O princípio de Arquimedes pode ser deduzido matematicamente das equações de Euler "equações de Euler (fluidos)") para um fluido em repouso, que por sua vez pode ser deduzido generalizando as leis de Newton para um meio contínuo. Da mesma forma, o princípio de Arquimedes pode ser deduzido das equações de Navier-Stokes para um fluido:

A condição de repouso do fluido incompressível implica levar em consideração a equação anterior, que nos permite chegar à relação fundamental entre pressão do fluido, densidade do fluido e aceleração da gravidade:

A partir dessa relação podemos facilmente reescrever as forças sobre um corpo submerso em termos do peso do fluido deslocado pelo corpo. Quando um sólido K é imerso em um fluido, em cada ponto de sua superfície aparece uma força por unidade de área perpendicular à superfície naquele ponto e proporcional à pressão do fluido p naquele ponto. Se chamarmos o vetor de normal à superfície do corpo, podemos escrever a resultante das forças simplesmente usando o teorema da divergência de Stokes:

onde a última igualdade ocorre apenas se o fluido for incompressível.

Suponhamos um corpo de volume imerso num fluido de densidade, podemos agora escolher pequenos elementos de área, tais que tendem a ser um ponto na superfície do corpo.

Uma pressão de valor e uma força associada a ela atuam em cada ponto (elemento de área), tal que.

Todas as forças que envolvem o corpo devido à pressão no mesmo nível são canceladas. deixando apenas forças nas direções descendente e ascendente.

Agora, se tomarmos dois pontos na superfície do corpo que estão conectados através de uma vertical, teremos uma respectiva força para baixo e outra para cima e, portanto, uma respectiva resultante.

Onde a peça é um elemento de pequeno volume do corpo, .

Portanto, pode ser reescrito como:.

Agora, o impulso se torna a força resultante.

Onde a soma de todos os elementos de pequeno volume do corpo, , acaba sendo o volume total do corpo submerso, ou seja,.

Portanto chegamos a:

Ou seja, o empuxo é proporcional ao volume do fluido deslocado pelo corpo, ou seja, proporcional ao volume do corpo submerso.

Sabendo disso, substituindo obtemos:.

Ou seja, o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado.

Com isso, o princípio de Arquimedes é demonstrado.

Para um prisma reto de base A e altura H, imerso numa posição completamente vertical, a demonstração anterior é realmente elementar. Devido à configuração do prisma dentro do fluido, as pressões na área lateral produzem apenas impulsos horizontais que, além disso, se anulam e não contribuem para sustentá-lo. Para as faces superior e inferior, como todos os seus pontos estão submersos na mesma profundidade, a pressão é constante e podemos utilizar a relação força = pressão × área, e levando em consideração o resultado na face superior e inferior, temos:.

onde é a pressão aplicada na face inferior do corpo, é a pressão aplicada na face superior e A é a área projetada do corpo. Levando em consideração a equação geral da hidrostática, que afirma que a pressão em um fluido em repouso aumenta proporcionalmente com a profundidade:

Introduzindo o volume do corpo no último termo e multiplicando pela densidade do fluido ρ vemos que a força vertical ascendente F é precisamente o peso do fluido deslocado.

O impulso ou força que o líquido exerce sobre um corpo, vertical e ascendentemente, quando este está submerso, acaba também por ser a diferença entre o peso que o corpo tem suspenso no ar e o “peso” que tem quando é introduzido num líquido. Este último é conhecido como peso “aparente” do corpo, pois seu peso no líquido “aparentemente” diminui; A força que a Terra exerce sobre o corpo permanece constante, mas o corpo, por sua vez, recebe uma força ascendente que diminui a resultante vertical.

onde é o peso do corpo no ar e é o peso do corpo imerso no líquido.

O princípio de Arquimedes não leva em consideração a tensão superficial (capilaridade) que atua no corpo.[10] Além disso, foi descoberto que o princípio de Arquimedes se decompõe em fluidos complexos. (emulsões).

Há uma exceção ao princípio de Arquimedes conhecida como caso inferior (ou lateral). Isso ocorre quando um lado do objeto toca o fundo (ou lateral) do recipiente no qual está submerso e nenhum líquido está vazando por esse lado. Neste caso, está comprovado que a força resultante difere do princípio de Arquimedes, pois ao não filtrar o líquido desse lado, a simetria da pressão é quebrada.[12]​.

O princípio de Arquimedes mostra a força de empuxo e o deslocamento de um fluido. No entanto, o conceito do princípio de Arquimedes pode ser aplicado ao considerar por que os objetos flutuam. A proposição 5 do tratado Sobre Corpos Flutuantes de Arquimedes afirma isso.

Em outras palavras, para um objeto flutuando sobre uma superfície líquida (como um navio) ou flutuando submerso em um fluido (como um submarino na água ou um dirigível no ar), o peso do líquido deslocado é igual ao peso do objeto. Portanto, apenas no caso especial de flutuação a força de empuxo que atua sobre um objeto é igual ao seu peso. Vamos considerar um bloco de ferro sólido de 1 tonelada. Como o ferro é quase oito vezes mais denso que a água, ele desloca apenas 1/8 de tonelada de água quando submerso, o que não é suficiente para mantê-lo flutuando. Suponhamos que o mesmo bloco de ferro seja transformado numa tigela. Ainda pesa 1 tonelada, mas quando submerso na água desloca um volume de água maior do que quando era um bloco. Quanto mais fundo a tigela de ferro estiver submersa, mais água ela desloca e maior será a força de empuxo que atua sobre ela. Quando a força de empuxo é igual a 1 tonelada, ele não afunda mais.

Quando um barco desloca um peso de água igual ao seu próprio peso, ele flutua. Isso costuma ser chamado de "princípio da flutuação": um objeto flutuante desloca um peso de fluido igual ao seu próprio peso. Cada navio, submarino e dirigível deve ser projetado para deslocar um peso de fluido pelo menos igual ao seu próprio peso. O casco de um navio de 10.000 toneladas deve ser largo, longo e profundo o suficiente para deslocar 10.000 toneladas de água e ainda ter algum casco acima da água para evitar que afunde. Necessita de casco adicional para combater as ondas que de outra forma o encheriam e, ao aumentar a sua massa, fariam com que submergisse. O mesmo vale para navios no ar: um dirigível pesando 100 toneladas precisa deslocar 100 toneladas de ar. Se se mover mais, sobe; Se se mover menos, cai. Se o dirigível deslocar exatamente o seu peso, ele flutuará a uma altitude constante.

Embora relacionados, o princípio da flutuabilidade e o conceito de que um objeto submerso desloca um volume de fluido igual ao seu próprio volume não são o princípio de Arquimedes. O princípio de Arquimedes, como já mencionado, iguala a força de empuxo ao peso do fluido deslocado.

Um ponto comum de confusão em relação ao princípio de Arquimedes é o significado de volume deslocado. As demonstrações mais comuns envolvem medir o aumento do nível da água quando um objeto flutua na superfície para calcular a água deslocada. Este método de medição falha com um objeto flutuante submerso porque o aumento no nível da água está diretamente relacionado ao volume do objeto e não à massa (a menos que a densidade efetiva do objeto seja exatamente igual à densidade do fluido).[14]​[15]​[16]​.

O princípio de Arquimedes pode ser deduzido matematicamente das equações de Euler "equações de Euler (fluidos)") para um fluido em repouso, que por sua vez pode ser deduzido generalizando as leis de Newton para um meio contínuo. Da mesma forma, o princípio de Arquimedes pode ser deduzido das equações de Navier-Stokes para um fluido:

A condição de repouso do fluido incompressível implica levar em consideração a equação anterior, que nos permite chegar à relação fundamental entre pressão do fluido, densidade do fluido e aceleração da gravidade:

A partir dessa relação podemos facilmente reescrever as forças sobre um corpo submerso em termos do peso do fluido deslocado pelo corpo. Quando um sólido K é imerso em um fluido, em cada ponto de sua superfície aparece uma força por unidade de área perpendicular à superfície naquele ponto e proporcional à pressão do fluido p naquele ponto. Se chamarmos o vetor de normal à superfície do corpo, podemos escrever a resultante das forças simplesmente usando o teorema da divergência de Stokes:

onde a última igualdade ocorre apenas se o fluido for incompressível.

Suponhamos um corpo de volume imerso num fluido de densidade, podemos agora escolher pequenos elementos de área, tais que tendem a ser um ponto na superfície do corpo.

Uma pressão de valor e uma força associada a ela atuam em cada ponto (elemento de área), tal que.

Todas as forças que envolvem o corpo devido à pressão no mesmo nível são canceladas. deixando apenas forças nas direções descendente e ascendente.

Agora, se tomarmos dois pontos na superfície do corpo que estão conectados através de uma vertical, teremos uma respectiva força para baixo e outra para cima e, portanto, uma respectiva resultante.

Onde a peça é um elemento de pequeno volume do corpo, .

Portanto, pode ser reescrito como:.

Agora, o impulso se torna a força resultante.

Onde a soma de todos os elementos de pequeno volume do corpo, , acaba sendo o volume total do corpo submerso, ou seja,.

Portanto chegamos a:

Ou seja, o empuxo é proporcional ao volume do fluido deslocado pelo corpo, ou seja, proporcional ao volume do corpo submerso.

Sabendo disso, substituindo obtemos:.

Ou seja, o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado.

Com isso, o princípio de Arquimedes é demonstrado.

Para um prisma reto de base A e altura H, imerso numa posição completamente vertical, a demonstração anterior é realmente elementar. Devido à configuração do prisma dentro do fluido, as pressões na área lateral produzem apenas impulsos horizontais que, além disso, se anulam e não contribuem para sustentá-lo. Para as faces superior e inferior, como todos os seus pontos estão submersos na mesma profundidade, a pressão é constante e podemos utilizar a relação força = pressão × área, e levando em consideração o resultado na face superior e inferior, temos:.

onde é a pressão aplicada na face inferior do corpo, é a pressão aplicada na face superior e A é a área projetada do corpo. Levando em consideração a equação geral da hidrostática, que afirma que a pressão em um fluido em repouso aumenta proporcionalmente com a profundidade:

Introduzindo o volume do corpo no último termo e multiplicando pela densidade do fluido ρ vemos que a força vertical ascendente F é precisamente o peso do fluido deslocado.

O impulso ou força que o líquido exerce sobre um corpo, vertical e ascendentemente, quando este está submerso, acaba também por ser a diferença entre o peso que o corpo tem suspenso no ar e o “peso” que tem quando é introduzido num líquido. Este último é conhecido como peso “aparente” do corpo, pois seu peso no líquido “aparentemente” diminui; A força que a Terra exerce sobre o corpo permanece constante, mas o corpo, por sua vez, recebe uma força ascendente que diminui a resultante vertical.

onde é o peso do corpo no ar e é o peso do corpo imerso no líquido.

O princípio de Arquimedes não leva em consideração a tensão superficial (capilaridade) que atua no corpo.[10] Além disso, foi descoberto que o princípio de Arquimedes se decompõe em fluidos complexos. (emulsões).

Há uma exceção ao princípio de Arquimedes conhecida como caso inferior (ou lateral). Isso ocorre quando um lado do objeto toca o fundo (ou lateral) do recipiente no qual está submerso e nenhum líquido está vazando por esse lado. Neste caso, está comprovado que a força resultante difere do princípio de Arquimedes, pois ao não filtrar o líquido desse lado, a simetria da pressão é quebrada.[12]​.

O princípio de Arquimedes mostra a força de empuxo e o deslocamento de um fluido. No entanto, o conceito do princípio de Arquimedes pode ser aplicado ao considerar por que os objetos flutuam. A proposição 5 do tratado Sobre Corpos Flutuantes de Arquimedes afirma isso.

Em outras palavras, para um objeto flutuando sobre uma superfície líquida (como um navio) ou flutuando submerso em um fluido (como um submarino na água ou um dirigível no ar), o peso do líquido deslocado é igual ao peso do objeto. Portanto, apenas no caso especial de flutuação a força de empuxo que atua sobre um objeto é igual ao seu peso. Vamos considerar um bloco de ferro sólido de 1 tonelada. Como o ferro é quase oito vezes mais denso que a água, ele desloca apenas 1/8 de tonelada de água quando submerso, o que não é suficiente para mantê-lo flutuando. Suponhamos que o mesmo bloco de ferro seja transformado numa tigela. Ainda pesa 1 tonelada, mas quando submerso na água desloca um volume de água maior do que quando era um bloco. Quanto mais fundo a tigela de ferro estiver submersa, mais água ela desloca e maior será a força de empuxo que atua sobre ela. Quando a força de empuxo é igual a 1 tonelada, ele não afunda mais.

Quando um barco desloca um peso de água igual ao seu próprio peso, ele flutua. Isso costuma ser chamado de "princípio da flutuação": um objeto flutuante desloca um peso de fluido igual ao seu próprio peso. Cada navio, submarino e dirigível deve ser projetado para deslocar um peso de fluido pelo menos igual ao seu próprio peso. O casco de um navio de 10.000 toneladas deve ser largo, longo e profundo o suficiente para deslocar 10.000 toneladas de água e ainda ter algum casco acima da água para evitar que afunde. Necessita de casco adicional para combater as ondas que de outra forma o encheriam e, ao aumentar a sua massa, fariam com que submergisse. O mesmo vale para navios no ar: um dirigível pesando 100 toneladas precisa deslocar 100 toneladas de ar. Se se mover mais, sobe; Se se mover menos, cai. Se o dirigível deslocar exatamente o seu peso, ele flutuará a uma altitude constante.

Embora relacionados, o princípio da flutuabilidade e o conceito de que um objeto submerso desloca um volume de fluido igual ao seu próprio volume não são o princípio de Arquimedes. O princípio de Arquimedes, como já mencionado, iguala a força de empuxo ao peso do fluido deslocado.

Um ponto comum de confusão em relação ao princípio de Arquimedes é o significado de volume deslocado. As demonstrações mais comuns envolvem medir o aumento do nível da água quando um objeto flutua na superfície para calcular a água deslocada. Este método de medição falha com um objeto flutuante submerso porque o aumento no nível da água está diretamente relacionado ao volume do objeto e não à massa (a menos que a densidade efetiva do objeto seja exatamente igual à densidade do fluido).[14]​[15]​[16]​.