Física da primavera
Teoria
Na física clássica, uma mola pode ser vista como um dispositivo que armazena energia potencial, especificamente energia de deformação, tensionando as ligações entre os átomos de um material elástico "Elasticidade (mecânica dos sólidos)").
A lei da elasticidade de Hooke afirma que a extensão de uma barra elástica (seu comprimento estendido menos seu comprimento relaxado) é linearmente proporcional à sua tensão (deformação (mecânica)), a força aplicada para esticá-la. Da mesma forma, a contração (extensão negativa) é proporcional à compressão (tensão negativa).
Na verdade, esta lei só se aplica aproximadamente e somente quando a deformação (extensão ou contração) é pequena em comparação com o comprimento total da barra. Para deformações além do limite elástico, as ligações atômicas se rompem ou se reorganizam, e uma mola pode quebrar, dobrar ou deformar-se permanentemente. Muitos materiais não têm uma tensão de escoamento claramente definida e a lei de Hooke não pode ser aplicada de forma significativa a esses materiais. Além disso, para materiais superelásticos, a relação linear entre força e deslocamento é apropriada apenas na região de baixa tensão.
A lei de Hooke é uma consequência matemática do fato de que a energia potencial da barra é mínima quando seu comprimento está relaxado. Qualquer função infinitamente diferenciável de uma variável se aproxima de uma função quadrática quando examinada perto o suficiente de seu ponto mínimo, como pode ser visto examinando os termos da série de Taylor. Portanto, a força, que é a derivada da energia em relação ao deslocamento, aproxima-se de uma função linear.
A força de uma mola totalmente comprimida assume a forma.
Molas de comprimento zero
Mola de comprimento zero é um termo para uma mola helicoidal especialmente projetada que exerceria força zero se tivesse comprimento zero. Se não houvesse restrição devido ao diâmetro finito do fio de tal mola helicoidal, ela teria comprimento zero na condição não esticada. Ou seja, num gráfico linear da força da mola versus o seu comprimento, a reta passaria pela origem. Obviamente, uma mola helicoidal não pode se contrair até o comprimento zero, porque em algum ponto as bobinas se tocam e a mola não pode mais encurtar. As molas de comprimento zero são feitas usando uma mola helicoidal com tensão embutida (a torção é introduzida no fio à medida que ele é enrolado durante a fabricação, o que funciona porque uma mola helicoidal "desenrola" à medida que é esticada), então poderia contrair ainda mais, de modo que o ponto de equilíbrio da mola, o ponto em que sua força restauradora é zero, ocorre em um comprimento zero. Na prática, as molas de comprimento zero são feitas combinando uma mola de comprimento negativo, feita com ainda mais tensão para que seu ponto de equilíbrio tenha comprimento "negativo", com um pedaço de material inelástico de comprimento apropriado para que o ponto de força zero tenha comprimento zero.
Uma mola de comprimento zero pode ser fixada a uma massa em um braço articulado de tal forma que a força sobre o peso seja quase exatamente equilibrada pela componente vertical da força da mola, qualquer que seja a posição do braço. Isto cria um “pêndulo” horizontal com um período de oscilação muito longo. Esses pêndulos permitem que os sismógrafos detectem as ondas mais lentas dos terremotos. A suspensão LaCoste" com molas de comprimento zero também é usada em gravímetros porque é muito sensível às mudanças na gravidade. As molas de fechamento da porta geralmente têm comprimento aproximado de zero, de modo que exercem força mesmo quando a porta está quase fechada, para que possam mantê-la fechada com firmeza.
energia de tensão
A maneira mais simples de analisar fisicamente uma mola é através do seu modelo ideal global e sob a suposição de que ela obedece à Lei de Hooke. Fica assim estabelecida a equação da mola, onde a força F exercida sobre ela está relacionada ao alongamento/contração ou alongamento “x” produzido, conforme segue:
A energia de deformação ou energia potencial elástica associada ao alongamento ou encurtamento de uma mola linear é dada pela integração do trabalho "Trabalho (física)") realizado em cada mudança infinitesimal em seu comprimento:
Se a mola não for linear então a rigidez da mola depende da sua deformação e nesse caso temos uma fórmula um pouco mais geral:
Equação diferencial e equação de onda
Definiremos agora uma constante intrínseca da mola independente do seu comprimento e assim estabeleceremos a lei diferencial constitutiva de uma mola. Multiplicando pelo comprimento total e chamando o produto ou k intrínseco, temos:.
Chamaremos a tensão numa secção da mola situada a uma distância de uma das suas extremidades, que consideraremos fixa e que tomaremos como origem das coordenadas, a constante de um pequeno pedaço de mola de comprimento à mesma distância e o alongamento desse pequeno pedaço em virtude da aplicação de força. Pela lei do cais completo:.
Tomando o limite:.
que pelo princípio da superposição resulta:
Se assumirmos também que tanto a seção quanto o módulo de elasticidade podem variar com a distância da origem, a equação se torna:
Qual é a equação diferencial completa da mola. Se for integrado para todo x, o resultado será o valor do alongamento unitário total. Normalmente F(x) pode ser considerado constante e igual à força total aplicada. Quando F(x) não é constante e sua inércia está incluída no raciocínio, chegamos à equação de onda unidimensional que descreve os fenômenos ondulatórios.
Suponhamos, por simplicidade, que tanto a secção da mola, a sua densidade (sendo a densidade entendida como a massa de uma secção da mola dividida pelo volume do cilindro envolvente imaginário) e o seu módulo de elasticidade são constantes ao longo dela e que a mola é cilíndrica. Vamos chamar o deslocamento de uma seção de doca. Agora vamos pegar uma seção de mola diferencial de comprimento (dx). A massa dessa porção será dada por:.
Aplicando a segunda lei de Newton a essa seção:
Quer dizer:.
Por outro lado, é fácil deduzir isso.
Introduzindo, portanto, esta expressão na equação diferencial da mola deduzida acima, chegamos a:
Derivando esta expressão em relação a x obtemos:.
Combinando a expressão temporal com a expressão espacial, deduz-se finalmente a equação geral de uma mola cilíndrica de seção constante, densidade e elasticidade, que coincide exatamente com a equação da onda longitudinal:
A partir do qual a velocidade de propagação das perturbações em uma mola ideal é deduzida como:
No caso de uma mola com massa suspensa.
Cuja solução é , ou seja, a massa realiza um movimento harmônico simples de amplitude e frequência angular .
Derivando e substituindo:.
Simplificando:
Esta equação relaciona a frequência natural com a rigidez da mola e a massa suspensa.
Para uma mola de densidade variável, módulo de elasticidade variável e seção de envelope variável, a equação de perturbação generalizada é a seguinte:
Numa mola com essas características, a onda viajante mudaria sua velocidade e, portanto, seu comprimento de onda ao longo do caminho. Além disso, em algumas áreas do cais sua amplitude seria maior que em outras, ou seja, a solução depende de três funções arbitrárias:
Soluções para a equação das ondas em uma mola
A solução geral para a equação diferencial parcial da mola simplificada de comprimento infinito é descrita abaixo. Dadas as condições iniciais:
onde, a solução da função D'Alembert para a equação de onda pode ser escrita como:.
Tal solução admite que F e G podem ser qualquer tipo de função contínua e quando.
Para uma mola de comprimento finito L com suas extremidades ancoradas, o problema se torna um problema de fronteira que pode ser resolvido pela separação de variáveis com a teoria de Sturm-Liouville. Dadas condições iniciais como as descritas anteriormente e condições de contorno com extremidades fixas. As condições iniciais podem ser desenvolvidas em uma série de Fourier da seguinte forma:
Onde os coeficientes de Fourier são obtidos após integração das funções f e g da seguinte forma:
para.
A solução para este problema é escrita da seguinte forma: