Os arquitetos Michael Ostwald e Kim Williams ("Kim Williams (arquiteto)"), considerando as relações entre arquitetura e matemática, apontam que ambos os campos, como comumente entendidos, podem parecer vagamente conectados, uma vez que a arquitetura é uma profissão que lida com a questão prática de projetar e construir edifícios, enquanto a matemática é o puro estudo de números e outros objetos abstratos. No entanto, argumentam eles, ambas as disciplinas estão fortemente conectadas, e assim têm sido desde a antiguidade clássica.

Na Roma antiga, Vitrúvio descreveu um arquiteto como um homem que conhecia o suficiente de uma variedade de outras disciplinas, principalmente geometria, para lhe permitir supervisionar artesãos qualificados em todas as outras áreas necessárias, como pedreiros e carpinteiros. O mesmo se aplicava à Idade Média, quando arquitectos com formação universitária aprendiam aritmética, geometria e estética juntamente com o currículo básico de gramática, lógica e retórica (as artes liberais) em elegantes salas de aula construídas por mestres construtores que tinham orientado muitos artesãos. Um mestre construtor no auge de sua profissão recebia o título de arquiteto ou engenheiro. Na Renascença, as artes liberais (aritmética, geometria, música e astronomia) tornaram-se um programa extra de polímatas como Leon Battista Alberti. Da mesma forma, na Inglaterra, Sir Christopher Wren, hoje conhecido como arquiteto, foi primeiro um notável astrônomo.[3]​.

Williams e Ostwald, revisando a interação entre matemática e arquitetura desde 1500 segundo a abordagem do sociólogo alemão Theodor Adorno, identificam três tendências entre os arquitetos, a saber: ser “revolucionário”, introduzindo ideias completamente novas; ser “reacionário”, não introduzindo mudanças; ou ser revivalista "Revivalismo (arquitetura)"), inspirando-se em estilos do passado. Eles argumentam que os arquitetos evitaram buscar inspiração na matemática em retrospectiva, o que explicaria por que em períodos revivalistas, como a arquitetura neogótica na Inglaterra do século XIX, a arquitetura tinha pouca ligação com a matemática. Da mesma forma, salientam que em períodos reacionários como o maneirismo italiano, por volta de 1520 a 1580, ou os movimentos barroco e palladiano do século XIX, a matemática dificilmente foi levada em consideração. Em contraste, os movimentos revolucionários da virada do século, como o futurismo e o construtivismo, rejeitaram ativamente ideias antigas, adotando a matemática como base conceitual e levando à arquitetura moderna o "Modernismo (movimento filosófico e cultural)"). Também no final do século, os arquitetos rapidamente aproveitaram a geometria fractal, bem como os mosaicos aperiódicos, para fornecer aos edifícios revestimentos atraentes.[4]​.

Os arquitetos usam a matemática por vários motivos, deixando de lado o uso necessário da matemática na engenharia de construção. "Proporção (arquitetura)") de acordo com princípios matemáticos, estéticos e, às vezes, religiosos. a estrutura de edifícios altos.[1]​.

Roma Antiga

Vitrúvio, o influente arquiteto da Roma antiga, argumentou que o projeto de um edifício como um templo depende de duas qualidades, proporção e simetria. A proporção garante que cada parte de um edifício se relacione harmoniosamente com todas as outras. simetria, segundo Vitrúvio, significa algo mais próximo da modularidade do que da simetria do espelho, já que o conceito diz respeito à montagem das peças (módulos) em relação a todo o edifício. Na sua Basílica de Fano, ele usa proporções de pequenos inteiros, especialmente números triangulares (1, 3, 6, 10, ...) para dotar a estrutura da chamada modulação vitruviana.[16]​ Portanto, a relação entre a largura e o comprimento da Basílica é de 1:2; o corredor ao redor é tão alto quanto largo, 1:1; as colunas têm um metro e meio de espessura e quinze metros de altura, 1:10.[9]​.

Vitrúvio mencionou três qualidades fundamentais da arquitetura em sua obra De arquiteto (c. 15 aC): firmeza, utilidade e beleza, frase que se tornaria famosa. Esses três princípios podem ser usados ​​como categorias para classificar as formas como a matemática é usada na arquitetura. A firmeza abrange o uso da matemática para garantir que um edifício permaneça de pé, daí as ferramentas matemáticas utilizadas no projeto e na fundação da construção, por exemplo, para garantir a estabilidade e o comportamento da estrutura. A utilidade deriva em parte da aplicação eficaz da matemática, do raciocínio e da análise de relações espaciais e outras relações em um projeto. A beleza é um atributo do edifício resultante, produto da incorporação de relações matemáticas nas proporções do edifício; inclui qualidades estéticas, sensíveis e intelectuais.[17]​.

O Panteão de Roma sobreviveu intacto, ilustrando a estrutura, proporção e decoração romana clássica. A estrutura principal é uma cúpula cuja coroa foi deixada aberta como um óculo circular para deixar entrar a luz. Possui colunata curta, encimada por frontão triangular. A altura do óculo e o diâmetro do círculo interno são iguais, 43,3 metros (142,1 pés), então todo o interior caberia exatamente dentro de um cubo, e o interior poderia conter uma esfera do mesmo diâmetro. Estas dimensões fazem mais sentido quando expressas em medidas romanas antigas: a cúpula atinge 150 pés romanos de diâmetro;[19] o óculo mede 30 pés romanos de diâmetro; e a entrada tem 12 metros romanos de altura.[20]​ O Panteão continua sendo a maior cúpula de concreto do mundo.[21]​.

Renascimento

O primeiro tratado renascentista sobre arquitetura, "De re aedificatoria" (Sobre a Arte de Construir) de Leon Battista Alberti, escrito em 1450, tornou-se o primeiro livro impresso sobre arquitetura em 1485. Foi baseado em parte no "De arquiteto" de Vitrúvio e, através de Nicomanus, na aritmética pitagórica. Alberti começa com um cubo, do qual deduz várias proporções. Assim, a diagonal de uma face dá a proporção 1:, enquanto o diâmetro da esfera que circunscreve o cubo dá 1:.[22]​[23]​ Também documentou a descoberta da perspectiva por Filippo Brunelleschi, desenvolvida para permitir o projeto de edifícios que pareceriam lindamente proporcionais quando vistos de uma distância adequada.[12]​.

O próximo texto importante foi "Regole generali d'architettura" (Regras Gerais de Arquitetura) de Sebastiano Serlio; o primeiro volume apareceu em Veneza em 1537; o volume de 1545 (livros 1 e 2) cobria geometria e perspectiva. Dois dos métodos de Serlio para construir perspectivas estavam incorretos, mas isso não impediu que seu trabalho fosse amplamente utilizado.[25]​.

Em 1570, Andrea Palladio publicou o influente "I quattro libri dell'architettura" (Os Quatro Livros de Arquitetura) em Veneza. Este livro amplamente impresso foi o grande responsável pela difusão das ideias do Renascimento italiano por toda a Europa, com a ajuda de alguns seguidores como o diplomata inglês Henry Wotton, com o seu texto de 1624 intitulado *"Os Elementos da Arquitetura".[26] As proporções de cada cômodo da villa foram calculadas em proporções matemáticas simples, como 3:4 e 4:5, e os diferentes cômodos da casa foram inter-relacionados por essas proporções. Arquitetos anteriores usaram essas fórmulas para equilibrar a fachada principal; No entanto, os projetos de Palladio referiam-se a toda a villa, geralmente quadrada. Palladio permitiu uma gama de proporções no Quattro libri, indicando que:[28]​[29]​.

Em 1615, Vincenzo Scamozzi publicou o tratado da Renascença tardio intitulado "L'idea dell'architettura universale" (A Idéia de uma Arquitetura Universal). Scamozzi tentou relacionar o desenho de cidades e edifícios com as ideias de Vitrúvio e dos Pitagóricos, e com as ideias mais recentes de Palladio.[32]

século 19

Vladimir Shukhov começou a usar hiperbolóides no final do século, projetando mastros, faróis e torres de resfriamento com esse formato. A sua configuração marcante é esteticamente interessante e forte, utilizando materiais estruturais de forma económica. A Torre Shukhov em Polybino, sua primeira estrutura hiperbólica, foi exibida em Nizhny Novgorod em 1896.[33]​[34]​[35]​.

século 20

O movimento do início do século chamado arquitetura moderna, pressagiado[37]​ pelo construtivismo russo "Construtivismo (arte)"),[36]​ usava geometria retilínea euclidiana (também chamada cartesiana). No movimento denominado De Stijl, a horizontal e a vertical eram consideradas elementos universais. A forma arquitetônica consiste em unir essas duas tendências direcionais, utilizando planos de telhado, planos de parede e varandas, que deslizam ou se cruzam, como na Casa Schröder de Gerrit Rietveld (1924).[38]​.

Os arquitetos modernistas eram livres para usar curvas e planos. A estação Arnos Grove do metrô de Londres, projetada por Charles Holden em 1933, possui um átrio circular de acesso em tijolos, com cobertura plana de concreto. e a espiral), como os supostos blocos básicos de construção da arquitetura inspirada na natureza.[40]​[41]​.

Le Corbusier propôs a antropometria como uma relação de escala "Escala (relação)") para estabelecer proporções na arquitetura. Ele desenvolveu o sistema chamado Modulor, baseado na altura estimada de um homem.[42]​ A Capela Notre Dame du Haut de Le Corbusier de 1955 usa curvas de forma livre, que não podem ser descritas com fórmulas matemáticas.[45]​ Diz-se que as curvas evocam formas naturais, como a proa de um navio ou mãos em oração.[46]​ A configuração só se aplica à escala maior: não há hierarquia de detalhes em escalas menores. e, portanto, não se incorpora uma dimensão fractal; O mesmo se aplica a outros edifícios famosos do século, como a Ópera de Sydney, o Aeroporto Internacional de Denver ou o Museu Guggenheim Bilbao.[43]​.

A arquitetura contemporânea, na opinião dos 90 principais arquitetos que responderam à World Architecture Survey organizada pela revista Vanity Fair "Vanity Fair (magazine)") em 2010, é extremamente diversificada, sendo o Museu Guggenheim de Frank Gehry em Bilbao o edifício mais bem avaliado.[47]​.

O edifício do terminal do Aeroporto Internacional de Denver, concluído em 1995, possui uma cobertura de chapa suspensa configurada como superfície mínima (ou seja, sua curvatura média é zero) por meio de cabos de aço. Evoca as montanhas cobertas de neve do Colorado e as tendas (tendas) dos nativos americanos.[48]​[49]​.

O arquiteto Richard Buckminster Fuller é famoso por projetar estruturas rígidas, conhecidas como cúpulas geodésicas. A cúpula da Biosphère de Montreal tem uma altura de 61 metros (200,1 pés) e seu diâmetro é de 76 metros (249,3 pés).[50]​.

A Sydney Opera House tem um telhado espetacular, composto por altas abóbadas brancas, que lembram velas de navios. Para serem construídos com componentes padronizados, eles foram compostos por seções triangulares de cascas esféricas de mesmo raio, projetadas com curvatura uniforme em todas as direções.[51]​.

O movimento desconstrutivista no final do século criou desordem deliberada através do que Nikos Salingaros chama de formas aleatórias em seu livro ,[52]​ empregando formas altamente complexas,[53]​ paredes não paralelas, grades sobrepostas e superfícies 2-D complexas, como no Walt Disney Concert Hall de Frank Gehry e no Museu Guggenheim em Bilbao.[54]​[55]​ Até o final do século, estudantes de a arquitetura precisava ter uma base matemática considerável. Salingaros sustenta que, primeiro o modernismo "excessivamente simplista e politicamente orientado" (Modernismo (movimento filosófico e cultural)) e depois o desconstrutivismo "anticientífico", significaram na prática a separação entre arquitetura e matemática. Ele acredita que esta “renúncia aos valores matemáticos” é prejudicial, uma vez que a “estética generalizada” da arquitetura não matemática acostuma as pessoas “a rejeitar a estruturação matemática no ambiente construído”; e argumenta que esta situação implica efeitos negativos na sociedade.[43]​.

Antigo Egito

As pirâmides "Pirâmide (arquitetura)") do antigo Egito são monumentos funerários construídos com proporções matemáticas, mas o que eram e se o teorema de Pitágoras foi usado é debatido. A relação entre a altura inclinada e metade do comprimento da base da Grande Pirâmide de Gizé difere em aproximadamente 1% da proporção áurea. foi baseado em um triângulo com uma razão entre base e hipotenusa de 1:4/π (ângulo de face 51° 50').[59]​.

As proporções de algumas pirâmides também podem ter sido baseadas no triângulo 3:4:5 (ângulo da face 53° 8'), conhecido no papiro Ahmes (c. 1650-1550 aC). Esta possibilidade foi conjecturada pela primeira vez pelo historiador Moritz Cantor em 1882.[60] Sabe-se que os ângulos retos foram desenhados com precisão no antigo Egito usando cordas com nós para medição,[60] o que Plutarco registrou em sua obra Ísis e Osíris "Moralia (Obras de Moral e Costumes)") (c. 100 DC), indicando que os egípcios admiravam o triângulo 3:4:5.[60]​ Além disso, um pergaminho de antes de 1700 AC. C. inclui fórmulas básicas para somas de quadrados "Quadrado (álgebra)". C. na verdade menciona o uso do teorema para encontrar o comprimento dos lados de um triângulo e que existem maneiras mais simples de construir um ângulo reto. Cooke conclui que a conjectura de Cantor permanece incerta; Ele assume que os antigos egípcios provavelmente conheciam o teorema de Pitágoras, mas “não há evidências de que o tenham usado para construir ângulos retos”.

Índia antiga

O vastu shastra, os antigos cânones indianos de arquitetura e planejamento urbano, usam desenhos simétricos chamados mandalas. Para chegar às dimensões de um edifício e seus componentes, são utilizados cálculos complexos, e os projetos pretendem integrar a arquitetura com a natureza, de modo que as funções relativas de várias partes da estrutura estejam relacionadas com crenças tradicionais que envolvem o uso de certos padrões geométricos (yantra), condições de simetria e orientação direcional.[63]​[64]​ No entanto, os primeiros construtores podem ter encontrado proporções matemáticas por acidente. O matemático Georges Ifrah observa que "truques" simples com cordas e estacas podem ser usados ​​para projetar formas geométricas, como elipses e ângulos retos.[12]​[65]​.

A matemática dos fractais tem sido usada para demonstrar que a razão pela qual os edifícios existentes têm apelo universal e são visualmente satisfatórios é porque dão ao observador uma sensação de escala em diferentes distâncias de visualização. Por exemplo, nas altas torres chamadas gopurams que dão entrada aos templos hindus, como o Templo Virupaksha "Templo Virupaksha (Hampi)") em Hampi construído no século XIX, e outros como o Templo Kandariya Mahadev em Khajuraho, as partes e o todo têm o mesmo caráter, com dimensão fractal na faixa de 1,7 a 1,8. O grupo de torres menores ("shikhara", literalmente "montanha") ao redor da torre central mais alta que representa o sagrado Monte Kailash, morada do Senhor Shiva, representa a repetição infinita de universos na cosmologia hindu.[2]​[66]​ O estudioso de estudos religiosos William J. Jackson comentou sobre o padrão de torres agrupadas entre torres menores, agrupadas entre torres ainda menores:

O Templo Meenakshi Amman é um grande complexo com vários santuários, com as ruas de Madurai dispostas concentricamente ao seu redor de acordo com os shastras. Os quatro portões de entrada são torres altas (gopurams) com uma estrutura repetitiva semelhante a um fractal, como em Hampi. Os recintos ao redor de cada santuário são retangulares e cercados por altos muros de pedra.[68]​.

Grécia Antiga

Pitágoras (c. 569-475 aC) e seus seguidores, os pitagóricos, sustentavam que “todas as coisas são números”. Eles observaram as harmonias produzidas pelas notas musicais com relações de frequência específicas relacionadas a números inteiros pequenos e argumentaram que os edifícios também deveriam ser projetados com tais proporções. A palavra grega simetria denotava originalmente a harmonia das formas arquitetônicas em proporções precisas, variando desde os menores detalhes de um edifício até todo o seu projeto.[12]​.

O Partenon mede 69,5 metros (228 pés) de comprimento, 30,9 metros (101,4 pés) de largura e 13,7 metros (44,9 pés) de altura até a cornija. Isso fornece uma proporção de largura para comprimento de 4:9 e a mesma para altura e largura. Colocando essas três relações em sequência, temos que altura:largura:comprimento estão nas proporções 16:36:81, ou para deleite dos pitagóricos 4:6:9, o que implica um módulo de 0,858 m. Um retângulo 4:9 pode ser construído como três retângulos adjacentes com lados na proporção de 3:4. Cada meio retângulo é então um triângulo retângulo com lados na proporção 3:4:5, o que permite que os ângulos e lados sejam verificados com uma corda devidamente amarrada. A área interna (naos) também tem proporções de 4:9 (21,44 metros (70,3 pés) de largura por 48,3 m de comprimento); A relação entre o diâmetro das colunas externas, 1.905 metros (6,3 pés), e o espaçamento de seus centros, 4.293 metros (14,1 pés), também é de 4:9.[12]​.

O Partenon é considerado por autores como John Julius Norwich "o templo dórico mais perfeito já construído."[70] Seus elaborados refinamentos arquitetônicos incluem "uma correspondência sutil entre a curvatura do estilóbato, o afilamento das paredes naos e a entasis das colunas."[70]​ O termo entasis refere-se à diminuição sutil no diâmetro das colunas à medida que elas sobem. O estilóbato é a plataforma sobre a qual repousam as colunas. Como em outros templos gregos clássicos,[71] a plataforma tem uma ligeira curvatura parabólica ascendente para evacuar a água da chuva e reforçar o edifício contra terremotos. As colunas poderiam, portanto, supostamente inclinar-se para fora, mas na realidade inclinam-se ligeiramente para dentro, de modo que, se fossem estendidas, ficariam cerca de um quilômetro e meio acima do centro do edifício; Como todas as colunas têm a mesma altura, a curvatura da borda do estilóbato externo é transmitida à arquitrave e ao telhado superior: “todas seguem a regra de serem construídas com curvas delicadas”.

A proporção áurea era conhecida em 300 AC. C., quando Euclides descreveu o método de sua construção geométrica.[73] Argumenta-se que a proporção áurea foi usada no design do Partenon e de outros edifícios gregos antigos, bem como em esculturas, pinturas e vasos.[74] Autores mais recentes, como Nikos Salingaros, no entanto, duvidam de todas estas afirmações.[75] Experimentos do cientista da computação George Markowsky não conseguiram encontrar qualquer preferência pelo retângulo. dourado.[76]​.

Arquitetura islâmica

O historiador de arte islâmica Antonio Fernández-Puertas sugere que a Alhambra, assim como a Mesquita-Catedral de Córdoba,[77]​ foi projetada usando o pé andaluz ou cúbito de aproximadamente 0,62 metros (2 pés). Na Pátio dos Leões do palácio, as proporções seguem uma série de surd (raízes quadradas). Um retângulo com lados 1 e possui (pelo teorema de Pitágoras) uma diagonal de , que descreve o triângulo retângulo formado pelos lados do pátio; esta série continua com (dando uma proporção de 1:2) e assim por diante. Os padrões decorativos têm proporções semelhantes, geram quadrados dentro de círculos e estrelas de oito pontas, geram estrelas de seis pontas. Não há evidências que apoiem afirmações anteriores de que a proporção áurea foi usada na Alhambra.[10][78]​ O Pátio dos Leões é delimitado pelo Salão das Duas Irmãs e pelo Salão dos Abencerrajes. Um hexágono regular pode ser desenhado a partir dos centros dessas duas salas e dos quatro cantos internos da Pátio dos Leões.[79]​.

A Mesquita Selim em Edirne, Turquia, foi construída por Sinan para fornecer um espaço onde o mihrab pudesse ser visto de qualquer lugar dentro do edifício. O grande espaço central está disposto em forma de octógono, formado por oito enormes pilares e encimado por uma cúpula circular de 31,25 metros (102,5 pés) de diâmetro e 43 metros (141,1 pés) de altura. O octógono é formado por um quadrado com quatro semicúpulas e externamente por quatro minaretes excepcionalmente altos, de 83 metros (272,3 pés) de altura. A planta do edifício é, portanto, um círculo, dentro de um octógono, dentro de um quadrado.[80]​.

Arquitetura mogol

A arquitetura Mughal, como vista na cidade imperial abandonada de Fatehpur Sikri e no complexo do Taj Mahal, tem uma ordem matemática distinta e uma estética fortemente baseada na simetria e na harmonia.[11][81]​.

O Taj Mahal exemplifica a arquitetura mogol, representando o paraíso[82] e exibindo o poder do imperador mogol Shah Jahan através de sua escala, simetria e decoração suntuosa. O mármore branco do mausoléu, decorado com pedras semipreciosas, o grande portão (Darwaza-i rauza), outros edifícios, os jardins e os caminhos, juntos formam um desenho hierárquico unificado. Os edifícios incluem uma mesquita em arenito vermelho a oeste, e um edifício quase idêntico, o Jawab ou 'resposta' a leste para manter a simetria bilateral do complexo. O chahar bagh ('jardim quádruplo') é dividido em quatro partes, simbolizando os quatro rios do paraíso e oferecendo vistas e reflexos do mausoléu, e é por sua vez dividido em 16 canteiros de flores.

O complexo do Taj Mahal foi disposto em uma grade, subdividida em grades menores. Os historiadores da arquitetura Koch e Barraud concordam com os relatos tradicionais que dão a largura do complexo como 374 jardas Mughal ou gaz "Gaz (medida)"),[84]​ sendo a área principal composta por três quadrados de 374 gaz de cada lado. Cada um foi subdividido em áreas como o bazar e o caravançarai em módulos de 17 gaz; O jardim e terraços são em 23 módulos de gás e têm 368 gás de largura (16x23). O mausoléu, a mesquita e a casa de hóspedes estão dispostos em uma grade 7gaz. Koch e Barraud observam que se um octógono, usado repetidamente no complexo, tiver lados de 7 unidades, então ele terá uma largura de 17 unidades,[85]​ o que pode ajudar a explicar a escolha das proporções no complexo.[86]​.

Arquitetura cristã

A Hagia Sophia em Bizâncio (hoje Istambul) foi construída em 537 como sede do Patriarca de Constantinopla. Reconstruído duas vezes, manteve o título de maior templo cristão já construído em mais de mil anos. Inspirou muitos edifícios posteriores, incluindo a Mesquita Azul e outras mesquitas na cidade do Bósforo. O traçado da sua arquitetura bizantina original inclui uma nave encimada por uma cúpula circular e duas semicúpulas, todas do mesmo diâmetro (31 metros (101,7 pés)), com outras cinco semicúpulas menores formando uma abside e quatro cantos arredondados delimitando um vasto interior retangular. Esta configuração foi interpretada pelos arquitetos medievais como uma representação do submundo na parte inferior (a base quadrada) e dos céus divinos situados acima (a cúpula esférica elevada). O imperador Justiniano teve dois geômetras como arquitetos, Isidoro de Mileto e Antêmio de Trales. Isidoro compilou os trabalhos de Arquimedes sobre a geometria do espaço, recebendo a influência do matemático grego.[12]​[90]​.

A importância da água no cristianismo no rito batismal refletiu-se na escala da arquitetura dos batistérios. O mais antigo, o Batistério de Latrão em Roma, construído em 440,[91] marcou a tendência de projetar edifícios octogonais. Na verdade, a pia batismal localizada nestes edifícios era muitas vezes octogonal, embora no Batistério de Pisa, o maior da Itália (construído entre 1152 e 1363), seja circular, embora tenha uma fonte octogonal. Tem 54,86 metros (180 pés) de altura e um diâmetro de 34,13 metros (112 pés) (uma proporção de 8:5). Ambrósio de Milão escreveu que as fontes e batistérios eram octogonais "porque no oitavo dia,[94]​ ao ressuscitar dos mortos, Cristo acaba com a escravidão da morte e recebe os mortos de seus túmulos."[93]​[95]​.

Santo Agostinho descreveu de forma semelhante o oitavo dia como "eterno... santificado pela ressurreição de Cristo".[95]​[96]​ O Batistério de São João (Florença) (construído entre 1059 e 1128) também é octogonal. É um dos edifícios mais antigos da cidade e um dos últimos na tradição direta da antiguidade clássica. Tornou-se um exemplo extremamente influente no final do Renascimento florentino, à medida que arquitetos importantes, incluindo Francesco Talenti, Alberti e Brunelleschi, o usaram como modelo para a arquitetura clássica.

O número cinco é usado "exuberantemente" na Igreja de Peregrinação de São João de Nepomuk em Zelená (construída em 1721), perto de Žďár nad Sázavou, na República Tcheca, projetada por Jan Blažej Santini Aichel. A nave é circular, rodeada por cinco pares de colunas e cinco cúpulas ovais que se alternam com ábsides pontiagudas. Além disso, a igreja possui cinco portas, cinco capelas, cinco altares e cinco estrelas; Uma lenda afirma que quando João Nepomuceno foi martirizado, cinco estrelas apareceram acima de sua cabeça.[98][99] A repetição de grupos de cinco elementos também pode simbolizar as cinco chagas de Jesus Cristo e as cinco letras de "Tacui" (latim: "guardei silêncio" sobre os segredos do [confessional]).[100]​.

Decoração arquitetônica islâmica

Os edifícios islâmicos são frequentemente decorados com padrões geométricos, que geralmente utilizam vários mosaicos matemáticos, formados por azulejos cerâmicos (chamados zellige, e cujo estilo é conhecido como girih) que podem ser lisos ou decorados com listras.[12] Simetrias, como estrelas com seis, oito ou múltiplos de oito pontas, são usadas em padrões de decoração islâmica. Alguns deles são baseados no motivo do selo de 'Khatem Sulemani' ou Salomão, que é uma estrela de oito pontas formada por dois quadrados, um girado 45 graus em relação ao outro e com o mesmo centro. Os padrões islâmicos exploram muitos dos 17 grupos de papéis de parede possíveis. Já em 1944, Edith Müller demonstrou que a Alhambra fazia uso de 11 destes grupos nas suas decorações, enquanto em 1986 Branko Grünbaum afirmou ter encontrado até 13 grupos na Alhambra, afirmando de forma controversa que os restantes quatro grupos (até um total de 17) não são encontrados em nenhum lugar na ornamentação islâmica.

Decoração arquitetônica moderna

No final do século, os arquitetos recorreram a novas construções matemáticas, como a geometria fractal e o mosaico aperiódico, a fim de obter coberturas novas e atraentes para os seus edifícios. Em 1913, o arquiteto modernista Adolf Loos declarou que "Ornamento é um crime", influenciando o pensamento arquitetônico pelo resto do século. No século XX, os arquitetos voltam a explorar o uso da ornamentação, que se tornou um elemento extremamente diversificado. O edifício Harpa "Harpa (Reykjavík)"), construído em Reykjavík em 2011 por Henning Larsen, inclui o que parece ser uma parede de cristal de rocha composta por grandes blocos de vidro. Um edifício londrino, Ravensbourne College, do escritório Foreign Office Architects (2010), é decorativomente tesselado com 28.000 telhas de alumínio anodizado em vermelho, branco e marrom, dando lugar a janelas circulares interligadas de diferentes tamanhos. A tesselação usa três tipos de mosaicos, um triângulo equilátero e dois pentágonos irregulares.[114]​[115]​[116]​ A Biblioteca Umimirai em Kanazawa, projetada por Kazumi Kudo, cria uma grade decorativa feita de pequenos blocos circulares de vidro colocados em paredes lisas de concreto.[113]​.

Europa

A arquitetura das fortificações evoluiu desde o castelo medieval (defendido por altos muros de alvenaria), até ao conceito do chamado traço italiano (concebido com base em fossos e muros baixos e simétricos, capazes de resistir aos bombardeamentos de artilharia), ideia desenvolvida entre meados do século e o século XIX. A geometria das formas das estrelas foi ditada pela necessidade de evitar zonas mortas onde a infantaria atacante pudesse proteger-se do fogo defensivo; os lados dos pontos salientes foram angulados para permitir que o fogo varresse o solo e fornecesse fogo cruzado (de ambos os lados) além de cada ponto saliente. Entre os arquitetos conhecidos que em algum momento projetaram tais defesas estão Michelangelo, Baldassarre Peruzzi, Vincenzo Scamozzi e Vauban.[117]​[118]​.

O historiador da arquitetura Sigfried Giedion argumentou que a fortificação em forma de estrela teve uma influência formativa no padrão renascentista da cidade ideal: "A Renascença foi hipnotizada por um tipo de cidade que durante um século e meio, de Filarete a Scamozzi, foi gravada em todos os esquemas utópicos: este esquema é a cidade em forma de estrela."

China

Na arquitetura chinesa, os tulou de Fujian, com alguns exemplares que datam do século XVII, são estruturas defensivas comunitárias circulares com paredes lisas e uma única porta de madeira revestida de ferro. As paredes são rematadas por telhados que se inclinam suavemente para fora e para dentro, formando um anel. O centro do círculo é um pátio aberto de paralelepípedos, muitas vezes com um poço, cercado por galerias de madeira de até cinco andares de altura.

Os arquitetos também podem selecionar a forma de um edifício para atender a alguns objetivos ambientais.[98] Por exemplo, Foster and Partners projetou o arranha-céu em 30 St Mary Axe em Londres, conhecido como "The Gherkin" por seu formato semelhante ao de um pepino. O edifício é um sólido de revolução concebido através de um design paramétrico. Sua geometria não foi escolhida apenas por razões puramente estéticas, mas também para minimizar as correntes de ar parasitas que poderiam se formar em sua base. Apesar da superfície aparentemente curva do edifício, todos os painéis de vidro que compõem a sua cobertura são planos, exceto a cobertura superior. A maioria dos painéis são quadriláteros, pois podem ser obtidos a partir de vidros retangulares com menos desperdício do que os painéis triangulares.[1]​.

O tradicional yakhchal (poço de gelo) da Pérsia funciona como um sistema de resfriamento evaporativo. Acima do solo, a estrutura tem formato de cúpula, mas possui espaço subterrâneo para armazenamento de gelo e, às vezes, também de alimentos. O espaço subterrâneo e a construção espessa e resistente ao calor isolam o espaço de armazenamento durante todo o ano. O espaço interno é frequentemente resfriado ainda mais pela captura do vento. O gelo estava disponível no verão para fazer a sobremesa congelada conhecida como faloodeh.[121]​.

Os arquitetos Michael Ostwald e Kim Williams ("Kim Williams (arquiteto)"), considerando as relações entre arquitetura e matemática, apontam que ambos os campos, como comumente entendidos, podem parecer vagamente conectados, uma vez que a arquitetura é uma profissão que lida com a questão prática de projetar e construir edifícios, enquanto a matemática é o puro estudo de números e outros objetos abstratos. No entanto, argumentam eles, ambas as disciplinas estão fortemente conectadas, e assim têm sido desde a antiguidade clássica.

Na Roma antiga, Vitrúvio descreveu um arquiteto como um homem que conhecia o suficiente de uma variedade de outras disciplinas, principalmente geometria, para lhe permitir supervisionar artesãos qualificados em todas as outras áreas necessárias, como pedreiros e carpinteiros. O mesmo se aplicava à Idade Média, quando arquitectos com formação universitária aprendiam aritmética, geometria e estética juntamente com o currículo básico de gramática, lógica e retórica (as artes liberais) em elegantes salas de aula construídas por mestres construtores que tinham orientado muitos artesãos. Um mestre construtor no auge de sua profissão recebia o título de arquiteto ou engenheiro. Na Renascença, as artes liberais (aritmética, geometria, música e astronomia) tornaram-se um programa extra de polímatas como Leon Battista Alberti. Da mesma forma, na Inglaterra, Sir Christopher Wren, hoje conhecido como arquiteto, foi primeiro um notável astrônomo.[3]​.

Williams e Ostwald, revisando a interação entre matemática e arquitetura desde 1500 segundo a abordagem do sociólogo alemão Theodor Adorno, identificam três tendências entre os arquitetos, a saber: ser “revolucionário”, introduzindo ideias completamente novas; ser “reacionário”, não introduzindo mudanças; ou ser revivalista "Revivalismo (arquitetura)"), inspirando-se em estilos do passado. Eles argumentam que os arquitetos evitaram buscar inspiração na matemática em retrospectiva, o que explicaria por que em períodos revivalistas, como a arquitetura neogótica na Inglaterra do século XIX, a arquitetura tinha pouca ligação com a matemática. Da mesma forma, salientam que em períodos reacionários como o maneirismo italiano, por volta de 1520 a 1580, ou os movimentos barroco e palladiano do século XIX, a matemática dificilmente foi levada em consideração. Em contraste, os movimentos revolucionários da virada do século, como o futurismo e o construtivismo, rejeitaram ativamente ideias antigas, adotando a matemática como base conceitual e levando à arquitetura moderna o "Modernismo (movimento filosófico e cultural)"). Também no final do século, os arquitetos rapidamente aproveitaram a geometria fractal, bem como os mosaicos aperiódicos, para fornecer aos edifícios revestimentos atraentes.[4]​.

Os arquitetos usam a matemática por vários motivos, deixando de lado o uso necessário da matemática na engenharia de construção. "Proporção (arquitetura)") de acordo com princípios matemáticos, estéticos e, às vezes, religiosos. a estrutura de edifícios altos.[1]​.

Roma Antiga

Vitrúvio, o influente arquiteto da Roma antiga, argumentou que o projeto de um edifício como um templo depende de duas qualidades, proporção e simetria. A proporção garante que cada parte de um edifício se relacione harmoniosamente com todas as outras. simetria, segundo Vitrúvio, significa algo mais próximo da modularidade do que da simetria do espelho, já que o conceito diz respeito à montagem das peças (módulos) em relação a todo o edifício. Na sua Basílica de Fano, ele usa proporções de pequenos inteiros, especialmente números triangulares (1, 3, 6, 10, ...) para dotar a estrutura da chamada modulação vitruviana.[16]​ Portanto, a relação entre a largura e o comprimento da Basílica é de 1:2; o corredor ao redor é tão alto quanto largo, 1:1; as colunas têm um metro e meio de espessura e quinze metros de altura, 1:10.[9]​.

Vitrúvio mencionou três qualidades fundamentais da arquitetura em sua obra De arquiteto (c. 15 aC): firmeza, utilidade e beleza, frase que se tornaria famosa. Esses três princípios podem ser usados ​​como categorias para classificar as formas como a matemática é usada na arquitetura. A firmeza abrange o uso da matemática para garantir que um edifício permaneça de pé, daí as ferramentas matemáticas utilizadas no projeto e na fundação da construção, por exemplo, para garantir a estabilidade e o comportamento da estrutura. A utilidade deriva em parte da aplicação eficaz da matemática, do raciocínio e da análise de relações espaciais e outras relações em um projeto. A beleza é um atributo do edifício resultante, produto da incorporação de relações matemáticas nas proporções do edifício; inclui qualidades estéticas, sensíveis e intelectuais.[17]​.

O Panteão de Roma sobreviveu intacto, ilustrando a estrutura, proporção e decoração romana clássica. A estrutura principal é uma cúpula cuja coroa foi deixada aberta como um óculo circular para deixar entrar a luz. Possui colunata curta, encimada por frontão triangular. A altura do óculo e o diâmetro do círculo interno são iguais, 43,3 metros (142,1 pés), então todo o interior caberia exatamente dentro de um cubo, e o interior poderia conter uma esfera do mesmo diâmetro. Estas dimensões fazem mais sentido quando expressas em medidas romanas antigas: a cúpula atinge 150 pés romanos de diâmetro;[19] o óculo mede 30 pés romanos de diâmetro; e a entrada tem 12 metros romanos de altura.[20]​ O Panteão continua sendo a maior cúpula de concreto do mundo.[21]​.

Renascimento

O primeiro tratado renascentista sobre arquitetura, "De re aedificatoria" (Sobre a Arte de Construir) de Leon Battista Alberti, escrito em 1450, tornou-se o primeiro livro impresso sobre arquitetura em 1485. Foi baseado em parte no "De arquiteto" de Vitrúvio e, através de Nicomanus, na aritmética pitagórica. Alberti começa com um cubo, do qual deduz várias proporções. Assim, a diagonal de uma face dá a proporção 1:, enquanto o diâmetro da esfera que circunscreve o cubo dá 1:.[22]​[23]​ Também documentou a descoberta da perspectiva por Filippo Brunelleschi, desenvolvida para permitir o projeto de edifícios que pareceriam lindamente proporcionais quando vistos de uma distância adequada.[12]​.

O próximo texto importante foi "Regole generali d'architettura" (Regras Gerais de Arquitetura) de Sebastiano Serlio; o primeiro volume apareceu em Veneza em 1537; o volume de 1545 (livros 1 e 2) cobria geometria e perspectiva. Dois dos métodos de Serlio para construir perspectivas estavam incorretos, mas isso não impediu que seu trabalho fosse amplamente utilizado.[25]​.

Em 1570, Andrea Palladio publicou o influente "I quattro libri dell'architettura" (Os Quatro Livros de Arquitetura) em Veneza. Este livro amplamente impresso foi o grande responsável pela difusão das ideias do Renascimento italiano por toda a Europa, com a ajuda de alguns seguidores como o diplomata inglês Henry Wotton, com o seu texto de 1624 intitulado *"Os Elementos da Arquitetura".[26] As proporções de cada cômodo da villa foram calculadas em proporções matemáticas simples, como 3:4 e 4:5, e os diferentes cômodos da casa foram inter-relacionados por essas proporções. Arquitetos anteriores usaram essas fórmulas para equilibrar a fachada principal; No entanto, os projetos de Palladio referiam-se a toda a villa, geralmente quadrada. Palladio permitiu uma gama de proporções no Quattro libri, indicando que:[28]​[29]​.

Em 1615, Vincenzo Scamozzi publicou o tratado da Renascença tardio intitulado "L'idea dell'architettura universale" (A Idéia de uma Arquitetura Universal). Scamozzi tentou relacionar o desenho de cidades e edifícios com as ideias de Vitrúvio e dos Pitagóricos, e com as ideias mais recentes de Palladio.[32]

século 19

Vladimir Shukhov começou a usar hiperbolóides no final do século, projetando mastros, faróis e torres de resfriamento com esse formato. A sua configuração marcante é esteticamente interessante e forte, utilizando materiais estruturais de forma económica. A Torre Shukhov em Polybino, sua primeira estrutura hiperbólica, foi exibida em Nizhny Novgorod em 1896.[33]​[34]​[35]​.

século 20

O movimento do início do século chamado arquitetura moderna, pressagiado[37]​ pelo construtivismo russo "Construtivismo (arte)"),[36]​ usava geometria retilínea euclidiana (também chamada cartesiana). No movimento denominado De Stijl, a horizontal e a vertical eram consideradas elementos universais. A forma arquitetônica consiste em unir essas duas tendências direcionais, utilizando planos de telhado, planos de parede e varandas, que deslizam ou se cruzam, como na Casa Schröder de Gerrit Rietveld (1924).[38]​.

Os arquitetos modernistas eram livres para usar curvas e planos. A estação Arnos Grove do metrô de Londres, projetada por Charles Holden em 1933, possui um átrio circular de acesso em tijolos, com cobertura plana de concreto. e a espiral), como os supostos blocos básicos de construção da arquitetura inspirada na natureza.[40]​[41]​.

Le Corbusier propôs a antropometria como uma relação de escala "Escala (relação)") para estabelecer proporções na arquitetura. Ele desenvolveu o sistema chamado Modulor, baseado na altura estimada de um homem.[42]​ A Capela Notre Dame du Haut de Le Corbusier de 1955 usa curvas de forma livre, que não podem ser descritas com fórmulas matemáticas.[45]​ Diz-se que as curvas evocam formas naturais, como a proa de um navio ou mãos em oração.[46]​ A configuração só se aplica à escala maior: não há hierarquia de detalhes em escalas menores. e, portanto, não se incorpora uma dimensão fractal; O mesmo se aplica a outros edifícios famosos do século, como a Ópera de Sydney, o Aeroporto Internacional de Denver ou o Museu Guggenheim Bilbao.[43]​.

A arquitetura contemporânea, na opinião dos 90 principais arquitetos que responderam à World Architecture Survey organizada pela revista Vanity Fair "Vanity Fair (magazine)") em 2010, é extremamente diversificada, sendo o Museu Guggenheim de Frank Gehry em Bilbao o edifício mais bem avaliado.[47]​.

O edifício do terminal do Aeroporto Internacional de Denver, concluído em 1995, possui uma cobertura de chapa suspensa configurada como superfície mínima (ou seja, sua curvatura média é zero) por meio de cabos de aço. Evoca as montanhas cobertas de neve do Colorado e as tendas (tendas) dos nativos americanos.[48]​[49]​.

O arquiteto Richard Buckminster Fuller é famoso por projetar estruturas rígidas, conhecidas como cúpulas geodésicas. A cúpula da Biosphère de Montreal tem uma altura de 61 metros (200,1 pés) e seu diâmetro é de 76 metros (249,3 pés).[50]​.

A Sydney Opera House tem um telhado espetacular, composto por altas abóbadas brancas, que lembram velas de navios. Para serem construídos com componentes padronizados, eles foram compostos por seções triangulares de cascas esféricas de mesmo raio, projetadas com curvatura uniforme em todas as direções.[51]​.

O movimento desconstrutivista no final do século criou desordem deliberada através do que Nikos Salingaros chama de formas aleatórias em seu livro ,[52]​ empregando formas altamente complexas,[53]​ paredes não paralelas, grades sobrepostas e superfícies 2-D complexas, como no Walt Disney Concert Hall de Frank Gehry e no Museu Guggenheim em Bilbao.[54]​[55]​ Até o final do século, estudantes de a arquitetura precisava ter uma base matemática considerável. Salingaros sustenta que, primeiro o modernismo "excessivamente simplista e politicamente orientado" (Modernismo (movimento filosófico e cultural)) e depois o desconstrutivismo "anticientífico", significaram na prática a separação entre arquitetura e matemática. Ele acredita que esta “renúncia aos valores matemáticos” é prejudicial, uma vez que a “estética generalizada” da arquitetura não matemática acostuma as pessoas “a rejeitar a estruturação matemática no ambiente construído”; e argumenta que esta situação implica efeitos negativos na sociedade.[43]​.

Antigo Egito

As pirâmides "Pirâmide (arquitetura)") do antigo Egito são monumentos funerários construídos com proporções matemáticas, mas o que eram e se o teorema de Pitágoras foi usado é debatido. A relação entre a altura inclinada e metade do comprimento da base da Grande Pirâmide de Gizé difere em aproximadamente 1% da proporção áurea. foi baseado em um triângulo com uma razão entre base e hipotenusa de 1:4/π (ângulo de face 51° 50').[59]​.

As proporções de algumas pirâmides também podem ter sido baseadas no triângulo 3:4:5 (ângulo da face 53° 8'), conhecido no papiro Ahmes (c. 1650-1550 aC). Esta possibilidade foi conjecturada pela primeira vez pelo historiador Moritz Cantor em 1882.[60] Sabe-se que os ângulos retos foram desenhados com precisão no antigo Egito usando cordas com nós para medição,[60] o que Plutarco registrou em sua obra Ísis e Osíris "Moralia (Obras de Moral e Costumes)") (c. 100 DC), indicando que os egípcios admiravam o triângulo 3:4:5.[60]​ Além disso, um pergaminho de antes de 1700 AC. C. inclui fórmulas básicas para somas de quadrados "Quadrado (álgebra)". C. na verdade menciona o uso do teorema para encontrar o comprimento dos lados de um triângulo e que existem maneiras mais simples de construir um ângulo reto. Cooke conclui que a conjectura de Cantor permanece incerta; Ele assume que os antigos egípcios provavelmente conheciam o teorema de Pitágoras, mas “não há evidências de que o tenham usado para construir ângulos retos”.

Índia antiga

O vastu shastra, os antigos cânones indianos de arquitetura e planejamento urbano, usam desenhos simétricos chamados mandalas. Para chegar às dimensões de um edifício e seus componentes, são utilizados cálculos complexos, e os projetos pretendem integrar a arquitetura com a natureza, de modo que as funções relativas de várias partes da estrutura estejam relacionadas com crenças tradicionais que envolvem o uso de certos padrões geométricos (yantra), condições de simetria e orientação direcional.[63]​[64]​ No entanto, os primeiros construtores podem ter encontrado proporções matemáticas por acidente. O matemático Georges Ifrah observa que "truques" simples com cordas e estacas podem ser usados ​​para projetar formas geométricas, como elipses e ângulos retos.[12]​[65]​.

A matemática dos fractais tem sido usada para demonstrar que a razão pela qual os edifícios existentes têm apelo universal e são visualmente satisfatórios é porque dão ao observador uma sensação de escala em diferentes distâncias de visualização. Por exemplo, nas altas torres chamadas gopurams que dão entrada aos templos hindus, como o Templo Virupaksha "Templo Virupaksha (Hampi)") em Hampi construído no século XIX, e outros como o Templo Kandariya Mahadev em Khajuraho, as partes e o todo têm o mesmo caráter, com dimensão fractal na faixa de 1,7 a 1,8. O grupo de torres menores ("shikhara", literalmente "montanha") ao redor da torre central mais alta que representa o sagrado Monte Kailash, morada do Senhor Shiva, representa a repetição infinita de universos na cosmologia hindu.[2]​[66]​ O estudioso de estudos religiosos William J. Jackson comentou sobre o padrão de torres agrupadas entre torres menores, agrupadas entre torres ainda menores:

O Templo Meenakshi Amman é um grande complexo com vários santuários, com as ruas de Madurai dispostas concentricamente ao seu redor de acordo com os shastras. Os quatro portões de entrada são torres altas (gopurams) com uma estrutura repetitiva semelhante a um fractal, como em Hampi. Os recintos ao redor de cada santuário são retangulares e cercados por altos muros de pedra.[68]​.

Grécia Antiga

Pitágoras (c. 569-475 aC) e seus seguidores, os pitagóricos, sustentavam que “todas as coisas são números”. Eles observaram as harmonias produzidas pelas notas musicais com relações de frequência específicas relacionadas a números inteiros pequenos e argumentaram que os edifícios também deveriam ser projetados com tais proporções. A palavra grega simetria denotava originalmente a harmonia das formas arquitetônicas em proporções precisas, variando desde os menores detalhes de um edifício até todo o seu projeto.[12]​.

O Partenon mede 69,5 metros (228 pés) de comprimento, 30,9 metros (101,4 pés) de largura e 13,7 metros (44,9 pés) de altura até a cornija. Isso fornece uma proporção de largura para comprimento de 4:9 e a mesma para altura e largura. Colocando essas três relações em sequência, temos que altura:largura:comprimento estão nas proporções 16:36:81, ou para deleite dos pitagóricos 4:6:9, o que implica um módulo de 0,858 m. Um retângulo 4:9 pode ser construído como três retângulos adjacentes com lados na proporção de 3:4. Cada meio retângulo é então um triângulo retângulo com lados na proporção 3:4:5, o que permite que os ângulos e lados sejam verificados com uma corda devidamente amarrada. A área interna (naos) também tem proporções de 4:9 (21,44 metros (70,3 pés) de largura por 48,3 m de comprimento); A relação entre o diâmetro das colunas externas, 1.905 metros (6,3 pés), e o espaçamento de seus centros, 4.293 metros (14,1 pés), também é de 4:9.[12]​.

O Partenon é considerado por autores como John Julius Norwich "o templo dórico mais perfeito já construído."[70] Seus elaborados refinamentos arquitetônicos incluem "uma correspondência sutil entre a curvatura do estilóbato, o afilamento das paredes naos e a entasis das colunas."[70]​ O termo entasis refere-se à diminuição sutil no diâmetro das colunas à medida que elas sobem. O estilóbato é a plataforma sobre a qual repousam as colunas. Como em outros templos gregos clássicos,[71] a plataforma tem uma ligeira curvatura parabólica ascendente para evacuar a água da chuva e reforçar o edifício contra terremotos. As colunas poderiam, portanto, supostamente inclinar-se para fora, mas na realidade inclinam-se ligeiramente para dentro, de modo que, se fossem estendidas, ficariam cerca de um quilômetro e meio acima do centro do edifício; Como todas as colunas têm a mesma altura, a curvatura da borda do estilóbato externo é transmitida à arquitrave e ao telhado superior: “todas seguem a regra de serem construídas com curvas delicadas”.

A proporção áurea era conhecida em 300 AC. C., quando Euclides descreveu o método de sua construção geométrica.[73] Argumenta-se que a proporção áurea foi usada no design do Partenon e de outros edifícios gregos antigos, bem como em esculturas, pinturas e vasos.[74] Autores mais recentes, como Nikos Salingaros, no entanto, duvidam de todas estas afirmações.[75] Experimentos do cientista da computação George Markowsky não conseguiram encontrar qualquer preferência pelo retângulo. dourado.[76]​.

Arquitetura islâmica

O historiador de arte islâmica Antonio Fernández-Puertas sugere que a Alhambra, assim como a Mesquita-Catedral de Córdoba,[77]​ foi projetada usando o pé andaluz ou cúbito de aproximadamente 0,62 metros (2 pés). Na Pátio dos Leões do palácio, as proporções seguem uma série de surd (raízes quadradas). Um retângulo com lados 1 e possui (pelo teorema de Pitágoras) uma diagonal de , que descreve o triângulo retângulo formado pelos lados do pátio; esta série continua com (dando uma proporção de 1:2) e assim por diante. Os padrões decorativos têm proporções semelhantes, geram quadrados dentro de círculos e estrelas de oito pontas, geram estrelas de seis pontas. Não há evidências que apoiem afirmações anteriores de que a proporção áurea foi usada na Alhambra.[10][78]​ O Pátio dos Leões é delimitado pelo Salão das Duas Irmãs e pelo Salão dos Abencerrajes. Um hexágono regular pode ser desenhado a partir dos centros dessas duas salas e dos quatro cantos internos da Pátio dos Leões.[79]​.

A Mesquita Selim em Edirne, Turquia, foi construída por Sinan para fornecer um espaço onde o mihrab pudesse ser visto de qualquer lugar dentro do edifício. O grande espaço central está disposto em forma de octógono, formado por oito enormes pilares e encimado por uma cúpula circular de 31,25 metros (102,5 pés) de diâmetro e 43 metros (141,1 pés) de altura. O octógono é formado por um quadrado com quatro semicúpulas e externamente por quatro minaretes excepcionalmente altos, de 83 metros (272,3 pés) de altura. A planta do edifício é, portanto, um círculo, dentro de um octógono, dentro de um quadrado.[80]​.

Arquitetura mogol

A arquitetura Mughal, como vista na cidade imperial abandonada de Fatehpur Sikri e no complexo do Taj Mahal, tem uma ordem matemática distinta e uma estética fortemente baseada na simetria e na harmonia.[11][81]​.

O Taj Mahal exemplifica a arquitetura mogol, representando o paraíso[82] e exibindo o poder do imperador mogol Shah Jahan através de sua escala, simetria e decoração suntuosa. O mármore branco do mausoléu, decorado com pedras semipreciosas, o grande portão (Darwaza-i rauza), outros edifícios, os jardins e os caminhos, juntos formam um desenho hierárquico unificado. Os edifícios incluem uma mesquita em arenito vermelho a oeste, e um edifício quase idêntico, o Jawab ou 'resposta' a leste para manter a simetria bilateral do complexo. O chahar bagh ('jardim quádruplo') é dividido em quatro partes, simbolizando os quatro rios do paraíso e oferecendo vistas e reflexos do mausoléu, e é por sua vez dividido em 16 canteiros de flores.

O complexo do Taj Mahal foi disposto em uma grade, subdividida em grades menores. Os historiadores da arquitetura Koch e Barraud concordam com os relatos tradicionais que dão a largura do complexo como 374 jardas Mughal ou gaz "Gaz (medida)"),[84]​ sendo a área principal composta por três quadrados de 374 gaz de cada lado. Cada um foi subdividido em áreas como o bazar e o caravançarai em módulos de 17 gaz; O jardim e terraços são em 23 módulos de gás e têm 368 gás de largura (16x23). O mausoléu, a mesquita e a casa de hóspedes estão dispostos em uma grade 7gaz. Koch e Barraud observam que se um octógono, usado repetidamente no complexo, tiver lados de 7 unidades, então ele terá uma largura de 17 unidades,[85]​ o que pode ajudar a explicar a escolha das proporções no complexo.[86]​.

Arquitetura cristã

A Hagia Sophia em Bizâncio (hoje Istambul) foi construída em 537 como sede do Patriarca de Constantinopla. Reconstruído duas vezes, manteve o título de maior templo cristão já construído em mais de mil anos. Inspirou muitos edifícios posteriores, incluindo a Mesquita Azul e outras mesquitas na cidade do Bósforo. O traçado da sua arquitetura bizantina original inclui uma nave encimada por uma cúpula circular e duas semicúpulas, todas do mesmo diâmetro (31 metros (101,7 pés)), com outras cinco semicúpulas menores formando uma abside e quatro cantos arredondados delimitando um vasto interior retangular. Esta configuração foi interpretada pelos arquitetos medievais como uma representação do submundo na parte inferior (a base quadrada) e dos céus divinos situados acima (a cúpula esférica elevada). O imperador Justiniano teve dois geômetras como arquitetos, Isidoro de Mileto e Antêmio de Trales. Isidoro compilou os trabalhos de Arquimedes sobre a geometria do espaço, recebendo a influência do matemático grego.[12]​[90]​.

A importância da água no cristianismo no rito batismal refletiu-se na escala da arquitetura dos batistérios. O mais antigo, o Batistério de Latrão em Roma, construído em 440,[91] marcou a tendência de projetar edifícios octogonais. Na verdade, a pia batismal localizada nestes edifícios era muitas vezes octogonal, embora no Batistério de Pisa, o maior da Itália (construído entre 1152 e 1363), seja circular, embora tenha uma fonte octogonal. Tem 54,86 metros (180 pés) de altura e um diâmetro de 34,13 metros (112 pés) (uma proporção de 8:5). Ambrósio de Milão escreveu que as fontes e batistérios eram octogonais "porque no oitavo dia,[94]​ ao ressuscitar dos mortos, Cristo acaba com a escravidão da morte e recebe os mortos de seus túmulos."[93]​[95]​.

Santo Agostinho descreveu de forma semelhante o oitavo dia como "eterno... santificado pela ressurreição de Cristo".[95]​[96]​ O Batistério de São João (Florença) (construído entre 1059 e 1128) também é octogonal. É um dos edifícios mais antigos da cidade e um dos últimos na tradição direta da antiguidade clássica. Tornou-se um exemplo extremamente influente no final do Renascimento florentino, à medida que arquitetos importantes, incluindo Francesco Talenti, Alberti e Brunelleschi, o usaram como modelo para a arquitetura clássica.

O número cinco é usado "exuberantemente" na Igreja de Peregrinação de São João de Nepomuk em Zelená (construída em 1721), perto de Žďár nad Sázavou, na República Tcheca, projetada por Jan Blažej Santini Aichel. A nave é circular, rodeada por cinco pares de colunas e cinco cúpulas ovais que se alternam com ábsides pontiagudas. Além disso, a igreja possui cinco portas, cinco capelas, cinco altares e cinco estrelas; Uma lenda afirma que quando João Nepomuceno foi martirizado, cinco estrelas apareceram acima de sua cabeça.[98][99] A repetição de grupos de cinco elementos também pode simbolizar as cinco chagas de Jesus Cristo e as cinco letras de "Tacui" (latim: "guardei silêncio" sobre os segredos do [confessional]).[100]​.

Decoração arquitetônica islâmica

Os edifícios islâmicos são frequentemente decorados com padrões geométricos, que geralmente utilizam vários mosaicos matemáticos, formados por azulejos cerâmicos (chamados zellige, e cujo estilo é conhecido como girih) que podem ser lisos ou decorados com listras.[12] Simetrias, como estrelas com seis, oito ou múltiplos de oito pontas, são usadas em padrões de decoração islâmica. Alguns deles são baseados no motivo do selo de 'Khatem Sulemani' ou Salomão, que é uma estrela de oito pontas formada por dois quadrados, um girado 45 graus em relação ao outro e com o mesmo centro. Os padrões islâmicos exploram muitos dos 17 grupos de papéis de parede possíveis. Já em 1944, Edith Müller demonstrou que a Alhambra fazia uso de 11 destes grupos nas suas decorações, enquanto em 1986 Branko Grünbaum afirmou ter encontrado até 13 grupos na Alhambra, afirmando de forma controversa que os restantes quatro grupos (até um total de 17) não são encontrados em nenhum lugar na ornamentação islâmica.

Decoração arquitetônica moderna

No final do século, os arquitetos recorreram a novas construções matemáticas, como a geometria fractal e o mosaico aperiódico, a fim de obter coberturas novas e atraentes para os seus edifícios. Em 1913, o arquiteto modernista Adolf Loos declarou que "Ornamento é um crime", influenciando o pensamento arquitetônico pelo resto do século. No século XX, os arquitetos voltam a explorar o uso da ornamentação, que se tornou um elemento extremamente diversificado. O edifício Harpa "Harpa (Reykjavík)"), construído em Reykjavík em 2011 por Henning Larsen, inclui o que parece ser uma parede de cristal de rocha composta por grandes blocos de vidro. Um edifício londrino, Ravensbourne College, do escritório Foreign Office Architects (2010), é decorativomente tesselado com 28.000 telhas de alumínio anodizado em vermelho, branco e marrom, dando lugar a janelas circulares interligadas de diferentes tamanhos. A tesselação usa três tipos de mosaicos, um triângulo equilátero e dois pentágonos irregulares.[114]​[115]​[116]​ A Biblioteca Umimirai em Kanazawa, projetada por Kazumi Kudo, cria uma grade decorativa feita de pequenos blocos circulares de vidro colocados em paredes lisas de concreto.[113]​.

Europa

A arquitetura das fortificações evoluiu desde o castelo medieval (defendido por altos muros de alvenaria), até ao conceito do chamado traço italiano (concebido com base em fossos e muros baixos e simétricos, capazes de resistir aos bombardeamentos de artilharia), ideia desenvolvida entre meados do século e o século XIX. A geometria das formas das estrelas foi ditada pela necessidade de evitar zonas mortas onde a infantaria atacante pudesse proteger-se do fogo defensivo; os lados dos pontos salientes foram angulados para permitir que o fogo varresse o solo e fornecesse fogo cruzado (de ambos os lados) além de cada ponto saliente. Entre os arquitetos conhecidos que em algum momento projetaram tais defesas estão Michelangelo, Baldassarre Peruzzi, Vincenzo Scamozzi e Vauban.[117]​[118]​.

O historiador da arquitetura Sigfried Giedion argumentou que a fortificação em forma de estrela teve uma influência formativa no padrão renascentista da cidade ideal: "A Renascença foi hipnotizada por um tipo de cidade que durante um século e meio, de Filarete a Scamozzi, foi gravada em todos os esquemas utópicos: este esquema é a cidade em forma de estrela."

China

Na arquitetura chinesa, os tulou de Fujian, com alguns exemplares que datam do século XVII, são estruturas defensivas comunitárias circulares com paredes lisas e uma única porta de madeira revestida de ferro. As paredes são rematadas por telhados que se inclinam suavemente para fora e para dentro, formando um anel. O centro do círculo é um pátio aberto de paralelepípedos, muitas vezes com um poço, cercado por galerias de madeira de até cinco andares de altura.

Os arquitetos também podem selecionar a forma de um edifício para atender a alguns objetivos ambientais.[98] Por exemplo, Foster and Partners projetou o arranha-céu em 30 St Mary Axe em Londres, conhecido como "The Gherkin" por seu formato semelhante ao de um pepino. O edifício é um sólido de revolução concebido através de um design paramétrico. Sua geometria não foi escolhida apenas por razões puramente estéticas, mas também para minimizar as correntes de ar parasitas que poderiam se formar em sua base. Apesar da superfície aparentemente curva do edifício, todos os painéis de vidro que compõem a sua cobertura são planos, exceto a cobertura superior. A maioria dos painéis são quadriláteros, pois podem ser obtidos a partir de vidros retangulares com menos desperdício do que os painéis triangulares.[1]​.

O tradicional yakhchal (poço de gelo) da Pérsia funciona como um sistema de resfriamento evaporativo. Acima do solo, a estrutura tem formato de cúpula, mas possui espaço subterrâneo para armazenamento de gelo e, às vezes, também de alimentos. O espaço subterrâneo e a construção espessa e resistente ao calor isolam o espaço de armazenamento durante todo o ano. O espaço interno é frequentemente resfriado ainda mais pela captura do vento. O gelo estava disponível no verão para fazer a sobremesa congelada conhecida como faloodeh.[121]​.