A análise matemática do comportamento da transmissão das ondas eletromagnéticas foi realizada graças aos trabalhos de James Clerk Maxwell, Lord Kelvin e, principalmente, Oliver Heaviside.

Em 1855, Lord Kelvin formulou um modelo de difusão para corrente em um cabo submarino. Este modelo previu corretamente o fraco desempenho do cabo submarino transatlântico de 1858. Em 1885, Heaviside publicou os primeiros documentos sobre o estudo da linha de transmissão, nos quais descreveu sua análise da propagação do cabo e a forma atual das equações telegráficas.

Para fins de análise, uma linha de transmissão pode ser modelada em um quadrupolo (também chamada de rede de duas portas) da seguinte forma:

No caso mais simples de estudo, assumiremos que a rede é linear (ou seja, a resposta a uma combinação linear de diversas excitações é uma combinação linear das respostas que a rede teria para cada uma das excitações separadamente, ou em outras palavras, aplica-se o princípio da superposição). Além disso, a rede é recíproca e simétrica (ou seja, ambas as portas são intercambiáveis).

Se a linha de transmissão for uniforme em todo o seu comprimento e sem perdas (linha de transmissão não dissipativa), então seu comportamento será inteiramente descrito por um único parâmetro denominado impedância característica, representado por Z. Esta é a razão entre a tensão complexa e a corrente complexa em qualquer ponto de uma linha de comprimento infinito (ou de comprimento finito, mas terminada em uma impedância de valor igual à impedância característica). Quando a linha de transmissão não tem perdas, a impedância característica da linha é um valor real. Alguns valores típicos de Z são 50 e 75 ohms para um cabo coaxial comum, 100 ohms para um par trançado e cerca de 300 ohms para um par de cobre usado em comunicações de rádio.

Quando a energia é enviada através de uma linha de transmissão, o mais desejável é que toda a energia enviada seja transmitida para a carga, sem que nenhuma energia seja refletida de volta para a fonte. Esta condição ideal é alcançada tornando as impedâncias da fonte e da carga iguais a Z, caso em que a linha de transmissão é considerada casada.

Nas linhas reais, parte da potência enviada pela linha de transmissão é dissipada (perdida) devido ao efeito resistivo. Essa perda é chamada de perda resistiva ou perda ôhmica. Em altas frequências, outro tipo de perda torna-se significativa, chamada perda dielétrica, que se soma à perda resistiva. A perda dielétrica é causada quando o material dielétrico que faz parte da linha de transmissão absorve energia do campo elétrico alternado e a converte em calor.

A perda total de potência em uma linha de transmissão é conhecida como atenuação e é especificada em unidades de decibéis por metro ou nepério por metro. A atenuação geralmente depende da frequência do sinal. Os fabricantes de linhas de transmissão costumam anexar em seus produtos a ficha técnica contendo as atenuações em dB/m para uma determinada faixa de frequência. Uma atenuação de 3 dB corresponde, aproximadamente, à perda de metade de uma determinada potência.

Linhas de transmissão de alta frequência podem ser definidas como aquelas projetadas especificamente para transmitir ondas eletromagnéticas cujos comprimentos de onda são pequenos (alta frequência) e, portanto, comparáveis ​​a todo o comprimento da linha. Nestas condições, o comprimento físico da linha pode ser pequeno, mas como o tamanho da linha é comparável ao comprimento de onda, aproximações úteis para baixas frequências, que assumem propagação instantânea de energia entre dois pontos separados do mesmo condutor, deixam de fazer sentido e os fenómenos de atraso de propagação tornam-se evidentes. Isso ocorre com sinais de rádio, micro-ondas e ópticos, e com sinais encontrados em circuitos digitais de alta velocidade.

Contenido

Oliver Heaviside desarrolló un modelo matemático de línea de transmisión, conocido como ecuaciones del telégrafo, que describe la variación instantánea de la tensión y corriente eléctricas a lo largo de un conductor.

La teoría fue desarrollada para las líneas de transmisión de comunicaciones, como los hilos telegráficos y los conductores de radiofrecuencia; sin embargo, también es aplicable en su totalidad al diseño de las líneas de transmisión de potencia. Las ecuaciones constan de dos ecuaciones diferenciales lineales en función de la distancia y el tiempo: una para V(x, t) y otra para I(x, t). El modelo demuestra que la energía eléctrica puede reflejarse en la línea, y que se podían formar patrones de onda conocidos.

Equações

As equações telegráficas podem ser entendidas como uma simplificação das equações de Maxwell. Para fins práticos, assume-se que o condutor é composto por uma série de redes elementares de biportas (quadrupolos), cada uma representando um segmento infinitesimal da linha de transmissão. Um segmento infinitesimal de linha de transmissão é caracterizado por quatro parâmetros distribuídos, também comumente conhecidos como parâmetros primários da linha de transmissão.

Quando os parâmetros R e G são muito pequenos, seus efeitos podem ser ignorados, podendo a linha de transmissão ser considerada uma estrutura ideal e sem perdas. Neste caso, o modelo depende apenas dos parâmetros L e C, dos quais obtemos um par de equações diferenciais parciais, uma delas para a tensão e outra para a corrente, através da linha, ambas em função da posição ou distância x e do tempo t.

Essas equações podem ser combinadas para formar qualquer uma destas equações de onda exatas:.

Se a linha tiver comprimento infinito ou terminar em sua impedância característica, essas equações também indicarão a presença de uma onda que viaja com velocidade.

(Observe que esta velocidade de propagação só é aplicável à onda e nada tem a ver com a velocidade de arrasto do elétron, um caso separado para o qual existem outras equações e outra teoria. Para uma linha de transmissão linear homogênea e isotrópica, feita de condutores perfeitos e com vácuo entre eles, pode-se mostrar que essa velocidade é igual à da luz.)

Linha de transmissão dissipativa

Quando as perdas de dissipação nos elementos R e G não são desprezíveis, as equações diferenciais originais que descrevem o quadrupolo elementar assumem a forma.

Ao diferenciar a primeira equação em relação a x e a segunda em relação a t, obteremos, com a ajuda da manipulação algébrica, um par de equações diferenciais parciais hiperbólicas com apenas uma incógnita:

Observe que as equações se assemelham muito à equação de onda homogênea com termos adicionais em V e I e suas primeiras derivadas. Esses termos adicionais na equação são, fisicamente, o efeito que causa decaimento (atenuação) e distorção do sinal ao longo da distância e do tempo.

Direção de propagação do sinal

As equações de onda indicadas acima nos mostram duas soluções possíveis para a onda viajante: uma onda incidente (ou progressiva) e uma onda refletida (ou regressiva).

onde.

representa uma onda progressiva de acordo com a direção positiva de x, enquanto representa uma onda progressiva de acordo com a direção negativa de x. Ambos sem alterar sua forma. Pode-se dizer que a tensão instantânea em qualquer ponto x da reta, V(x), é a soma das tensões de ambas as ondas, confirmando que o princípio de superposição mencionado é cumprido ao admitir que a rede é linear.

Como a corrente I está relacionada à tensão V nas equações telegráficas, podemos escrever.

onde:.

é a impedância característica (em ohms) da linha de transmissão.

A análise matemática do comportamento da transmissão das ondas eletromagnéticas foi realizada graças aos trabalhos de James Clerk Maxwell, Lord Kelvin e, principalmente, Oliver Heaviside.

Em 1855, Lord Kelvin formulou um modelo de difusão para corrente em um cabo submarino. Este modelo previu corretamente o fraco desempenho do cabo submarino transatlântico de 1858. Em 1885, Heaviside publicou os primeiros documentos sobre o estudo da linha de transmissão, nos quais descreveu sua análise da propagação do cabo e a forma atual das equações telegráficas.

Para fins de análise, uma linha de transmissão pode ser modelada em um quadrupolo (também chamada de rede de duas portas) da seguinte forma:

No caso mais simples de estudo, assumiremos que a rede é linear (ou seja, a resposta a uma combinação linear de diversas excitações é uma combinação linear das respostas que a rede teria para cada uma das excitações separadamente, ou em outras palavras, aplica-se o princípio da superposição). Além disso, a rede é recíproca e simétrica (ou seja, ambas as portas são intercambiáveis).

Se a linha de transmissão for uniforme em todo o seu comprimento e sem perdas (linha de transmissão não dissipativa), então seu comportamento será inteiramente descrito por um único parâmetro denominado impedância característica, representado por Z. Esta é a razão entre a tensão complexa e a corrente complexa em qualquer ponto de uma linha de comprimento infinito (ou de comprimento finito, mas terminada em uma impedância de valor igual à impedância característica). Quando a linha de transmissão não tem perdas, a impedância característica da linha é um valor real. Alguns valores típicos de Z são 50 e 75 ohms para um cabo coaxial comum, 100 ohms para um par trançado e cerca de 300 ohms para um par de cobre usado em comunicações de rádio.

Quando a energia é enviada através de uma linha de transmissão, o mais desejável é que toda a energia enviada seja transmitida para a carga, sem que nenhuma energia seja refletida de volta para a fonte. Esta condição ideal é alcançada tornando as impedâncias da fonte e da carga iguais a Z, caso em que a linha de transmissão é considerada casada.

Nas linhas reais, parte da potência enviada pela linha de transmissão é dissipada (perdida) devido ao efeito resistivo. Essa perda é chamada de perda resistiva ou perda ôhmica. Em altas frequências, outro tipo de perda torna-se significativa, chamada perda dielétrica, que se soma à perda resistiva. A perda dielétrica é causada quando o material dielétrico que faz parte da linha de transmissão absorve energia do campo elétrico alternado e a converte em calor.

A perda total de potência em uma linha de transmissão é conhecida como atenuação e é especificada em unidades de decibéis por metro ou nepério por metro. A atenuação geralmente depende da frequência do sinal. Os fabricantes de linhas de transmissão costumam anexar em seus produtos a ficha técnica contendo as atenuações em dB/m para uma determinada faixa de frequência. Uma atenuação de 3 dB corresponde, aproximadamente, à perda de metade de uma determinada potência.

Linhas de transmissão de alta frequência podem ser definidas como aquelas projetadas especificamente para transmitir ondas eletromagnéticas cujos comprimentos de onda são pequenos (alta frequência) e, portanto, comparáveis ​​a todo o comprimento da linha. Nestas condições, o comprimento físico da linha pode ser pequeno, mas como o tamanho da linha é comparável ao comprimento de onda, aproximações úteis para baixas frequências, que assumem propagação instantânea de energia entre dois pontos separados do mesmo condutor, deixam de fazer sentido e os fenómenos de atraso de propagação tornam-se evidentes. Isso ocorre com sinais de rádio, micro-ondas e ópticos, e com sinais encontrados em circuitos digitais de alta velocidade.

Contenido

Oliver Heaviside desarrolló un modelo matemático de línea de transmisión, conocido como ecuaciones del telégrafo, que describe la variación instantánea de la tensión y corriente eléctricas a lo largo de un conductor.

La teoría fue desarrollada para las líneas de transmisión de comunicaciones, como los hilos telegráficos y los conductores de radiofrecuencia; sin embargo, también es aplicable en su totalidad al diseño de las líneas de transmisión de potencia. Las ecuaciones constan de dos ecuaciones diferenciales lineales en función de la distancia y el tiempo: una para V(x, t) y otra para I(x, t). El modelo demuestra que la energía eléctrica puede reflejarse en la línea, y que se podían formar patrones de onda conocidos.

Equações

As equações telegráficas podem ser entendidas como uma simplificação das equações de Maxwell. Para fins práticos, assume-se que o condutor é composto por uma série de redes elementares de biportas (quadrupolos), cada uma representando um segmento infinitesimal da linha de transmissão. Um segmento infinitesimal de linha de transmissão é caracterizado por quatro parâmetros distribuídos, também comumente conhecidos como parâmetros primários da linha de transmissão.

Quando os parâmetros R e G são muito pequenos, seus efeitos podem ser ignorados, podendo a linha de transmissão ser considerada uma estrutura ideal e sem perdas. Neste caso, o modelo depende apenas dos parâmetros L e C, dos quais obtemos um par de equações diferenciais parciais, uma delas para a tensão e outra para a corrente, através da linha, ambas em função da posição ou distância x e do tempo t.

Essas equações podem ser combinadas para formar qualquer uma destas equações de onda exatas:.

Se a linha tiver comprimento infinito ou terminar em sua impedância característica, essas equações também indicarão a presença de uma onda que viaja com velocidade.

(Observe que esta velocidade de propagação só é aplicável à onda e nada tem a ver com a velocidade de arrasto do elétron, um caso separado para o qual existem outras equações e outra teoria. Para uma linha de transmissão linear homogênea e isotrópica, feita de condutores perfeitos e com vácuo entre eles, pode-se mostrar que essa velocidade é igual à da luz.)

Linha de transmissão dissipativa

Quando as perdas de dissipação nos elementos R e G não são desprezíveis, as equações diferenciais originais que descrevem o quadrupolo elementar assumem a forma.

Ao diferenciar a primeira equação em relação a x e a segunda em relação a t, obteremos, com a ajuda da manipulação algébrica, um par de equações diferenciais parciais hiperbólicas com apenas uma incógnita:

Observe que as equações se assemelham muito à equação de onda homogênea com termos adicionais em V e I e suas primeiras derivadas. Esses termos adicionais na equação são, fisicamente, o efeito que causa decaimento (atenuação) e distorção do sinal ao longo da distância e do tempo.

Direção de propagação do sinal

As equações de onda indicadas acima nos mostram duas soluções possíveis para a onda viajante: uma onda incidente (ou progressiva) e uma onda refletida (ou regressiva).

onde.

representa uma onda progressiva de acordo com a direção positiva de x, enquanto representa uma onda progressiva de acordo com a direção negativa de x. Ambos sem alterar sua forma. Pode-se dizer que a tensão instantânea em qualquer ponto x da reta, V(x), é a soma das tensões de ambas as ondas, confirmando que o princípio de superposição mencionado é cumprido ao admitir que a rede é linear.

Como a corrente I está relacionada à tensão V nas equações telegráficas, podemos escrever.

onde:.

é a impedância característica (em ohms) da linha de transmissão.