Axiomas

En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después —cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo— originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.

En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.

Euclides adoptó un enfoque abstracto de la geometría en sus Elementos,[7]​ uno de los libros más influyentes jamás escritos.[8]​ Euclides introdujo ciertos axiomas o postulados que expresan propiedades primarias o evidentes de puntos, líneas y planos.[9]​ Procedió a deducir rigurosamente otras propiedades mediante el razonamiento matemático. El rasgo característico de la aproximación de Euclides a la geometría fue su rigor, y ha llegado a conocerse como geometría axiomática o sintética.[10]​ A principios del siglo , el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y otros[11]​ llevaron a un resurgimiento del interés por esta disciplina, y en el siglo , David Hilbert (1862–1943) empleó el razonamiento axiomático en un intento de proporcionar una base moderna de la geometría.[12]​.

Puntos

Los puntos "Punto (geometría)") se consideran objetos fundamentales en la geometría euclidiana. Se han definido de diversas formas, incluida la definición de Euclides como "aquello que no tiene parte" [13]​ y mediante el uso de álgebra o conjuntos anidados.[14]​ En muchas áreas de la geometría, como la geometría analítica, la geometría diferencial y la topología, se considera que todos los objetos se construyen a partir de puntos. Sin embargo, se ha realizado algún estudio de geometría sin referencia a puntos.[15]​.

Líneas

Euclides describió una línea como "longitud sin ancho" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma".[13]​ En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica, una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada,[16]​ pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia, una línea puede ser un objeto independiente, distinto del conjunto de puntos que se encuentran en él.[17]​ En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de línea a espacios curvos.[18]​.

Planos

Un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente.[13]​ Los planos se utilizan en todas las áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos se pueden estudiar como una superficie topológica sin hacer referencia a distancias o ángulos;[19]​ se puede estudiar como un espacio afín, donde se pueden estudiar la colinealidad y las proporciones pero no las distancias;[20]​ se puede estudiar como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo ;[21]​ y así sucesivamente.

Ángulos

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre sí.[13]​ En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos de luz, llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo.[22]​.

En la geometría euclidiana, los ángulos se utilizan para estudiar polígonos y triángulos, además de formar un objeto de estudio por derecho propio.[13]​ El estudio de los ángulos de un triángulo o de los ángulos en un círculo unitario forma la base de la trigonometría.[23]​.

En geometría diferencial y cálculo, los ángulos entre curvas planas o curvas espaciales o superficies se pueden calcular utilizando la derivada.[24]​[25]​.

Curvas

Una curva es un objeto unidimensional que puede ser recto (como una línea) o no; las curvas en el espacio bidimensional se denominan curvas planas y las del espacio tridimensional se denominan curvas espaciales.[26]​.

En topología, una curva se define mediante una función de un intervalo de los números reales a otro espacio.[19]​ En geometría diferencial, se usa la misma definición, pero se requiere que la función definitoria sea diferenciable.[27]​ La geometría algebraica estudia las curvas algebraicas, que se definen como variedades algebraicas de dimensión uno.[28]​.

Superficies

Una superficie es un objeto bidimensional, como una esfera o un paraboloide.[29]​ En geometría diferencial[27]​ y topología,[19]​ las superficies se describen mediante "parches" bidimensionales (o vecindades ) que se ensamblan mediante difeomorfismos u homeomorfismos, respectivamente. En geometría algebraica, las superficies se describen mediante ecuaciones polinómicas.[28]​.

Variedades

Una variedad "Variedad (matemáticas)") es una generalización de los conceptos de curva y superficie. En topología, una variedad es un espacio topológico donde cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio euclidiano.[19]​ En geometría diferencial, una variedad diferenciable es un espacio donde cada vecindario es difeomórfico al espacio euclidiano.[27]​.

Las variedades se utilizan ampliamente en física, incluida la relatividad general y la teoría de cuerdas.[30]​.

Longitud, área y volumen

La longitud, el área y el volumen describen el tamaño o la extensión de un objeto en una dimensión, dos dimensiones y tres dimensiones, respectivamente.[31]​.

En geometría euclidiana y geometría analítica, la longitud de un segmento de línea a menudo se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras.[32]​.

El área y el volumen pueden definirse como cantidades fundamentales separadas de la longitud, o pueden describirse y calcularse en términos de longitudes en un plano o espacio tridimensional.[31]​ Los matemáticos han encontrado muchas fórmulas explícitas para el área y fórmulas para el volumen de varios objetos geométricos. En cálculo, el área y el volumen se pueden definir en términos de integrales, como la integral de Riemann[33]​ o la integral de Lebesgue.[34]​.

Métricas y medidas

El concepto de longitud o distancia se puede generalizar, dando lugar a la idea de métricas.[35]​ Por ejemplo, la métrica euclidiana mide la distancia entre puntos en el plano euclidiano, mientras que la métrica hiperbólica mide la distancia en el plano hiperbólico. Otros ejemplos importantes de métricas incluyen la métrica de Lorentz de la relatividad especial y la métrica semirriemanniana de la relatividad general.[36]​.

En otra dirección, los conceptos de longitud, área y volumen se amplían con la teoría de la medida, que estudia métodos de asignación de un tamaño o medida a conjuntos, donde las medidas siguen reglas similares a las del área y volumen clásicos.[37]​.

Congruencia y similitud

La congruencia y la similitud son conceptos que describen cuando dos formas tienen características similares.[38]​ En la geometría euclidiana, la similitud se usa para describir objetos que tienen la misma forma, mientras que la congruencia se usa para describir objetos que son iguales tanto en tamaño como en forma.[39]​ Hilbert, en su trabajo sobre la creación de una base más rigurosa para la geometría, trató la congruencia como un término indefinido cuyas propiedades están definidas por axiomas.

La congruencia y la similitud se generalizan en la geometría de transformación, que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan mediante diferentes tipos de transformaciones.[40]​.

Construcciones con compás y regla

Los geómetras clásicos prestaron especial atención a la construcción de objetos geométricos que se habían descrito de alguna otra manera. Clásicamente, los únicos instrumentos permitidos en las construcciones geométricas son el compás "Compás (instrumento)") y la regla. Además, cada construcción tenía que completarse en un número finito de pasos. Sin embargo, algunos problemas resultaron difíciles o imposibles de resolver solo por estos medios, y se encontraron ingeniosas construcciones utilizando parábolas y otras curvas, así como dispositivos mecánicos.

Dimensión

Donde la geometría tradicional permitía las dimensiones de una línea de un plano y nuestro mundo ambiental concebido como un espacio tridimensional, los matemáticos y físicos han utilizado dimensiones superiores durante casi dos siglos.[41]​ Un ejemplo de uso matemático para dimensiones superiores es el espacio de configuración de un sistema físico, que tiene una dimensión igual a los grados de libertad del sistema. Por ejemplo, la configuración de un tornillo se puede describir mediante cinco coordenadas.[42]​.

En topología general, el concepto de dimensión se ha extendido desde los números naturales hasta la dimensión infinita (espacios de Hilbert, por ejemplo) y los números reales positivos (en geometría fractal).[43]​ En geometría algebraica, la dimensión de una variedad algebraica ha recibido varias definiciones aparentemente diferentes, que son todas equivalentes en los casos más comunes.[44]​.

Simetría

El tema de la simetría en geometría es casi tan antiguo como la ciencia de la geometría misma.[45]​ Las formas simétricas como el círculo, los polígonos regulares y los sólidos platónicos tenían un significado profundo para muchos filósofos antiguos[46]​ y fueron investigadas en detalle antes de la época de Euclides.[9]​ Los patrones simétricos ocurren en la naturaleza y fueron representados artísticamente en una multitud de formas, incluyendo los gráficos de Leonardo da Vinci, MC Escher") y otros.[47]​ En la segunda mitad del siglo , la relación entre simetría y geometría fue objeto de un intenso escrutinio.

El programa de Erlangen de Felix Klein proclamó que, en un sentido muy preciso, la simetría, expresada a través de la noción de un grupo de transformación"), determina qué es la geometría.[48]​ La simetría en la geometría euclidiana clásica está representada por congruencias y movimientos rígidos, mientras que en la geometría proyectiva juegan un papel análogo las colinaciones, transformaciones geométricas que convierten las líneas rectas en líneas rectas.[49]​ Sin embargo, fue en las nuevas geometrías de Bolyai y Lobachevsky, Riemann, Clifford y Klein, y Sophus Lieque la idea de Klein de "definir una geometría a través de su grupo de simetría" encontró su inspiración.[50]​ Tanto las simetrías discretas como las continuas juegan un papel destacado en la geometría, la primera en la topología y la teoría de grupos geométricos,[51]​[52]​ la última en la teoría de Lie") y la geometría de Riemann.[53]​[54]​.

Un tipo diferente de simetría es el principio de dualidad "Dualidad (geometría proyectiva)") en la geometría proyectiva, entre otros campos. Este meta-fenómeno se puede describir aproximadamente de la siguiente manera: en cualquier teorema, intercambiar ”punto” con “plano”, “unirse” con “encuentro”, “se encuentra” con “contiene”, y el resultado es un teorema igualmente verdadero.[55]​ Existe una forma de dualidad similar y estrechamente relacionada entre un espacio vectorial y su espacio dual.[56]​.

Axiomas

En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después —cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo— originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.

En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.

Euclides adoptó un enfoque abstracto de la geometría en sus Elementos,[7]​ uno de los libros más influyentes jamás escritos.[8]​ Euclides introdujo ciertos axiomas o postulados que expresan propiedades primarias o evidentes de puntos, líneas y planos.[9]​ Procedió a deducir rigurosamente otras propiedades mediante el razonamiento matemático. El rasgo característico de la aproximación de Euclides a la geometría fue su rigor, y ha llegado a conocerse como geometría axiomática o sintética.[10]​ A principios del siglo , el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y otros[11]​ llevaron a un resurgimiento del interés por esta disciplina, y en el siglo , David Hilbert (1862–1943) empleó el razonamiento axiomático en un intento de proporcionar una base moderna de la geometría.[12]​.

Puntos

Los puntos "Punto (geometría)") se consideran objetos fundamentales en la geometría euclidiana. Se han definido de diversas formas, incluida la definición de Euclides como "aquello que no tiene parte" [13]​ y mediante el uso de álgebra o conjuntos anidados.[14]​ En muchas áreas de la geometría, como la geometría analítica, la geometría diferencial y la topología, se considera que todos los objetos se construyen a partir de puntos. Sin embargo, se ha realizado algún estudio de geometría sin referencia a puntos.[15]​.

Líneas

Euclides describió una línea como "longitud sin ancho" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma".[13]​ En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica, una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada,[16]​ pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia, una línea puede ser un objeto independiente, distinto del conjunto de puntos que se encuentran en él.[17]​ En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de línea a espacios curvos.[18]​.

Planos

Un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente.[13]​ Los planos se utilizan en todas las áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos se pueden estudiar como una superficie topológica sin hacer referencia a distancias o ángulos;[19]​ se puede estudiar como un espacio afín, donde se pueden estudiar la colinealidad y las proporciones pero no las distancias;[20]​ se puede estudiar como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo ;[21]​ y así sucesivamente.

Ángulos

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre sí.[13]​ En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos de luz, llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo.[22]​.

En la geometría euclidiana, los ángulos se utilizan para estudiar polígonos y triángulos, además de formar un objeto de estudio por derecho propio.[13]​ El estudio de los ángulos de un triángulo o de los ángulos en un círculo unitario forma la base de la trigonometría.[23]​.

En geometría diferencial y cálculo, los ángulos entre curvas planas o curvas espaciales o superficies se pueden calcular utilizando la derivada.[24]​[25]​.

Curvas

Una curva es un objeto unidimensional que puede ser recto (como una línea) o no; las curvas en el espacio bidimensional se denominan curvas planas y las del espacio tridimensional se denominan curvas espaciales.[26]​.

En topología, una curva se define mediante una función de un intervalo de los números reales a otro espacio.[19]​ En geometría diferencial, se usa la misma definición, pero se requiere que la función definitoria sea diferenciable.[27]​ La geometría algebraica estudia las curvas algebraicas, que se definen como variedades algebraicas de dimensión uno.[28]​.

Superficies

Una superficie es un objeto bidimensional, como una esfera o un paraboloide.[29]​ En geometría diferencial[27]​ y topología,[19]​ las superficies se describen mediante "parches" bidimensionales (o vecindades ) que se ensamblan mediante difeomorfismos u homeomorfismos, respectivamente. En geometría algebraica, las superficies se describen mediante ecuaciones polinómicas.[28]​.

Variedades

Una variedad "Variedad (matemáticas)") es una generalización de los conceptos de curva y superficie. En topología, una variedad es un espacio topológico donde cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio euclidiano.[19]​ En geometría diferencial, una variedad diferenciable es un espacio donde cada vecindario es difeomórfico al espacio euclidiano.[27]​.

Las variedades se utilizan ampliamente en física, incluida la relatividad general y la teoría de cuerdas.[30]​.

Longitud, área y volumen

La longitud, el área y el volumen describen el tamaño o la extensión de un objeto en una dimensión, dos dimensiones y tres dimensiones, respectivamente.[31]​.

En geometría euclidiana y geometría analítica, la longitud de un segmento de línea a menudo se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras.[32]​.

El área y el volumen pueden definirse como cantidades fundamentales separadas de la longitud, o pueden describirse y calcularse en términos de longitudes en un plano o espacio tridimensional.[31]​ Los matemáticos han encontrado muchas fórmulas explícitas para el área y fórmulas para el volumen de varios objetos geométricos. En cálculo, el área y el volumen se pueden definir en términos de integrales, como la integral de Riemann[33]​ o la integral de Lebesgue.[34]​.

Métricas y medidas

El concepto de longitud o distancia se puede generalizar, dando lugar a la idea de métricas.[35]​ Por ejemplo, la métrica euclidiana mide la distancia entre puntos en el plano euclidiano, mientras que la métrica hiperbólica mide la distancia en el plano hiperbólico. Otros ejemplos importantes de métricas incluyen la métrica de Lorentz de la relatividad especial y la métrica semirriemanniana de la relatividad general.[36]​.

En otra dirección, los conceptos de longitud, área y volumen se amplían con la teoría de la medida, que estudia métodos de asignación de un tamaño o medida a conjuntos, donde las medidas siguen reglas similares a las del área y volumen clásicos.[37]​.

Congruencia y similitud

La congruencia y la similitud son conceptos que describen cuando dos formas tienen características similares.[38]​ En la geometría euclidiana, la similitud se usa para describir objetos que tienen la misma forma, mientras que la congruencia se usa para describir objetos que son iguales tanto en tamaño como en forma.[39]​ Hilbert, en su trabajo sobre la creación de una base más rigurosa para la geometría, trató la congruencia como un término indefinido cuyas propiedades están definidas por axiomas.

La congruencia y la similitud se generalizan en la geometría de transformación, que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan mediante diferentes tipos de transformaciones.[40]​.

Construcciones con compás y regla

Los geómetras clásicos prestaron especial atención a la construcción de objetos geométricos que se habían descrito de alguna otra manera. Clásicamente, los únicos instrumentos permitidos en las construcciones geométricas son el compás "Compás (instrumento)") y la regla. Además, cada construcción tenía que completarse en un número finito de pasos. Sin embargo, algunos problemas resultaron difíciles o imposibles de resolver solo por estos medios, y se encontraron ingeniosas construcciones utilizando parábolas y otras curvas, así como dispositivos mecánicos.

Dimensión

Donde la geometría tradicional permitía las dimensiones de una línea de un plano y nuestro mundo ambiental concebido como un espacio tridimensional, los matemáticos y físicos han utilizado dimensiones superiores durante casi dos siglos.[41]​ Un ejemplo de uso matemático para dimensiones superiores es el espacio de configuración de un sistema físico, que tiene una dimensión igual a los grados de libertad del sistema. Por ejemplo, la configuración de un tornillo se puede describir mediante cinco coordenadas.[42]​.

En topología general, el concepto de dimensión se ha extendido desde los números naturales hasta la dimensión infinita (espacios de Hilbert, por ejemplo) y los números reales positivos (en geometría fractal).[43]​ En geometría algebraica, la dimensión de una variedad algebraica ha recibido varias definiciones aparentemente diferentes, que son todas equivalentes en los casos más comunes.[44]​.

Simetría

El tema de la simetría en geometría es casi tan antiguo como la ciencia de la geometría misma.[45]​ Las formas simétricas como el círculo, los polígonos regulares y los sólidos platónicos tenían un significado profundo para muchos filósofos antiguos[46]​ y fueron investigadas en detalle antes de la época de Euclides.[9]​ Los patrones simétricos ocurren en la naturaleza y fueron representados artísticamente en una multitud de formas, incluyendo los gráficos de Leonardo da Vinci, MC Escher") y otros.[47]​ En la segunda mitad del siglo , la relación entre simetría y geometría fue objeto de un intenso escrutinio.

El programa de Erlangen de Felix Klein proclamó que, en un sentido muy preciso, la simetría, expresada a través de la noción de un grupo de transformación"), determina qué es la geometría.[48]​ La simetría en la geometría euclidiana clásica está representada por congruencias y movimientos rígidos, mientras que en la geometría proyectiva juegan un papel análogo las colinaciones, transformaciones geométricas que convierten las líneas rectas en líneas rectas.[49]​ Sin embargo, fue en las nuevas geometrías de Bolyai y Lobachevsky, Riemann, Clifford y Klein, y Sophus Lieque la idea de Klein de "definir una geometría a través de su grupo de simetría" encontró su inspiración.[50]​ Tanto las simetrías discretas como las continuas juegan un papel destacado en la geometría, la primera en la topología y la teoría de grupos geométricos,[51]​[52]​ la última en la teoría de Lie") y la geometría de Riemann.[53]​[54]​.

Un tipo diferente de simetría es el principio de dualidad "Dualidad (geometría proyectiva)") en la geometría proyectiva, entre otros campos. Este meta-fenómeno se puede describir aproximadamente de la siguiente manera: en cualquier teorema, intercambiar ”punto” con “plano”, “unirse” con “encuentro”, “se encuentra” con “contiene”, y el resultado es un teorema igualmente verdadero.[55]​ Existe una forma de dualidad similar y estrechamente relacionada entre un espacio vectorial y su espacio dual.[56]​.