Equações unidimensionais de Saint-Venant
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Las ecuaciones unidimensionales (1-D) de Saint-Venant fueron derivadas por Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, y se utilizan comúnmente para modelar el flujo en canal abierto transitorio y la escorrentía superficial. Pueden considerarse como una contracción de las ecuaciones bidimensionales (2-D) de aguas poco profundas, que también se conocen como ecuaciones bidimensionales de Saint-Venant. Las ecuaciones de Saint-Venant 1-D contienen hasta cierto punto las principales características de la forma de la sección transversal "Sección (geometría)") del canal.
Las ecuaciones 1-D se utilizan ampliamente en modelos informáticos como TUFLOW"), Mascaret&action=edit&redlink=1 "MASCARET (Software) (aún no redactado)") (EDF), lang=es SIC (Irstea), HEC-RAS,[5] SWMM5, ISIS,[5] InfoWorks,[5] Flood Modeller, SOBEK 1DFlow MIKE 11"),[5] y MIKE SHE") porque son significativamente más fáciles de resolver que las ecuaciones completas de aguas poco profundas. Las aplicaciones comunes de las ecuaciones 1-D de Saint-Venant incluyen enrutamiento de inundaciones a lo largo de los ríos (incluyendo la evaluación de las medidas para reducir los riesgos de inundación), el análisis de la rotura de presas, los pulsos de tormenta en un canal abierto, así como la escorrentía de la tormenta en el flujo terrestre.
Equações
O sistema de equações diferenciais parciais que descrevem o escoamento incompressível 1-D em um canal aberto de seção transversal arbitrária - conforme derivado e proposto por Saint-Venant em seu artigo de 1871 (equações 19 e 20) - é:[6].
e.
onde x é a coordenada espacial ao longo do eixo do canal, t denota o tempo, A(x,t) é a área da seção transversal do fluxo no local x, u(x,t) é a velocidade do fluxo, ζ(x,t) é a elevação da superfície livre e τ(x,t) é a tensão de cisalhamento da parede ao longo do perímetro molhado P(x,t) da seção transversal em x. Além disso, ρ é a densidade do fluido (constante) e g é a aceleração gravitacional.
A solução do sistema hiperbólico de equações (1)–(2) é obtida a partir da geometria das seções transversais, fornecendo uma relação funcional entre a área da seção transversal A e a elevação da superfície ζ em cada posição x. Por exemplo, por exemplo, para uma seção transversal retangular, com largura de canal B constante e elevação do leito do canal z, a área da seção transversal é: . A profundidade instantânea da água é com z(x) o nível do leito (ou seja, a elevação do ponto mais baixo do leito acima da data, ver figura em corte transversal). Para paredes de canal estacionárias, a área da seção transversal A na equação (1) pode ser escrita como:
com b(x,h) a largura efetiva da seção transversal do canal no local x quando a profundidade do fluido é h - assim, para canais retangulares.[7].
A tensão de cisalhamento na parede τ depende da velocidade do fluxo u, podendo ser relacionadas usando, por exemplo, a equação de Darcy-Weisbach, a fórmula de Manning ou a fórmula de Chézy.
Além disso, a equação (1) é a equação da continuidade, que expressa a conservação do volume de água para este fluido homogêneo incompressível. A equação (2) é a equação do momento, que fornece o equilíbrio entre as forças e as taxas de variação do momento.
A inclinação do leito S(x), a inclinação de atrito S(x, t) e o raio hidráulico R(x, t) são definidos como:
e.
Consequentemente, a equação do momento (2) pode ser escrita como:[7].
Conservação do momento
A equação do momento (3) também pode ser declarada na chamada forma de conservação"), ou forma Euleriana, através de algumas manipulações algébricas nas equações de Saint-Venant, (1) e (3). Em termos da taxa de fluxo "Fluxo (fluido)"):[8].
onde A, I e I são funções da geometria do canal, descritas em termos da largura do canal B(σ,x). Aqui, σ é a altura acima do ponto mais baixo da seção transversal no local x. Então σ é a altura acima do nível do leito z(x) (do ponto mais baixo da seção transversal):.
Acima - na equação de momento (4) na forma de conservação -A, I e I são avaliados como . O termo descreve a força hidrostática em uma determinada seção transversal. E, para um canal não prismático "Prisma (geometria)"), fornece os efeitos das variações de geometria ao longo do eixo x do canal.
Em aplicações, dependendo do problema em questão, muitas vezes é preferível usar a equação do momento na forma não conservativa, (2) ou (3), ou na forma de conservação (4). Por exemplo, no caso da descrição de saltos hidráulicos, a forma de conservação é preferida, uma vez que o fluxo de momento é contínuo ao longo do salto.
Características
As equações de Saint-Venant (1)–(2) podem ser analisadas pelo método das características").[9][10][11][12] As duas acelerações dx/dt nas curvas características são:[8]
com.
O Número de Froude Fr= |u|/c determina se o fluxo é subcrítico () ou supercrítico ().
Para um canal retangular e prismático de largura constante B, ou seja, com e os invariantes de Riemann") são[9] e
então as equações na forma característica são::[9]
Os invariantes de Riemann e o método de características para um canal prismático de seção transversal arbitrária são descritos por Didenkulova e Pelinovsky (2011).[12].
As características e invariantes de Riemann fornecem informações importantes sobre o comportamento do escoamento, podendo também ser utilizadas no processo de obtenção de soluções (analíticas ou numéricas).[13][14][15][16].
Modelagem derivada
A onda dinâmica é a equação unidimensional completa de Saint-Venant. É numericamente difícil de resolver, mas é válido para todos os cenários de fluxo de canal. A onda dinâmica é usada para modelar tempestades transitórias em programas de modelagem como Mascaret&action=edit&redlink=1 "MASCARET (Software) (ainda não escrito)") (EDF), SIC (Irstea), HEC-RAS,[17] InfoWorks_ICM Arquivado em 25 de outubro de 2016 na Wayback Machine.,[18] MIKE 11"),[19] Wash 123d[20] e SWMM5").
Em ordem de simplificação crescente, eliminando alguns termos das equações 1D completas de Saint-Venant (também conhecidas como equação de onda dinâmica), obtemos a também clássica equação de onda difusiva e a equação de onda cinemática.
Para a onda difusiva assume-se que os termos de inércia são menores que os termos de gravidade, atrito e pressão. Portanto, a onda difusiva pode ser descrita com mais precisão como uma onda não inercial e é escrita como:
A onda difusiva é válida quando a aceleração inercial é muito menor que todas as outras formas de aceleração ou, em outras palavras, quando há fluxo principalmente subcrítico, com baixos valores de Froude. Modelos que usam a hipótese de onda difusiva incluem MIKE SHE")[21] e LISFLOOD-FP.[22] No software SIC (Irstea) essas opções também estão disponíveis, pois os 2 termos de inércia (ou qualquer um deles) podem ser opcionalmente removidos da interface.
Para a onda cinemática assume-se que o fluxo é uniforme e que a inclinação do atrito é aproximadamente igual à inclinação do canal. Isso simplifica a equação completa de Saint-Venant para a onda cinemática:
A onda cinemática é válida quando a mudança na altura da onda ao longo da distância e na velocidade ao longo da distância e do tempo é insignificante em relação à inclinação do leito, por exemplo, para fluxos rasos sobre encostas íngremes.[23] A onda cinemática é usada no HEC-HMS").[24].