Derivação das equações de Navier-Stokes
A teoria da lubrificação começa com as equações incompressíveis de Navier-Stokes para um fluido newtoniano, que descrevem a conservação do momento e da massa:
onde u=(u,v,w)\mathbf{u} = (u, v, w)u=(u,v,w) é o vetor velocidade, ppp é a pressão, ρ\rhoρ é a densidade, μ\muμ é a viscosidade dinâmica e g\mathbf{g}g é a força do corpo por unidade de massa (geralmente gravidade). Essas equações são simplificadas sob o limite de filme fino característico dos fluxos de lubrificação, onde a espessura do filme HHH é muito menor que as dimensões laterais LLL, definindo a pequena proporção de aspecto ϵ=H/L≪1\epsilon = H/L \ll 1ϵ=H/L≪1.
Para derivar as aproximações de lubrificação, as equações são adimensionalizadas usando escalas características apropriadas à geometria: x,y∼Lx, y \sim Lx,y∼L, z∼Hz \sim Hz∼H, u,v∼Uu, v \sim Uu,v∼U (escala de velocidade lateral), w∼ϵUw \sim \epsilon Uw∼ϵU (escala de velocidade vertical), p∼μUL/H2p \sim \mu U L / H^2p∼μUL/H2 (escala de pressão viscosa) e t∼L/Ut \sim L/Ut∼L/U (escala de tempo convectivo). Substituí-los nas equações de Navier-Stokes revela as magnitudes relativas dos termos. Os termos inerciais são dimensionados como Reϵ2\mathrm{Re} \epsilon^2Reϵ2, onde Re=ρUL/μ\mathrm{Re} = \rho U L / \muRe=ρUL/μ é o número de Reynolds; para regimes de lubrificação típicos, Reϵ2≪1\mathrm{Re} \epsilon^2 \ll 1Reϵ2≪1, permitindo negligenciar a inércia. O gradiente de pressão na direção zzz é escalonado como ϵ2\epsilon^2ϵ2 vezes o gradiente lateral, então ∂p/∂z∼ϵ2∂p/∂x≪∂p/∂x\partial p / \partial z \sim \epsilon^2 \partial p / \partial x \ll \partial p / \partial x∂p/∂z∼ϵ2∂p/∂x≪∂p/∂x. As forças do corpo são frequentemente insignificantes, a menos que a flutuabilidade ou outros efeitos dominem.
As equações de momento simplificadas decorrem desta escala. A equação zzz-momentum reduz-se a ∂p/∂z=0\partial p / \partial z = 0∂p/∂z=0, implicando que a pressão é constante ao longo da espessura do filme: p=p(x,y)p = p(x, y)p=p(x,y). A equação xxx-momentum equilibra gradiente de pressão e difusão viscosa, produzindo 0=−∂p/∂x+μ∂2u/∂z20 = -\partial p / \partial x + \mu \partial^2 u / \partial z^20=−∂p/∂x+μ∂2u/∂z2 (fluxo Poiseuille-Couette). A equação do momento yyy é análoga: 0=−∂p/∂y+μ∂2v/∂z20 = -\partial p / \partial y + \mu \partial^2 v / \partial z^20=−∂p/∂y+μ∂2v/∂z2. Integrando a equação xxx-momentum duas vezes com condições de contorno sem deslizamento - em z = 0z = 0z = 0, u = 0u = 0u = 0 (superfície inferior estacionária) e em z = h (x, y) z = h (x, y) z = h (x, y), u = Uu = Uu = U (superfície superior movendo-se na direção xxx, como em um rolamento deslizante simples) - fornece o perfil de velocidade:
Uma expressão semelhante vale para v(z)v(z)v(z). Esses perfis capturam o componente parabólico acionado por pressão (Poiseuille) sobreposto ao componente linear acionado por cisalhamento (Couette).
A integração da equação de continuidade ao longo da espessura do filme de z=0z = 0z=0 a z=hz = hz=h reforça a conservação da massa. Para fluxo bidimensional constante (negligenciando a variação yyy para simplificar), isso produz ∂/∂x∫0hu dz=0\partial / \partial x \int_0^h u , dz = 0∂/∂x∫0hudz=0, ou mais geralmente, a divergência do fluxo com média de profundidade q=∫0hu dz=0\mathbf{q} = \int_0^h \mathbf{u} , dz = 0q=∫0hudz=0. A componente xxx do fluxo é
com um análogo qyq_yqy. O primeiro termo representa o transporte difusivo devido a gradientes de pressão, enquanto o segundo é o transporte advectivo devido ao movimento da superfície. Para casos instáveis ou tridimensionais, termos adicionais surgem de mudanças na espessura do filme, mas a forma estacionária ∇⋅q=0\nabla \cdot \mathbf{q} = 0∇⋅q=0 fornece a base para a determinação de pressão em problemas de lubrificação.
Equação de Reynolds e condições de limite
A equação de Reynolds rege a distribuição de pressão em filmes finos de lubrificante sob os pressupostos da teoria da lubrificação, integrando as equações simplificadas de Navier-Stokes ao longo da espessura do filme. Para fluxos internos estacionários e incompressíveis entre duas superfícies movendo-se com velocidades UUU na direção xxx e VVV na direção yyy, a forma bidimensional é
onde h(x,y)h(x,y)h(x,y) é a espessura do filme, μ\muμ é a viscosidade dinâmica constante e p(x,y)p(x,y)p(x,y) é a pressão. Esta equação, derivada pela primeira vez por Osborne Reynolds, equilibra o fluxo acionado por pressão de Poiseuille com o fluxo acionado por cisalhamento de Couette. Para fluxos instáveis, um termo dependente do tempo é adicionado ao lado direito: ∂h∂t\frac{\partial h}{\partial t}∂t∂h, produzindo a forma tridimensional geral quando estendida para a direção zzz, se necessário.
Na lubrificação de superfície livre, como fluxos de revestimento ou filmes acionados por meniscos, a equação de Reynolds se acopla à condição de contorno cinemática na interface líquido-ar para impor a conservação da massa:
onde o fluxo médio de profundidade q=−h312μ∇p+Uh2\mathbf{q} = -\frac{h^3}{12\mu} \nabla p + \frac{U h}{2}q=−12μh3∇p+2Uh incorpora gradientes de pressão e velocidade superficial média UUU. Esta formulação se aplica a filmes finos onde os efeitos da tensão superficial dominam nas bordas.
As condições de contorno são essenciais para resolver a equação de Reynolds e refletem as restrições físicas no domínio do filme. Para fluxos internos, a pressão ambiente p=pap = p_ap=pa (normalmente pa=0p_a = 0pa=0 manômetro) é imposta nas bordas de entrada e saída onde o filme se abre para o ambiente. Em regiões propensas à cavitação, como mancais sob carga, a pressão não pode cair abaixo da pressão de vapor (geralmente aproximada como p≥0p \geq 0p≥0); o modelo Jakobsson-Floberg-Olsson (JFO) lida com isso desligando os termos difusivos em zonas cavitadas, impondo p=0p = 0p=0 e ∂p∂n=0\frac{\partial p}{\partial n} = 0∂n∂p=0 (derivada normal zero) através da interface de ruptura do filme enquanto conserva o fluxo de massa. Para superfícies livres, a condição de contorno dinâmica surge do equilíbrio de tensões σ⋅n=−pn+∇⋅(σ∇h)\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{n} = -p \mathbf{n} + \nabla \cdot (\sigma \nabla h)σ⋅n=−pn+∇⋅(σ∇h), onde σ\boldsymbol{\sigma}σ é o tensor de tensão, n\mathbf{n}n o normal, e σ\sigmaσ a tensão superficial; isso simplifica para a equação de Young-Laplace p=σκp = \sigma \kappap=σκ na interface, com κ\kappaκ a curvatura média.
As soluções para a equação de Reynolds variam desde analíticas para casos idealizados até numéricas para geometrias práticas. Em rolamentos deslizantes unidimensionais simples com viscosidade constante e sem vazamento lateral, um perfil de pressão analítica é p(x)=6μUL2h2(xL)(1−xL)p(x) = \frac{6\mu U L^2}{h^2} \left( \frac{x}{L} \right) \left(1 - \frac{x}{L} \right)p(x)=h26μUL2(Lx)(1−Lx), ilustrando o aumento da pressão parabólica que suporta a carga através do efeito de cunha. Configurações complexas, incluindo espessura de filme variável, efeitos térmicos ou limites irregulares, requerem métodos numéricos, como diferenças finitas, elementos finitos ou volumes finitos para discretizar e resolver iterativamente o PDE elíptico-parabólico.