Definición matemática general (transporte)
Aparecen tres definiciones en orden creciente de complejidad. Cada una es un caso especial de los que figuran a continuación. En todos ellos se utiliza el símbolo frecuente j (o J) para el flujo, q para la magnitud física que fluye, t para el tiempo y A para el área. Estos identificadores se escribirán en negrita cuando y solo cuando sean vectores.
Primero, el flujo como un escalar (único):.
donde.
En este caso, la superficie en la que se mide el flujo es fija y tiene un área A. Se supone que la superficie es plana y que el flujo es constante en todas partes con respecto a la posición, y perpendicular a la superficie.
En segundo lugar, el flujo como campo escalar definido en una superficie, es decir, una función de puntos en la superficie:.
Como antes, se supone que la superficie es plana y que el flujo es perpendicular a ella en todas partes. Sin embargo, el flujo no tiene por qué ser constante. q es ahora una función de p, un punto en la superficie, y A, un área. En lugar de medirse el flujo total a través de la superficie, q mide el flujo a través del disco de la superficie con el área A y centrado en el punto p.
Finalmente, el flujo como campo vectorial:.
En este caso, no hay ninguna superficie fija sobre la que se esté midiendo. q es función de un punto, un área y una dirección (dada por un vector unitario ) y mide el flujo a través del disco de área A perpendicular a ese vector unitario. I se define eligiendo el vector unitario que maximiza el flujo alrededor del punto, porque el flujo real se maximiza a través del disco que es perpendicular a él. Por lo tanto, el vector unitario maximiza de forma única la función cuando apunta en la verdadera dirección del flujo. Estrictamente hablando, este es un abuso de notación, porque "arg max" no puede comparar vectores directamente; en su lugar, se toma el vector con la norma más grande.
Estas definiciones directas, especialmente la última, son bastante difíciles de manejar. Por ejemplo, la construcción arg max es artificial desde la perspectiva de las mediciones empíricas, cuando con una veleta o similar se puede deducir fácilmente la dirección del flujo en un punto. En lugar de definir directamente el flujo vectorial, suele ser más intuitivo enunciar algunas propiedades al respecto. Además, a partir de estas propiedades se puede determinar de todos modos el flujo de forma inequívoca.
Si el flujo j pasa a través del área formando un ángulo θ con el área normal , entonces el producto escalar.
Es decir, la componente del flujo que pasa a través de la superficie (es decir, normal a ella) es j cos θ, mientras que la componente del flujo que pasa tangencial al área es j sin θ, pero ningún flujo realmente pasa a través del área en dirección tangencial. El único componente del flujo que pasa normal al área es la componente del coseno.
Para el flujo vectorial, la integral de superficie de j sobre una superficie "Superficie (matemática)") S, se obtiene el flujo normal por unidad de tiempo a través de la superficie:.
donde A (y su infinitesimal) es la combinación del vector de área (producto de la magnitud del área A por la que pasa la propiedad y del vector unitario normal al área).
A diferencia del segundo conjunto de ecuaciones, aquí la superficie no tiene por qué ser plana.
Finalmente, se puede integrar nuevamente durante el tiempo t a t, obteniéndose la cantidad total de la propiedad que fluye a través de la superficie en ese tiempo (t − t):.
Flujos de transporte
Ocho de las formas más comunes de flujo de la bibliografía sobre fenómenos de transporte se definen de la siguiente manera:.
Estos flujos son vectores en cada punto del espacio y tienen una magnitud y dirección definidas. Además, se puede tomar la divergencia "Divergencia (matemática)") de cualquiera de estos flujos para determinar la tasa de acumulación de la cantidad en un volumen de control alrededor de un punto determinado en el espacio. Para el caso de un flujo incompresible, la divergencia del flujo de volumen es cero.
Como se mencionó anteriormente, el flujo molar químico de un componente A en un proceso isotérmico e isobárico se define en las leyes de Fick como:.
donde el símbolo nabla ∇ denota el operador gradiente, D es el coeficiente de difusión (m·s) del componente A que se difunde a través del componente B, c es la concentración (mol/m) del componente A.[9].
Este flujo tiene unidades de mol·m·s y se ajusta a la definición original de flujo de Maxwell.[5].
Para gases diluidos, la teoría cinética molecular relaciona el coeficiente de difusión D con la densidad de partículas n = N/V, la masa molecular m, la sección eficaz de colisión y la temperatura absoluta T por.
donde el segundo factor es el camino libre medio y la raíz cuadrada (con la constante de Boltzmann k) es la velocidad media de las partículas.
En flujos turbulentos, el transporte por movimiento de remolinos se puede expresar como un coeficiente de difusión muy aumentado.
Mecánica cuántica
En mecánica cuántica, las partículas de masa m en estado cuántico ψ(r, t) tienen un densidad de probabilidad definida como.
Entonces, la probabilidad de encontrar una partícula en un elemento de volumen diferencial dr es.
Entonces, el número de partículas que pasan perpendicularmente a través de la unidad de área de una sección transversal "Sección (geometría)") por unidad de tiempo es la probabilidad de flujo.
Esto a veces se denomina corriente de probabilidad o densidad de corriente,[10] o también densidad de flujo de probabilidad.[11].