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La filtración ha evolucionado como un arte práctico desde aplicaciones primitivas, como la tradicional filtración en lecho de arena empleado desde la antigüedad para la extracción de agua potable, recibiendo una mayor atención teórica durante el siglo a partir de los trabajos[3] de P. Carman en 1937[4] y B. Ruth en 1946[5] estudios que fueron progresivamente ampliados en trabajos con medios porosos,[6] por Heertjes y colaboradores en 1949 y 1966[7] y Tiller[8] entre 1953 y 1964. Anteriormente, varios autores han revisado el estado de los conocimientos en filtración tanto desde una perspectiva práctica en los trabajos de Cain en 1984[9] y Kiefer, en 1991[10] como en sus principios teóricos con las publicaciones de Bear, 1988[11] y Norden en 1994.[12].
Aunque la teoría de la filtración no se emplea en exclusiva para el diseño de filtros en aplicaciones concretas, es frecuentemente empleada para la interpretación de resultados a escala de laboratorio, la optimización de aplicaciones o la predicción de cambios en las condiciones de trabajo. Su principal limitación reside en el hecho de que las características de la mezcla a tratar de partículas sólidas y fluido, a veces llamada lechada, por su complejidad e interacción pueden ser muy variables en los diferentes casos reales.
El principio teórico de la filtración se fundamenta en la cuantificación de la relación básica de velocidad un fluido o caudal:.
donde la fuerza impulsora (F) que puede ser la fuerza de gravedad, el empuje de una bomba de presión o de succión, o la fuerza centrífuga, mientras que la resistencia (R) es la suma de la ofrecida por el medio filtrante y la torta de sólido formada sobre el mismo.
La velocidad del fluido se ve condicionada por el hecho de que tiene que atravesar un medio irregular constituido por los canales pequeños formados en los intersticios de la torta y el medio
filtrante (percolación), de manera que se puede aplicar la fórmula obtenida fluidodinámica de la ley de Hagen-Poiseuille:.
donde la velocidad diferencial o instantánea, es decir, el volumen (V) filtrado por tiempo (θ) y por unidad de superficie (A), se relaciona con la fuerza impulsora o caída total de presión (P) sobre el producto de la viscosidad del filtrado (μ) por la suma de la resistencia de la torta y la del medio de filtración (r). La resistencia de la torta se expresa por la relación entre el peso (W) y el área en función de una constante (α) promedio característica de cada torta.[3].
Por su parte, si se considera la aproximación de que la torta es incompresible o compactada de manera uniforme, la masa de la torta filtrante (W) se relaciona con el volumen de filtrado (V) mediante un sencillo balance de materia:.
donde la masa de sólidos por unidad de volumen filtrado (ω) es función de la densidad del filtrado (ρ), la fracción de sólidos en la corriente de aporte o concentración (c) y la relación de masas entre la torta húmeda y la seca.
La constante de resistencia específica de la torta (α) se relaciona con la presión por la fórmula:.
donde α' es otra constante que depende del tamaño de las partículas que conforman la torta y s, una constante de compresibilidad que varía de 0, para tortas incompresibles como diatomeas y arena fina,
a 1, para las muy compresibles.
Experimental studies
Filtration studies in the laboratory or on a small scale frequently make it possible to obtain experimentally and with a simple set-up measurements of the variation over time of the filtered volume (velocity) and pressure, depending on three types of flow:
In constant pressure filtration tests, the fluid is pumped by a gas or compressed air that is maintained at the same pressure. Under these conditions, the adapted Hagen-Poiseuille equation simplifies to the linear equation:.
where K, K' and C are constants for the given conditions.
In constant volume filtration experiments, positive displacement pumps are used to measure the initial and final pressure difference from which the differential pressure of the filter medium must be subtracted, so that the filtration equation becomes:
where P is the drop of the filter medium:.
equations that allow us to arrive at the following simplified expression for the filtration speed:
with K and C', characteristic constants for the given conditions.
In the general case of filtration at variable pressure and speed the mathematical solution to the general equation becomes complex, Tiller has proposed a satisfactory integration model provided the characteristic curve of the pump is known.
Limitations and conclusions of the model
Apart from the previous premise by which the general filtration equation model is only applicable in the case of liquid fluids to which the Hagen-Poiseuille law can be applied, the experimental results have shown that the model is only applicable in the case of filter media that forms cake, without it being able to be used for the modeling of those filtration cases where no cake is formed, such as in the case of applications of fluids with low concentration of solids and with very porous filter media, where the particles are retained in the interior of the channels.[13].
However, the filtration equation has allowed us to understand the relationship between the most important variables in most practical cases so that in those cases where the cake formed is rigid, such as those formed by large granular particles, the constant s is considered null and is concluded with:.
That is, the filtration speed is directly proportional to the applied pressure and the area, while it is inversely proportional to the viscosity of the fluid stream, the amount of cake formed and the size of the particles that form it.
On the other hand, when the cake is very compressible, as in cases where the solid is very soft or deformable, the solution of the equation leads to the conclusion that the filtration speed is independent of the applied pressure and only proportional to the large filtration area: