Derivación de ecuaciones de Navier-Stokes
La teoría de la lubricación comienza con las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes para un fluido newtoniano, que describen la conservación del momento y la masa:
donde u=(u,v,w)\mathbf{u} = (u, v, w)u=(u,v,w) es el vector de velocidad, ppp es la presión, ρ\rhoρ es la densidad, μ\muμ es la viscosidad dinámica y g\mathbf{g}g es la fuerza corporal por unidad de masa (a menudo, gravedad). Estas ecuaciones se simplifican bajo la característica límite de película delgada de los flujos de lubricación, donde el espesor de la película HHH es mucho menor que las dimensiones laterales LLL, definiendo la relación de aspecto pequeña ϵ=H/L≪1\epsilon = H/L \ll 1ϵ=H/L≪1.
Para derivar las aproximaciones de lubricación, las ecuaciones son adimensionalizadas usando escalas características apropiadas a la geometría: x,y∼Lx, y \sim Lx,y∼L, z∼Hz \sim Hz∼H, u,v∼Uu, v \sim Uu,v∼U (escala de velocidad lateral), w∼ϵUw \sim \epsilon Uw∼ϵU (escala de velocidad vertical), p∼μUL/H2p \sim \mu U L / H^2p∼μUL/H2 (escala de presión viscosa) y t∼L/Ut \sim L/Ut∼L/U (escala de tiempo convectiva). Sustituirlos en las ecuaciones de Navier-Stokes revela las magnitudes relativas de los términos. Los términos inerciales escalan como Reϵ2\mathrm{Re} \epsilon^2Reϵ2, donde Re=ρUL/μ\mathrm{Re} = \rho U L / \muRe=ρUL/μ es el número de Reynolds; para regímenes de lubricación típicos, Reϵ2≪1\mathrm{Re} \epsilon^2 \ll 1Reϵ2≪1, lo que permite despreciar la inercia. El gradiente de presión en la dirección zzz escala como ϵ2\epsilon^2ϵ2 veces el gradiente lateral, por lo que ∂p/∂z∼ϵ2∂p/∂x≪∂p/∂x\partial p / \partial z \sim \epsilon^2 \partial p / \partial x \ll \partial p / \partial x∂p/∂z∼ϵ2∂p/∂x≪∂p/∂x. Las fuerzas corporales suelen ser insignificantes a menos que predominen la flotabilidad u otros efectos.
Las ecuaciones de momento simplificadas se derivan de esta escala. La ecuación del momento zzz se reduce a ∂p/∂z=0\partial p / \partial z = 0∂p/∂z=0, lo que implica que la presión es constante en todo el espesor de la película: p=p(x,y)p = p(x, y)p=p(x,y). La ecuación de momento xxx equilibra el gradiente de presión y la difusión viscosa, lo que produce 0=−∂p/∂x+μ∂2u/∂z20 = -\partial p / \partial x + \mu \partial^2 u / \partial z^20=−∂p/∂x+μ∂2u/∂z2 (flujo de Poiseuille-Couette). La ecuación de momento yyy es análoga: 0=−∂p/∂y+μ∂2v/∂z20 = -\partial p / \partial y + \mu \partial^2 v / \partial z^20=−∂p/∂y+μ∂2v/∂z2. Al integrar la ecuación del momento xxx dos veces con condiciones de contorno sin deslizamiento, en z=0z = 0z=0, u=0u = 0u=0 (superficie inferior estacionaria) y en z=h(x,y)z = h(x, y)z=h(x,y), u=Uu = Uu=U (superficie superior que se mueve en la dirección xxx, como en un cojinete deslizante simple), se obtiene el perfil de velocidad:
Una expresión similar es válida para v(z)v(z)v(z). Estos perfiles capturan el componente parabólico impulsado por presión (Poiseuille) superpuesto al componente lineal impulsado por cizalla (Couette).
La integración de la ecuación de continuidad en todo el espesor de la película desde z=0z = 0z=0 hasta z=hz = hz=h impone la conservación de la masa. Para un flujo bidimensional estable (despreciando la variación yyy por simplicidad), esto produce ∂/∂x∫0hu dz=0\partial / \partial x \int_0^h u , dz = 0∂/∂x∫0hudz=0, o más generalmente, la divergencia del flujo promediado en profundidad q=∫0hu dz=0\mathbf{q} = \int_0^h \mathbf{u} , dz = 0q=∫0hudz=0. El componente xxx del flujo es
con un qyq_yqy análogo. El primer término representa el transporte difusivo debido a gradientes de presión, mientras que el segundo es el transporte advectivo debido al movimiento de la superficie. Para casos inestables o tridimensionales, surgen términos adicionales a partir de cambios en el espesor de la película, pero la forma estacionaria ∇⋅q=0\nabla \cdot \mathbf{q} = 0∇⋅q=0 proporciona la base para la determinación de la presión en problemas de lubricación.
Ecuación de Reynolds y condiciones de frontera
La ecuación de Reynolds gobierna la distribución de presión en películas delgadas de lubricante bajo los supuestos de la teoría de la lubricación, integrando las ecuaciones simplificadas de Navier-Stokes en todo el espesor de la película. Para flujos internos estacionarios e incompresibles entre dos superficies que se mueven con velocidades UUU en la dirección xxx y VVV en la dirección yyy, la forma bidimensional es
donde h(x,y)h(x,y)h(x,y) es el espesor de la película, μ\muμ es la viscosidad dinámica constante y p(x,y)p(x,y)p(x,y) es la presión. Esta ecuación, derivada por primera vez por Osborne Reynolds, equilibra el flujo impulsado por presión de Poiseuille con el flujo impulsado por cizalla de Couette. Para flujos inestables, se agrega un término dependiente del tiempo en el lado derecho: ∂h∂t\frac{\partial h}{\partial t}∂t∂h, lo que produce la forma tridimensional general cuando se extiende a la dirección zzz si es necesario.
En la lubricación de superficie libre, como flujos de recubrimiento o películas impulsadas por meniscos, la ecuación de Reynolds se acopla con la condición de contorno cinemática en la interfaz líquido-aire para imponer la conservación de la masa:
donde el flujo promediado en profundidad q=−h312μ∇p+Uh2\mathbf{q} = -\frac{h^3}{12\mu} \nabla p + \frac{U h}{2}q=−12μh3∇p+2Uh incorpora tanto los gradientes de presión como la velocidad superficial media UUU. Esta formulación se aplica a películas delgadas donde los efectos de tensión superficial dominan en los bordes.
Las condiciones de frontera son esenciales para resolver la ecuación de Reynolds y reflejan restricciones físicas en el dominio de la película. Para flujos internos, la presión ambiental p=pap = p_ap=pa (normalmente pa=0p_a = 0pa=0 manométrica) se impone en los bordes de entrada y salida donde la película se abre al entorno. En regiones propensas a la cavitación, como los cojinetes de muñón bajo carga, la presión no puede caer por debajo de la presión de vapor (a menudo aproximada como p≥0p \geq 0p≥0); El modelo Jakobsson-Floberg-Olsson (JFO) maneja esto desactivando los términos difusos en zonas cavitadas, aplicando p=0p = 0p=0 y ∂p∂n=0\frac{\partial p}{\partial n} = 0∂n∂p=0 (derivada normal cero) a través de la interfaz de ruptura de la película mientras se conserva el flujo de masa. Para superficies libres, la condición de frontera dinámica surge del equilibrio de tensiones σ⋅n=−pn+∇⋅(σ∇h)\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{n} = -p \mathbf{n} + \nabla \cdot (\sigma \nabla h)σ⋅n=−pn+∇⋅(σ∇h), donde σ\boldsymbol{\sigma}σ es el tensor de tensión, n\mathbf{n}n la normal y σ\sigmaσ la tensión superficial; esto se simplifica a la ecuación de Young-Laplace p=σκp = \sigma \kappap=σκ en la interfaz, con κ\kappaκ la curvatura media.
Las soluciones a la ecuación de Reynolds varían desde analíticas para casos idealizados hasta numéricas para geometrías prácticas. En cojinetes deslizantes unidimensionales simples con viscosidad constante y sin fugas laterales, un perfil de presión analítica es p(x)=6μUL2h2(xL)(1−xL)p(x) = \frac{6\mu U L^2}{h^2} \left( \frac{x}{L} \right) \left(1 - \frac{x}{L} \right)p(x)=h26μUL2(Lx)(1−Lx), que ilustra la acumulación de presión parabólica que soporta la carga a través del efecto cuña. Las configuraciones complejas, que incluyen espesores de película variables, efectos térmicos o límites irregulares, requieren métodos numéricos como diferencias finitas, elementos finitos o volúmenes finitos para discretizar y resolver la PDE elíptica-parabólica de forma iterativa.