano, para poder representar los edificios en perspectiva, realizó una serie de estudios con la ayuda de instrumentos ópticos. Con ellos, descubrió los principios geométricos que rigen la perspectiva cónica, una forma de perspectiva lineal basada en la intersección de un plano con un imaginario cono "Cono (geometría)") visual cuyo vértice sería el ojo del observador. Los objetos parecen más pequeños cuanto más lejos están. Además, pictóricamente, tienen colores más tenues, poseen contornos más difusos y menos contraste cuanto más alejados están.[26]​.

En 1434, Brunelleschi demostró el método geométrico de la perspectiva utilizado hoy por los artistas. Al pintar los contornos de varios edificios de Florencia sobre un espejo, cuando prolongó sus líneas maestras, se dio cuenta de que convergían en la recta del horizonte. Según Giorgio Vasari, introdujo una demostración de su técnica en la puerta incompleta de la catedral de Santa María del Fiore. Hizo que el espectador mirara a través de un pequeño agujero en la parte posterior de una pintura del Baptisterio "Baptisterio de San Juan (Florencia)"), frente al propio edificio. Luego, disponía un espejo, de cara al espectador, que reflejaba su pintura. Para el espectador, la pintura del Baptisterio y el edificio en sí eran casi indistinguibles.[28]​.

En el campo de la escultura, los bronces concebidos por Lorenzo Ghiberti (1378-1455) para la puerta norte del baptisterio de la catedral de Florencia "Baptisterio de San Juan (Florencia)") también muestran un completo dominio de la técnica de la perspectiva.[29]​.

Poco después, casi todos los artistas de Florencia e Italia utilizaron la perspectiva geométrica en sus pinturas,[30]​ notablemente Paolo Uccello, Masolino da Panicale y Donatello. El propio Donatello comenzó a representar suelos enlosados con aspecto de tablero de ajedrez en un grabado sobre el nacimiento de Cristo. Aunque históricamente improbables, estos enlosados obedecían las leyes primarias de la perspectiva geométrica: las líneas convergían aproximadamente a un punto de fuga, y la velocidad a la que las líneas horizontales retrocedían en función de la distancia se determinaba gráficamente. Este aspecto se convirtió en una parte integral del arte del Quattrocento.[31]​.

Manifestaciones posteriores

Durante los tres siglos que siguieron al Renacimiento, hasta finales del siglo aproximadamente, la perspectiva continuó siendo una herramienta fundamental a disposición de los pintores, aunque en distintas épocas surgieron voces que criticaron el rigor matemático de las composiciones como una cortapisa a la libertad expresiva de los artistas. El pintor italiano de finales del siglo Federico Zuccaro acusaba a esta técnica de quitar al arte toda su gracia y su espíritu.[13]​.

Así, tras el Renacimiento, durante la época manierista, ya no se intenta representar la realidad de manera naturalista, se hace más complicada, se crean perspectivas ilusorias con puntos de fuga múltiples o sacando el punto de fuga fuera de la pintura y se distorsionan deliberadamente las proporciones en un espacio desarticulado e irracional para lograr un efecto emocional y artístico.[13]​ Poco después, el astrónomo y matemático italiano Guidobaldo Del Monte (1545-1607), en su obra Perspectivas Libri Sex (1600), idea una formulación matemática de la proyección cónica más acorde con sus propiedades geométricas.[6]​.

A finales del siglo la técnica de la perspectiva cónica llegó a China y Japón a través de las primeras misiones jesuitas en Asia, produciendo un choque con las tradiciones pictóricas locales, acostumbradas a respetar el paralelismo de las líneas en sus composiciones.[43]​.

Ya en plena etapa barroca, la forma es definida sobre todo por el color, la luz y el movimiento, con lo que las composiciones se complican, se adoptan perspectivas insólitas y los volúmenes se distribuyen de manera asimétrica. Pintores como el neerlandés Johannes Vermeer (1632-1675) o el español Diego Velázquez (1599-1660) incorporaron contrastes de luminosidad a sus pinturas para dotarlas de una atmósfera propia (efecto conocido como perspectiva aérea,[44]​ con el que se intenta representar la atmósfera, el aire que envuelve a los objetos, degradando su color a medida que se van alejando del espectador, aportando así no solo una sensación de profundidad).

Desde el punto de vista teórico, la culminación de estas tradiciones del Renacimiento encuentra su última síntesis en la investigación sobre la perspectiva, la óptica y la geometría proyectiva del arquitecto, geómetra y óptico francés del siglo Girard Desargues (1591-1661).[45]​ Más adelante, el pintor español Antonio Palomino (1655-1726) publicó un tratado en el que dio a conocer el método del triángulo áureo para dibujar perspectivas, que hasta entonces permanecía restringido al círculo de dibujantes y pintores.[6]​ En 1715, la publicación del tratado de perspectiva lineal del matemático británico Brook Taylor (1685-1731),[46]​ permitió que la enseñanza de la perspectiva a los artistas se basase en el estudio de las matemáticas subyacentes a esta técnica.

Evolución de la perspectiva axonométrica

Las proyecciones ortogonales (sin puntos de fuga) tienen una larga historia, especialmente si se incluyen en esta categoría los planos en planta, de los que se conoce un ejemplo procedente de Caldea de hace más de 4000 años, en el que se representa un templo correspondiente a la época del rey Gudea.[6]​.

Posteriormente, el desarrollo de la geometría en el antiguo Egipto quedó ligado a la realización de dibujos esquemáticos sobre papiros, tradición que a través de la Grecia clásica (donde no son infrecuentes las cerámicas con reproducciones axonométricas de elementos arquitectónicos) pasó hasta Roma. En este sentido, en los diez libros del arquitecto romano Vitrubio[56]​ ya se escribe acerca de la necesidad de realizar planos antes de construir cualquier obra.

La Edad Media en Europa supuso un periodo de estancamiento respecto a los conocimientos técnicos adquiridos por los constructores y artistas romanos. Sin embargo, una excepción notable fue el maestro de obra francés de comienzos del siglo Villard de Honnecourt, que en su Libro del Cantero incluye esquemas geométricos en perspectiva para el encaje de los sillares.[43]​.

El vertiginoso desarrollo de la perspectiva cónica en la Italia del Renacimiento supuso un cierto arrinconamiento del sistema axonométrico en el arte, que sin embargo conservó un papel importante en la ingeniería militar y en los dibujos técnicos, como acreditan los numerosos planos de máquinas contenidos en los códices de Leonardo da Vinci.[43]​ Los tratadistas del renacimiento, deslumbrados por los logros pictóricos de la perspectiva cónica, apenas se ocuparon de la axonométrica. Tan solo Luca Pacioli hizo alguna referencia a su utilidad para representar los sólidos platónicos en su obra Divina Proportio de 1509.

Durante el siglo aparecen las primeras obras sobre estereotomía de la piedra y la madera, pero sobre todo cobra auge la arquitectura militar, con numerosos tratados sobre fortificaciones como el del italiano Francesco di Giorgio (1439-1502), que compartió el espíritu geométrico de la obra de Leonardo.[43]​ Junto con Jacopo Castriotto, Girolamo Maggi (c. 1523-1572) instauró la tradición del dibujo axonométrico en los tratados militares, contraponiéndolo explícitamente a las perspectivas cónicas.

La codificación científica de la axonometría puede atribuirse al francés Desargues y a su discípulo Abraham Bosse (c. 1602–1676). Como en el caso de perspectiva cónica, Gaspard Monge y Jean-Victor Poncelet sentaron las bases rigurosas de las proyecciones ortogonales, relacionando ambas.

En 1820, el químico británico William Farish "William Farish (químico)") (1759-1837) inventó la perspectiva isométrica. La referencia en la Enciclopedia Británica de 1835 a esta técnica hizo que adquiriera gran popularidad. Julius Ludwig Weisbach (1806-1871), Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876) y Oskar Schlömilch (1823-1901) completaron la formulación axiomática de la axonometría en el periodo de transición entre los siglos y . En España, el ingeniero Eduardo Torroja (1899-1961)[57]​ sistematizó en un manual los distintos tipos de perspectiva axonométrica.[6]​.

Presente: gráficos por computadora

El origen de los gráficos interactivos por ordenador se sitúa en 1963, cuando Ivan Sutherland presentó en el MIT su tesis doctoral[58]​ sobre un sistema informático que permitía manejar gráficamente elementos geométricos. Esta aplicación pionera daría lugar a la aparición del CAD, sentando las bases teoricoprácticas de los primeros programas de diseño asistido.[6]​.

Numerosos videojuegos y películas de animación con escenarios tridimensionales, así como la inmensa mayoría de aplicaciones de diseño gráfico por ordenador, se valen de versiones numéricas más o menos simplificadas para generar imágenes en perspectiva.[59]​.

Los programas de ordenador generalmente utilizan modelos numéricos en coordenadas tridimensionales de los motivos a representar, formados por superficies compuestas de numerosas escamas triangulares o poligonales,[60]​ normalmente dotadas de color y de textura. Una vez situados el punto de vista y el plano del dibujo en el mismo sistema de coordenadas tridimensionales del modelo observado (como si fueran el ojo del observador y una ventana por la que estuviese mirando), el programa de ordenador calcula las intersecciones con el plano del dibujo de las ternas de rayos que conectan cada triángulo del modelo con el punto de vista de la escena. Cada terna de puntos de corte con el plano de dibujo, genera un triángulo proyectado en el citado plano, que hereda el color y la textura del triángulo original del modelo. De acuerdo con las coordenadas de los triángulos proyectados sobre el plano de dibujo, el código del programa se encarga de dar a la tarjeta gráfica[61]​ del ordenador las instrucciones necesarias para controlar el encendido de los píxeles del monitor que finalmente componen la imagen generada.[62]​.

El constante incremento de la potencia de cálculo de los equipos informáticos y las sucesivas mejoras en los algoritmos que calculan la geometría y la modelización de los objetos visualizados (con comportamientos tan complejos como los de las sombras propias y arrojadas; los brillos y reflejos; los líquidos; el fuego; los objetos transparentes; los movimientos de los seres vivos y las texturas del pelo y de la piel...) han permitido la creación de aplicaciones (especialmente videojuegos) capaces de generar en tiempo real escenas en perspectiva cada vez de mayor realismo. Dado que se dispone de las herramientas matemáticas necesarias para la generación de estas imágenes, parece que es cuestión de tiempo que se disponga de la potencia de cálculo requerida para que las imágenes generadas por ordenador lleguen a ser prácticamente indistinguibles a simple vista de las imágenes reales captadas por los equipos de vídeo o las cámaras de cine.[63]​.

El diseño asistido por computadora y la mayoría de los videojuegos (especialmente las aplicaciones que usan polígonos en 3-D) utilizan álgebra lineal, y en particular la multiplicación de matrices para realizar los cálculos necesarios para la generación de imágenes en perspectiva. Los cálculos básicos necesarios son muy simples: para conocer las coordenadas de una visual sobre el plano del dibujo, basta determinar el punto de intersección entre ambos, lo que equivale a la resolución trivial de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. En realidad, las matemáticas[64]​ subyacentes a la geometría de la perspectiva son muy sencillas, y la complejidad de la generación de imágenes realistas radica tanto en el gran número de objetos elementales que deben manejarse secuencialmente, como en los elevados requerimientos de cálculo de los sofisticados algoritmos que modelizan el comportamiento de la luz incidiendo sobre la modelización de los objetos que componen una escena.

De los muchos tipos de dibujos en perspectiva cónica, los más habituales son con un punto de fuga, con dos o con tres; característica que sirve para denominarlos, aunque conceptualmente son el mismo tipo de sistema de representación. Por su parte, las perspectivas axonométricas presentan una mayor variedad de tipologías:.

Los sistemas de perspectiva curvilíneos forman parte de las cónicas, dado que todas las visuales que sirven para definir el dibujo pasan por un único vértice común (el punto de vista), con la salvedad de que se utilizan superficies de proyección distintas del plano (como cilindros o esferas).

Perspectiva con un punto de fuga

Un dibujo en perspectiva de este tipo contiene solo un punto de fuga en la línea del horizonte. Se usa generalmente para representar imágenes de motivos lineales, como carreteras, vías férreas, pasillos o edificios vistos de manera que el frente esté directamente delante del observador. Cualquier objeto que se compone de líneas, ya sea directamente paralelas a la línea de visión del espectador o directamente perpendiculares (como las traviesas del ferrocarril) se puede representar adecuadamente con una perspectiva de un punto de fuga, en el que convergen las líneas que se alejan del espectador.[68]​.

La perspectiva de un punto se da cuando el plano del dibujo es paralelo a dos ejes de una escena con motivos rectilíneos, compuesta enteramente de elementos lineales que se cortan solo en ángulos rectos. Si un eje es paralelo al plano de la imagen, entonces todos los elementos son paralelos al plano de la imagen (ya sea horizontal o verticalmente) o perpendiculares a él. Todos los elementos que son paralelos al plano de la imagen se dibujan como líneas paralelas. Todos los elementos que son perpendiculares al plano de la imagen convergen en un único punto (un punto de fuga) en el horizonte.[2]​.

Perspectiva con dos puntos de fuga

La perspectiva con dos puntos de fuga, que pueden colocarse arbitrariamente en el horizonte, se suele usar para dibujar los mismos objetos que una perspectiva de un punto, pero cuando están rotados: por ejemplo, cuando se mira hacia la esquina de una casa, o en la vista de dos caminos bifurcados cuya anchura aparente se reduce con la distancia. Uno de los puntos de fuga representa un conjunto de líneas rectas paralelas "Paralelismo (matemática)"), y el segundo representa otro. Vistas desde una esquina, las aristas horizontales de una de las paredes de una casa convergerían hacia un punto de fuga, mientras que las de la otra pared se dirigirían hacia el punto de fuga opuesto.[68]​.

La perspectiva de dos puntos de fuga se produce cuando el plano del dibujo es paralelo a un eje coordenado (generalmente el eje vertical) pero no a los otros dos ejes. Si la escena que se visualiza consiste únicamente en un cilindro con su base sobre un plano horizontal, no existe diferencia en la imagen del cilindro entre una perspectiva de un punto y de dos puntos de fuga.

Posee un conjunto de líneas paralelas al plano de la imagen y dos conjuntos oblicuos al mismo. Cada familia de líneas paralelas oblicuas al plano de la imagen converge en su propio punto de fuga, lo que significa que esta configuración requerirá dos puntos de fuga.[2]​.

Perspectiva con tres puntos de fuga

La perspectiva con tres puntos de fuga se usa a menudo para representar edificios vistos desde arriba o desde abajo. Además de los dos puntos de fuga ya descritos, uno para cada familia de paredes, en este caso se localiza un tercer punto de fuga sobre el que convergen las líneas verticales de las paredes. Para un objeto visto desde arriba, este tercer punto de fuga está debajo del suelo. Para un objeto visto desde abajo, como cuando el espectador mira hacia arriba a un edificio alto, el tercer punto de fuga se sitúa en el zenith.[68]​.

La perspectiva de tres puntos de fuga se produce al dibujar un motivo con caras ortogonales, cuando el plano de la imagen no es paralelo a ninguno de los tres ejes de la escena, correspondiendo cada uno con uno de los tres puntos de fuga de la imagen.

Las perspectivas con uno, dos y tres puntos de fuga parecen incorporar diferentes formas de cálculo del dibujo, y se podría pensar que se generan mediante diferentes métodos. Matemáticamente, sin embargo, las tres son idénticas; la diferencia radica meramente en la orientación relativa de las caras ortogonales de la escena rectilínea respecto al espectador y al plano del dibujo.[2]​.

Escorzo

El escorzo es el efecto visual o ilusión óptica que hace que un objeto o una distancia parezcan más cortos de lo que realmente son porque están girados hacia el espectador. Además, en las imágenes los objetos generalmente no se escalan de manera uniforme: un círculo a menudo aparece como una elipse[69]​ y un cuadrado puede aparecer como un trapezoide.

Aunque el escorzo es un elemento importante en el arte donde se representa la perspectiva visual, también se produce en otros tipos de representaciones bidimensionales de escenas tridimensionales. Algunos otros tipos en los que puede producirse escorzo incluyen dibujos en proyección paralela oblicua.[70]​.

En pintura, el escorzo en la representación de la figura humana se perfeccionó en el Renacimiento italiano, y la famosa pintura de la "Lamentación sobre Cristo muerto "Lamentación sobre Cristo muerto (Mantegna)")" de Andrea Mantegna (1480) es una de las realizaciones más conocidas de una serie de obras que muestran la nueva técnica, que posteriormente se convirtió en una parte estándar de la formación de los artistas.[32]​.

Perspectiva con numerosos puntos de fuga

Las perspectivas de un punto, de dos puntos y de tres puntos dependen de la estructura de la escena que se está observando. Solo existen para escenarios estrictamente cartesianos (con tres ejes rectilíneos generalmente ortogonales). Al insertar en una escena cartesiana un conjunto de líneas paralelas entre sí que no son paralelas a ninguno de los tres ejes principales, se crea un nuevo punto de fuga distinto. Por lo tanto, es posible tener una perspectiva con infinitos puntos de fuga si la escena que se está viendo no se ajusta a un sistema de ejes cartesianos, sino que consiste en infinitas parejas de líneas paralelas, donde cada par de rectas no es paralelo a ningún otro par.[2]​.

Perspectiva curvilínea

La perspectiva curvilínea,[71]​ también llamada perspectiva de punto infinito o perspectiva de cuatro puntos, es la variante curvilínea de la perspectiva de dos puntos. Una imagen en perspectiva curvilínea puede representar una panorámica[72]​ de 360° e incluso más allá de 360° para diseñar escenas imposibles. Se puede utilizar con una línea del horizonte tanto horizontal como vertical. En esta última configuración puede representar tanto una vista de gusano como una vista aérea de una escena al mismo tiempo.

El método habitual de generar perspectivas curvilíneas es proyectar el modelo sobre una superficie teórica curvada, en vez de hacerlo sobre un plano (aunque finalmente, el resultado se dibuje sobre un plano). Así, se habla de una perspectiva de cuatro puntos de fuga cuando se utiliza un cilindro que rodea al observador (los cuatro puntos se sitúan delante, detrás y a ambos lados, cubriendo 360°); cuando se utiliza media esfera se habla de cinco puntos (arriba, abajo, izquierda, derecha y al frente); y con una esfera completa, se habla de seis puntos (se añade un punto de fuga situado detrás).[68]​.

Al igual que todas las demás variantes escorzadas de perspectiva (perspectivas de un punto a seis puntos),[68]​ comienza con una línea del horizonte, seguida de cuatro puntos de fuga igualmente espaciados para delinear cuatro líneas verticales. Los puntos de fuga creados para generar las ortogonales curvilíneas se localizan libremente en las cuatro líneas verticales colocadas en el lado opuesto de la línea del horizonte. La única dimensión no escorzada en este tipo de perspectiva es la de las líneas rectas paralelas entre sí, perpendiculares a la línea del horizonte, similares a las líneas verticales utilizadas en la perspectiva con dos puntos.[68]​.

Perspectiva sin puntos de fuga

Una perspectiva sin puntos de fuga (perspectiva con "cero puntos de fuga") se produce cuando el espectador está observando una escena no lineal, y que por lo tanto no contiene rectas paralelas.[73]​ El ejemplo más común de una vista no lineal de este tipo es una escena natural (por ejemplo, una cadena montañosa) que a menudo no contiene ninguna línea paralela. Esto no debe confundirse con las vistas de un sistema diédrico, ya que una vista sin puntos de fuga explícitos puede haberse dibujado de tal manera que hubiera habido puntos de fuga si hubiera habido rectas paralelas, y así disfrutar de la sensación de profundidad como en una proyección en perspectiva cualquiera.[11]​.

Por otro lado, una proyección paralela, como la diédrica, se puede aproximar a una perspectiva cuando el objeto en cuestión se observa desde muy lejos, porque las líneas de proyección tienden a hacerse paralelas cuando el punto de vista se aproxima al infinito. Esto puede explicar la confusión de las perspectivas sin puntos de fuga con las proyecciones ortogonales, ya que las escenas naturales a menudo se ven desde muy lejos, y el tamaño de los objetos dentro de la escena suele ser insignificante en comparación con su distancia al punto de vista. La apariencia de cualquier pequeño objeto en dicha escena se asemejaría así a su aspecto en una proyección paralela.[74]​.

Perspectivas axonométricas

Este tipo de proyecciones se caracterizan porque las visuales son paralelas entre sí, lo que en teoría equivale a que el punto de vista de la proyección se sitúe en el infinito. En la práctica, presentan la ventaja de que permiten medir directamente sobre los tres ejes coordenados las dimensiones del modelo representado.

Se clasifican en dos tipos principales:[75]​.

Existen varios métodos para generar perspectivas, que incluyen:.

Las imágenes de perspectiva se calculan suponiendo una relación determinada entre el punto de vista y el plano donde se proyecta la imagen, que a su vez poseen una determinada posición respecto al modelo que se quiere dibujar. Para que la imagen resultante aparezca idéntica a la escena original, un espectador de la perspectiva debe ver la imagen desde el punto de vista exacto utilizado en los cálculos relativos a la imagen. Esto provoca lo que aparecerían como distorsiones en la imagen cuando se mira desde un punto diferente. En la práctica, a menos que el usuario elija un ángulo extremo, como mirar la imagen desde la esquina inferior de la ventana, la perspectiva normalmente se ve más o menos correcta. Este efecto se conoce como la paradoja de Zeeman.[76]​.

Se ha sugerido que un dibujo en perspectiva todavía parece estar en perspectiva cuando se contempla descentradamente porque todavía se percibe como un dibujo, al carecer de la profundidad de campo que sí posee el modelo original.[77]​.

Sin embargo, para una perspectiva típica, el campo de visión es lo suficientemente estrecho (a menudo solo 60 grados) como para que las distorsiones sean lo suficientemente pequeñas, de forma que la imagen se pueda ver desde un punto diferente al punto de vista calculado real sin aparecer significativamente distorsionada. Cuando se requiere un ángulo de visión mayor, el método estándar de proyectar rayos sobre una superficie plana no es práctico. Como máximo teórico, el campo de visión de una imagen plana debe ser inferior a 180 grados, porque a medida que el campo de visión aumenta hacia 180 grados, la anchura requerida del plano de imagen se aproxima al infinito.

Para crear una imagen de rayos proyectados con un gran campo de visión, se puede proyectar la imagen sobre una superficie curva. Para tener un gran campo de visión horizontal en la imagen, una superficie que es un cilindro vertical (es decir, el eje del cilindro es paralelo al eje z) será suficiente (de manera similar, si el campo de visión amplio que se desea está solo en la dirección vertical de la imagen, un cilindro horizontal será suficiente). Una superficie de imagen cilíndrica permitirá una imagen proyectada de rayos de hasta 360 grados completos en la dimensión horizontal o vertical de la imagen en perspectiva (dependiendo de la orientación del cilindro). Del mismo modo, al usar una superficie de imagen esférica, el campo de visión puede ser de 360 grados completos en cualquier dirección (téngase en cuenta que para una superficie esférica, todos los rayos proyectados desde la escena hasta el ojo se cruzan con la superficie en ángulo recto).[68]​.

Del mismo modo que una imagen de perspectiva estándar debe verse desde el punto de vista calculado para que la imagen parezca idéntica a la escena real, una imagen proyectada en un cilindro o esfera debe ser vista desde el punto de vista calculado para que sea exactamente idéntica a la escena original. Si una imagen proyectada sobre una superficie cilíndrica se "desenrolla" en una imagen plana, se producen diferentes tipos de distorsiones. Por ejemplo, muchas de las líneas rectas de la escena se dibujarán como curvas. Una imagen proyectada en una superficie esférica puede aplanarse de varias maneras:[68]​.

Contenido

El intento de dar sensación de volumen a las representaciones pictóricas se encuentra más o menos presente desde las primeras muestras del arte paleolítico, como se puede apreciar en las pinturas rupestres de la cueva de Altamira (con unos 35.000 años de antigüedad), en las que se aprovecha el relieve de las rocas de la pared de la cueva para dotar de profundidad a los dibujos.[12]​ Esta tendencia alcanzó altas cotas de perfección técnica durante la época romana (seguramente basándose en procedimientos empíricos o intuitivos), pero no fue hasta el siglo , durante el Renacimiento italiano, cuando se sentaron las bases geométricas que permitieron convertir el dibujo en perspectiva en una técnica con sólidos fundamentos teóricos. Desde entonces, ha pasado a generalizarse su uso, convirtiéndose en una útil herramienta primero para los pintores, después para los arquitectos y más adelante para los ingenieros, hasta llegar al desarrollo en el último cuarto del siglo de las aplicaciones por ordenador que permiten automatizar la generación de este tipo de vistas, que hasta entonces podían requerir de una laboriosa construcción gráfica.[13]​.

Antecedentes

Las primeras pinturas y dibujos artísticos generalmente clasificaban muchos objetos y personajes jerárquicamente según su importancia espiritual o temática, pero no según su distancia al espectador, y no usaban el escorzo. Las figuras más importantes a menudo se muestran como las más altas en una composición, especialmente de motivos hieráticos, lo que lleva a la llamada "perspectiva vertical", común en el arte del Antiguo Egipto, donde un grupo de figuras "más cercanas" se muestran debajo de la figura o figuras más grandes. En las pinturas egipcias se concebía un espacio bidimensional de la superficie a pintar, sin sugerir estrictamente una idea de concepción espacial. Disponían los personajes aumentando su tamaño según su importancia, lo que los historiadores del arte denominan perspectiva jerárquica o teológica.[14]​.

El único método para indicar la posición relativa de los elementos en la composición era la superposición, de la que se hace mucho uso en trabajos como los mármoles de Elgin, las famosas esculturas que decoraban el Partenón de Atenas. Sin embargo, existen numerosos estudios acerca del propio Partenón, que afirman que sus dimensiones (especialmente la forma e inclinación de sus columnas) fueron meticulosamente estudiadas para contrarrestar los efectos de la perspectiva sobre las líneas maestras del edificio.[15]​.

Antigüedad y Edad Media

Se considera que los primeros intentos por desarrollar un sistema de perspectiva comenzaron alrededor del siglo a. C. en el arte de la Antigua Grecia, como parte del interés en producir la ilusión óptica de profundidad en los escenarios teatrales. Este hecho se describe en la Poética "Poética (Aristóteles)") de Aristóteles como la escenografía: el uso de paneles planos en un escenario para dar la ilusión de profundidad.[16]​ Los filósofos Anaxágoras y Demócrito elaboraron teorías geométricas de la perspectiva para ser usadas en la skenographia. Alcibíades tenía pinturas en su casa diseñadas usando esta técnica,[17]​ por lo que este arte no se limitó simplemente a los escenarios.

Platón fue uno de los primeros en discutir los problemas de la perspectiva:.

En su Óptica, Euclides introdujo una teoría matemática de la perspectiva, pero existe cierto debate sobre hasta qué punto coincide con la definición matemática moderna. En los últimos períodos de la antigüedad, los artistas, especialmente aquellos de tradiciones menos populares, sabían que los objetos distantes podían mostrarse más pequeños que los cercanos para aumentar el realismo, pero el hecho de que esta convención se utilizara realmente en un trabajo dependía de muchos factores. Algunas de las pinturas encontradas en las ruinas de Pompeya muestran un notable realismo y perspectiva para su tiempo.[19]​ Se ha afirmado que los sistemas completos de perspectiva ya se desarrollaron en la antigüedad, pero la mayoría de los eruditos no lo aceptan. Casi ninguna de las muchas obras en las que se hubiera utilizado un sistema así ha sobrevivido. Un pasaje de Filóstrato sugiere que los artistas y teóricos clásicos pensaban en términos de "círculos" a igual distancia del espectador, como un teatro semicircular clásico visto desde el escenario.[20]​ En los dibujos del códice Vergilius Vaticanus, alrededor del año 400 más o menos, las vigas del techo de las habitaciones se muestran convergentes en un punto de fuga común, pero esto no está sistemáticamente relacionado con el resto de la composición.

Los artistas chinos utilizaron la proyección oblicua desde el siglo hasta el siglo . No es seguro cómo llegaron a usarla; algunas autoridades sugieren que los chinos adquirieron esta técnica de la India, que a su vez la adquirió de la Antigua Roma.[21]​ La proyección oblicua también aparece en el arte japonés, como en las pinturas Ukiyo-e de Torii Kiyonaga (1752-1815).[21]​ En el siglo , los artistas chinos comenzaron a combinar la perspectiva oblicua con la disminución regular del tamaño de las personas y los objetos con la distancia; no se elige ningún punto de vista particular, pero se logra un efecto convincente.[21]​.

En el período de la Antigüedad tardía, el uso de técnicas de perspectiva disminuyó. El arte de las nuevas culturas del período de las grandes migraciones no tenía tradición de intentar composiciones con gran número de figuras, y el arte medieval temprano tardó mucho y fue inconsistente en volver a aprender la convención de los modelos clásicos, aunque el proceso ya se puede apreciar en el arte carolingio.[23]​.

Varias pinturas durante la Edad Media muestran intentos de proyecciones en dibujos de muebles, donde las líneas paralelas se representan con éxito en proyección isométrica o mediante líneas a su vez paralelas, pero sin un único punto de fuga.

Los artistas medievales en Europa, como los del mundo islámico y China, conocían el principio general de variar el tamaño relativo de los elementos según la distancia, pero contaban con motivos compositivos para ignorarlo, incluso más que el arte clásico. Los edificios a menudo se muestran oblicuamente según una convención particular. El uso y la sofisticación de los intentos de transmitir la sensación de distancia aumentaron constantemente durante este período, pero sin basarse en una teoría sistemática. El arte bizantino también conocía estos principios, pero mantenía la convención de la perspectiva invertida para destacar las figuras principales.[24]​ Hasta llegar al final de la Baja Edad Media, los intentos de conseguir una cierta idea de perspectiva se encuentran en la perspectiva caballera,[25]​ donde los objetos más alejados se sitúan en la parte superior de la composición y los más cercanos, en la inferior.

Renacimiento: base matemática

El artista que se considera el antecesor del renacimiento italiano, el pintor gótico Giotto (1267-1336), fue uno de los primeros pintores que comenzó a dotar de tridimensionalidad de forma coherente aunque todavía intuitiva a sus composiciones.[26]​ Los artistas empiezan a buscar la sensación espacial a través de la observación de la naturaleza. Con las obras de Fra Angelico (1390-1455) —como en La Anunciación "La Anunciación (Fra Angélico, Florencia)")— y sobre todo con las de Masaccio[27]​ —en su Trinidad "Trinidad (Masaccio)") (h. 1420-1425)—, se logra la sensación de espacio mediante el uso metódico de la perspectiva cónica, donde las líneas paralelas de un objeto convergen hacia un determinado punto de fuga. El tamaño de las figuras se va reduciendo en función de la distancia, lo que provoca la ilusión óptica de profundidad.

Entre los años 1416 y 1420, Filippo Brunelleschi (1377-1476), artista y arquitecto florentino del renacimiento italiano, para poder representar los edificios en perspectiva, realizó una serie de estudios con la ayuda de instrumentos ópticos. Con ellos, descubrió los principios geométricos que rigen la perspectiva cónica, una forma de perspectiva lineal basada en la intersección de un plano con un imaginario cono "Cono (geometría)") visual cuyo vértice sería el ojo del observador. Los objetos parecen más pequeños cuanto más lejos están. Además, pictóricamente, tienen colores más tenues, poseen contornos más difusos y menos contraste cuanto más alejados están.[26]​.

En 1434, Brunelleschi demostró el método geométrico de la perspectiva utilizado hoy por los artistas. Al pintar los contornos de varios edificios de Florencia sobre un espejo, cuando prolongó sus líneas maestras, se dio cuenta de que convergían en la recta del horizonte. Según Giorgio Vasari, introdujo una demostración de su técnica en la puerta incompleta de la catedral de Santa María del Fiore. Hizo que el espectador mirara a través de un pequeño agujero en la parte posterior de una pintura del Baptisterio "Baptisterio de San Juan (Florencia)"), frente al propio edificio. Luego, disponía un espejo, de cara al espectador, que reflejaba su pintura. Para el espectador, la pintura del Baptisterio y el edificio en sí eran casi indistinguibles.[28]​.

En el campo de la escultura, los bronces concebidos por Lorenzo Ghiberti (1378-1455) para la puerta norte del baptisterio de la catedral de Florencia "Baptisterio de San Juan (Florencia)") también muestran un completo dominio de la técnica de la perspectiva.[29]​.

Poco después, casi todos los artistas de Florencia e Italia utilizaron la perspectiva geométrica en sus pinturas,[30]​ notablemente Paolo Uccello, Masolino da Panicale y Donatello. El propio Donatello comenzó a representar suelos enlosados con aspecto de tablero de ajedrez en un grabado sobre el nacimiento de Cristo. Aunque históricamente improbables, estos enlosados obedecían las leyes primarias de la perspectiva geométrica: las líneas convergían aproximadamente a un punto de fuga, y la velocidad a la que las líneas horizontales retrocedían en función de la distancia se determinaba gráficamente. Este aspecto se convirtió en una parte integral del arte del Quattrocento.[31]​.

Manifestaciones posteriores

Durante los tres siglos que siguieron al Renacimiento, hasta finales del siglo aproximadamente, la perspectiva continuó siendo una herramienta fundamental a disposición de los pintores, aunque en distintas épocas surgieron voces que criticaron el rigor matemático de las composiciones como una cortapisa a la libertad expresiva de los artistas. El pintor italiano de finales del siglo Federico Zuccaro acusaba a esta técnica de quitar al arte toda su gracia y su espíritu.[13]​.

Así, tras el Renacimiento, durante la época manierista, ya no se intenta representar la realidad de manera naturalista, se hace más complicada, se crean perspectivas ilusorias con puntos de fuga múltiples o sacando el punto de fuga fuera de la pintura y se distorsionan deliberadamente las proporciones en un espacio desarticulado e irracional para lograr un efecto emocional y artístico.[13]​ Poco después, el astrónomo y matemático italiano Guidobaldo Del Monte (1545-1607), en su obra Perspectivas Libri Sex (1600), idea una formulación matemática de la proyección cónica más acorde con sus propiedades geométricas.[6]​.

A finales del siglo la técnica de la perspectiva cónica llegó a China y Japón a través de las primeras misiones jesuitas en Asia, produciendo un choque con las tradiciones pictóricas locales, acostumbradas a respetar el paralelismo de las líneas en sus composiciones.[43]​.

Ya en plena etapa barroca, la forma es definida sobre todo por el color, la luz y el movimiento, con lo que las composiciones se complican, se adoptan perspectivas insólitas y los volúmenes se distribuyen de manera asimétrica. Pintores como el neerlandés Johannes Vermeer (1632-1675) o el español Diego Velázquez (1599-1660) incorporaron contrastes de luminosidad a sus pinturas para dotarlas de una atmósfera propia (efecto conocido como perspectiva aérea,[44]​ con el que se intenta representar la atmósfera, el aire que envuelve a los objetos, degradando su color a medida que se van alejando del espectador, aportando así no solo una sensación de profundidad).

Desde el punto de vista teórico, la culminación de estas tradiciones del Renacimiento encuentra su última síntesis en la investigación sobre la perspectiva, la óptica y la geometría proyectiva del arquitecto, geómetra y óptico francés del siglo Girard Desargues (1591-1661).[45]​ Más adelante, el pintor español Antonio Palomino (1655-1726) publicó un tratado en el que dio a conocer el método del triángulo áureo para dibujar perspectivas, que hasta entonces permanecía restringido al círculo de dibujantes y pintores.[6]​ En 1715, la publicación del tratado de perspectiva lineal del matemático británico Brook Taylor (1685-1731),[46]​ permitió que la enseñanza de la perspectiva a los artistas se basase en el estudio de las matemáticas subyacentes a esta técnica.

Evolución de la perspectiva axonométrica

Las proyecciones ortogonales (sin puntos de fuga) tienen una larga historia, especialmente si se incluyen en esta categoría los planos en planta, de los que se conoce un ejemplo procedente de Caldea de hace más de 4000 años, en el que se representa un templo correspondiente a la época del rey Gudea.[6]​.

Posteriormente, el desarrollo de la geometría en el antiguo Egipto quedó ligado a la realización de dibujos esquemáticos sobre papiros, tradición que a través de la Grecia clásica (donde no son infrecuentes las cerámicas con reproducciones axonométricas de elementos arquitectónicos) pasó hasta Roma. En este sentido, en los diez libros del arquitecto romano Vitrubio[56]​ ya se escribe acerca de la necesidad de realizar planos antes de construir cualquier obra.

La Edad Media en Europa supuso un periodo de estancamiento respecto a los conocimientos técnicos adquiridos por los constructores y artistas romanos. Sin embargo, una excepción notable fue el maestro de obra francés de comienzos del siglo Villard de Honnecourt, que en su Libro del Cantero incluye esquemas geométricos en perspectiva para el encaje de los sillares.[43]​.

El vertiginoso desarrollo de la perspectiva cónica en la Italia del Renacimiento supuso un cierto arrinconamiento del sistema axonométrico en el arte, que sin embargo conservó un papel importante en la ingeniería militar y en los dibujos técnicos, como acreditan los numerosos planos de máquinas contenidos en los códices de Leonardo da Vinci.[43]​ Los tratadistas del renacimiento, deslumbrados por los logros pictóricos de la perspectiva cónica, apenas se ocuparon de la axonométrica. Tan solo Luca Pacioli hizo alguna referencia a su utilidad para representar los sólidos platónicos en su obra Divina Proportio de 1509.

Durante el siglo aparecen las primeras obras sobre estereotomía de la piedra y la madera, pero sobre todo cobra auge la arquitectura militar, con numerosos tratados sobre fortificaciones como el del italiano Francesco di Giorgio (1439-1502), que compartió el espíritu geométrico de la obra de Leonardo.[43]​ Junto con Jacopo Castriotto, Girolamo Maggi (c. 1523-1572) instauró la tradición del dibujo axonométrico en los tratados militares, contraponiéndolo explícitamente a las perspectivas cónicas.

La codificación científica de la axonometría puede atribuirse al francés Desargues y a su discípulo Abraham Bosse (c. 1602–1676). Como en el caso de perspectiva cónica, Gaspard Monge y Jean-Victor Poncelet sentaron las bases rigurosas de las proyecciones ortogonales, relacionando ambas.

En 1820, el químico británico William Farish "William Farish (químico)") (1759-1837) inventó la perspectiva isométrica. La referencia en la Enciclopedia Británica de 1835 a esta técnica hizo que adquiriera gran popularidad. Julius Ludwig Weisbach (1806-1871), Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876) y Oskar Schlömilch (1823-1901) completaron la formulación axiomática de la axonometría en el periodo de transición entre los siglos y . En España, el ingeniero Eduardo Torroja (1899-1961)[57]​ sistematizó en un manual los distintos tipos de perspectiva axonométrica.[6]​.

Presente: gráficos por computadora

El origen de los gráficos interactivos por ordenador se sitúa en 1963, cuando Ivan Sutherland presentó en el MIT su tesis doctoral[58]​ sobre un sistema informático que permitía manejar gráficamente elementos geométricos. Esta aplicación pionera daría lugar a la aparición del CAD, sentando las bases teoricoprácticas de los primeros programas de diseño asistido.[6]​.

Numerosos videojuegos y películas de animación con escenarios tridimensionales, así como la inmensa mayoría de aplicaciones de diseño gráfico por ordenador, se valen de versiones numéricas más o menos simplificadas para generar imágenes en perspectiva.[59]​.

Los programas de ordenador generalmente utilizan modelos numéricos en coordenadas tridimensionales de los motivos a representar, formados por superficies compuestas de numerosas escamas triangulares o poligonales,[60]​ normalmente dotadas de color y de textura. Una vez situados el punto de vista y el plano del dibujo en el mismo sistema de coordenadas tridimensionales del modelo observado (como si fueran el ojo del observador y una ventana por la que estuviese mirando), el programa de ordenador calcula las intersecciones con el plano del dibujo de las ternas de rayos que conectan cada triángulo del modelo con el punto de vista de la escena. Cada terna de puntos de corte con el plano de dibujo, genera un triángulo proyectado en el citado plano, que hereda el color y la textura del triángulo original del modelo. De acuerdo con las coordenadas de los triángulos proyectados sobre el plano de dibujo, el código del programa se encarga de dar a la tarjeta gráfica[61]​ del ordenador las instrucciones necesarias para controlar el encendido de los píxeles del monitor que finalmente componen la imagen generada.[62]​.

El constante incremento de la potencia de cálculo de los equipos informáticos y las sucesivas mejoras en los algoritmos que calculan la geometría y la modelización de los objetos visualizados (con comportamientos tan complejos como los de las sombras propias y arrojadas; los brillos y reflejos; los líquidos; el fuego; los objetos transparentes; los movimientos de los seres vivos y las texturas del pelo y de la piel...) han permitido la creación de aplicaciones (especialmente videojuegos) capaces de generar en tiempo real escenas en perspectiva cada vez de mayor realismo. Dado que se dispone de las herramientas matemáticas necesarias para la generación de estas imágenes, parece que es cuestión de tiempo que se disponga de la potencia de cálculo requerida para que las imágenes generadas por ordenador lleguen a ser prácticamente indistinguibles a simple vista de las imágenes reales captadas por los equipos de vídeo o las cámaras de cine.[63]​.

El diseño asistido por computadora y la mayoría de los videojuegos (especialmente las aplicaciones que usan polígonos en 3-D) utilizan álgebra lineal, y en particular la multiplicación de matrices para realizar los cálculos necesarios para la generación de imágenes en perspectiva. Los cálculos básicos necesarios son muy simples: para conocer las coordenadas de una visual sobre el plano del dibujo, basta determinar el punto de intersección entre ambos, lo que equivale a la resolución trivial de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. En realidad, las matemáticas[64]​ subyacentes a la geometría de la perspectiva son muy sencillas, y la complejidad de la generación de imágenes realistas radica tanto en el gran número de objetos elementales que deben manejarse secuencialmente, como en los elevados requerimientos de cálculo de los sofisticados algoritmos que modelizan el comportamiento de la luz incidiendo sobre la modelización de los objetos que componen una escena.

De los muchos tipos de dibujos en perspectiva cónica, los más habituales son con un punto de fuga, con dos o con tres; característica que sirve para denominarlos, aunque conceptualmente son el mismo tipo de sistema de representación. Por su parte, las perspectivas axonométricas presentan una mayor variedad de tipologías:.

Los sistemas de perspectiva curvilíneos forman parte de las cónicas, dado que todas las visuales que sirven para definir el dibujo pasan por un único vértice común (el punto de vista), con la salvedad de que se utilizan superficies de proyección distintas del plano (como cilindros o esferas).

Perspectiva con un punto de fuga

Un dibujo en perspectiva de este tipo contiene solo un punto de fuga en la línea del horizonte. Se usa generalmente para representar imágenes de motivos lineales, como carreteras, vías férreas, pasillos o edificios vistos de manera que el frente esté directamente delante del observador. Cualquier objeto que se compone de líneas, ya sea directamente paralelas a la línea de visión del espectador o directamente perpendiculares (como las traviesas del ferrocarril) se puede representar adecuadamente con una perspectiva de un punto de fuga, en el que convergen las líneas que se alejan del espectador.[68]​.

La perspectiva de un punto se da cuando el plano del dibujo es paralelo a dos ejes de una escena con motivos rectilíneos, compuesta enteramente de elementos lineales que se cortan solo en ángulos rectos. Si un eje es paralelo al plano de la imagen, entonces todos los elementos son paralelos al plano de la imagen (ya sea horizontal o verticalmente) o perpendiculares a él. Todos los elementos que son paralelos al plano de la imagen se dibujan como líneas paralelas. Todos los elementos que son perpendiculares al plano de la imagen convergen en un único punto (un punto de fuga) en el horizonte.[2]​.

Perspectiva con dos puntos de fuga

La perspectiva con dos puntos de fuga, que pueden colocarse arbitrariamente en el horizonte, se suele usar para dibujar los mismos objetos que una perspectiva de un punto, pero cuando están rotados: por ejemplo, cuando se mira hacia la esquina de una casa, o en la vista de dos caminos bifurcados cuya anchura aparente se reduce con la distancia. Uno de los puntos de fuga representa un conjunto de líneas rectas paralelas "Paralelismo (matemática)"), y el segundo representa otro. Vistas desde una esquina, las aristas horizontales de una de las paredes de una casa convergerían hacia un punto de fuga, mientras que las de la otra pared se dirigirían hacia el punto de fuga opuesto.[68]​.

La perspectiva de dos puntos de fuga se produce cuando el plano del dibujo es paralelo a un eje coordenado (generalmente el eje vertical) pero no a los otros dos ejes. Si la escena que se visualiza consiste únicamente en un cilindro con su base sobre un plano horizontal, no existe diferencia en la imagen del cilindro entre una perspectiva de un punto y de dos puntos de fuga.

Posee un conjunto de líneas paralelas al plano de la imagen y dos conjuntos oblicuos al mismo. Cada familia de líneas paralelas oblicuas al plano de la imagen converge en su propio punto de fuga, lo que significa que esta configuración requerirá dos puntos de fuga.[2]​.

Perspectiva con tres puntos de fuga

La perspectiva con tres puntos de fuga se usa a menudo para representar edificios vistos desde arriba o desde abajo. Además de los dos puntos de fuga ya descritos, uno para cada familia de paredes, en este caso se localiza un tercer punto de fuga sobre el que convergen las líneas verticales de las paredes. Para un objeto visto desde arriba, este tercer punto de fuga está debajo del suelo. Para un objeto visto desde abajo, como cuando el espectador mira hacia arriba a un edificio alto, el tercer punto de fuga se sitúa en el zenith.[68]​.

La perspectiva de tres puntos de fuga se produce al dibujar un motivo con caras ortogonales, cuando el plano de la imagen no es paralelo a ninguno de los tres ejes de la escena, correspondiendo cada uno con uno de los tres puntos de fuga de la imagen.

Las perspectivas con uno, dos y tres puntos de fuga parecen incorporar diferentes formas de cálculo del dibujo, y se podría pensar que se generan mediante diferentes métodos. Matemáticamente, sin embargo, las tres son idénticas; la diferencia radica meramente en la orientación relativa de las caras ortogonales de la escena rectilínea respecto al espectador y al plano del dibujo.[2]​.

Escorzo

El escorzo es el efecto visual o ilusión óptica que hace que un objeto o una distancia parezcan más cortos de lo que realmente son porque están girados hacia el espectador. Además, en las imágenes los objetos generalmente no se escalan de manera uniforme: un círculo a menudo aparece como una elipse[69]​ y un cuadrado puede aparecer como un trapezoide.

Aunque el escorzo es un elemento importante en el arte donde se representa la perspectiva visual, también se produce en otros tipos de representaciones bidimensionales de escenas tridimensionales. Algunos otros tipos en los que puede producirse escorzo incluyen dibujos en proyección paralela oblicua.[70]​.

En pintura, el escorzo en la representación de la figura humana se perfeccionó en el Renacimiento italiano, y la famosa pintura de la "Lamentación sobre Cristo muerto "Lamentación sobre Cristo muerto (Mantegna)")" de Andrea Mantegna (1480) es una de las realizaciones más conocidas de una serie de obras que muestran la nueva técnica, que posteriormente se convirtió en una parte estándar de la formación de los artistas.[32]​.

Perspectiva con numerosos puntos de fuga

Las perspectivas de un punto, de dos puntos y de tres puntos dependen de la estructura de la escena que se está observando. Solo existen para escenarios estrictamente cartesianos (con tres ejes rectilíneos generalmente ortogonales). Al insertar en una escena cartesiana un conjunto de líneas paralelas entre sí que no son paralelas a ninguno de los tres ejes principales, se crea un nuevo punto de fuga distinto. Por lo tanto, es posible tener una perspectiva con infinitos puntos de fuga si la escena que se está viendo no se ajusta a un sistema de ejes cartesianos, sino que consiste en infinitas parejas de líneas paralelas, donde cada par de rectas no es paralelo a ningún otro par.[2]​.

Perspectiva curvilínea

La perspectiva curvilínea,[71]​ también llamada perspectiva de punto infinito o perspectiva de cuatro puntos, es la variante curvilínea de la perspectiva de dos puntos. Una imagen en perspectiva curvilínea puede representar una panorámica[72]​ de 360° e incluso más allá de 360° para diseñar escenas imposibles. Se puede utilizar con una línea del horizonte tanto horizontal como vertical. En esta última configuración puede representar tanto una vista de gusano como una vista aérea de una escena al mismo tiempo.

El método habitual de generar perspectivas curvilíneas es proyectar el modelo sobre una superficie teórica curvada, en vez de hacerlo sobre un plano (aunque finalmente, el resultado se dibuje sobre un plano). Así, se habla de una perspectiva de cuatro puntos de fuga cuando se utiliza un cilindro que rodea al observador (los cuatro puntos se sitúan delante, detrás y a ambos lados, cubriendo 360°); cuando se utiliza media esfera se habla de cinco puntos (arriba, abajo, izquierda, derecha y al frente); y con una esfera completa, se habla de seis puntos (se añade un punto de fuga situado detrás).[68]​.

Al igual que todas las demás variantes escorzadas de perspectiva (perspectivas de un punto a seis puntos),[68]​ comienza con una línea del horizonte, seguida de cuatro puntos de fuga igualmente espaciados para delinear cuatro líneas verticales. Los puntos de fuga creados para generar las ortogonales curvilíneas se localizan libremente en las cuatro líneas verticales colocadas en el lado opuesto de la línea del horizonte. La única dimensión no escorzada en este tipo de perspectiva es la de las líneas rectas paralelas entre sí, perpendiculares a la línea del horizonte, similares a las líneas verticales utilizadas en la perspectiva con dos puntos.[68]​.

Perspectiva sin puntos de fuga

Una perspectiva sin puntos de fuga (perspectiva con "cero puntos de fuga") se produce cuando el espectador está observando una escena no lineal, y que por lo tanto no contiene rectas paralelas.[73]​ El ejemplo más común de una vista no lineal de este tipo es una escena natural (por ejemplo, una cadena montañosa) que a menudo no contiene ninguna línea paralela. Esto no debe confundirse con las vistas de un sistema diédrico, ya que una vista sin puntos de fuga explícitos puede haberse dibujado de tal manera que hubiera habido puntos de fuga si hubiera habido rectas paralelas, y así disfrutar de la sensación de profundidad como en una proyección en perspectiva cualquiera.[11]​.

Por otro lado, una proyección paralela, como la diédrica, se puede aproximar a una perspectiva cuando el objeto en cuestión se observa desde muy lejos, porque las líneas de proyección tienden a hacerse paralelas cuando el punto de vista se aproxima al infinito. Esto puede explicar la confusión de las perspectivas sin puntos de fuga con las proyecciones ortogonales, ya que las escenas naturales a menudo se ven desde muy lejos, y el tamaño de los objetos dentro de la escena suele ser insignificante en comparación con su distancia al punto de vista. La apariencia de cualquier pequeño objeto en dicha escena se asemejaría así a su aspecto en una proyección paralela.[74]​.

Perspectivas axonométricas

Este tipo de proyecciones se caracterizan porque las visuales son paralelas entre sí, lo que en teoría equivale a que el punto de vista de la proyección se sitúe en el infinito. En la práctica, presentan la ventaja de que permiten medir directamente sobre los tres ejes coordenados las dimensiones del modelo representado.

Se clasifican en dos tipos principales:[75]​.

Existen varios métodos para generar perspectivas, que incluyen:.

Las imágenes de perspectiva se calculan suponiendo una relación determinada entre el punto de vista y el plano donde se proyecta la imagen, que a su vez poseen una determinada posición respecto al modelo que se quiere dibujar. Para que la imagen resultante aparezca idéntica a la escena original, un espectador de la perspectiva debe ver la imagen desde el punto de vista exacto utilizado en los cálculos relativos a la imagen. Esto provoca lo que aparecerían como distorsiones en la imagen cuando se mira desde un punto diferente. En la práctica, a menos que el usuario elija un ángulo extremo, como mirar la imagen desde la esquina inferior de la ventana, la perspectiva normalmente se ve más o menos correcta. Este efecto se conoce como la paradoja de Zeeman.[76]​.

Se ha sugerido que un dibujo en perspectiva todavía parece estar en perspectiva cuando se contempla descentradamente porque todavía se percibe como un dibujo, al carecer de la profundidad de campo que sí posee el modelo original.[77]​.

Sin embargo, para una perspectiva típica, el campo de visión es lo suficientemente estrecho (a menudo solo 60 grados) como para que las distorsiones sean lo suficientemente pequeñas, de forma que la imagen se pueda ver desde un punto diferente al punto de vista calculado real sin aparecer significativamente distorsionada. Cuando se requiere un ángulo de visión mayor, el método estándar de proyectar rayos sobre una superficie plana no es práctico. Como máximo teórico, el campo de visión de una imagen plana debe ser inferior a 180 grados, porque a medida que el campo de visión aumenta hacia 180 grados, la anchura requerida del plano de imagen se aproxima al infinito.

Para crear una imagen de rayos proyectados con un gran campo de visión, se puede proyectar la imagen sobre una superficie curva. Para tener un gran campo de visión horizontal en la imagen, una superficie que es un cilindro vertical (es decir, el eje del cilindro es paralelo al eje z) será suficiente (de manera similar, si el campo de visión amplio que se desea está solo en la dirección vertical de la imagen, un cilindro horizontal será suficiente). Una superficie de imagen cilíndrica permitirá una imagen proyectada de rayos de hasta 360 grados completos en la dimensión horizontal o vertical de la imagen en perspectiva (dependiendo de la orientación del cilindro). Del mismo modo, al usar una superficie de imagen esférica, el campo de visión puede ser de 360 grados completos en cualquier dirección (téngase en cuenta que para una superficie esférica, todos los rayos proyectados desde la escena hasta el ojo se cruzan con la superficie en ángulo recto).[68]​.

Del mismo modo que una imagen de perspectiva estándar debe verse desde el punto de vista calculado para que la imagen parezca idéntica a la escena real, una imagen proyectada en un cilindro o esfera debe ser vista desde el punto de vista calculado para que sea exactamente idéntica a la escena original. Si una imagen proyectada sobre una superficie cilíndrica se "desenrolla" en una imagen plana, se producen diferentes tipos de distorsiones. Por ejemplo, muchas de las líneas rectas de la escena se dibujarán como curvas. Una imagen proyectada en una superficie esférica puede aplanarse de varias maneras:[68]​.