Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Para generalizarlas usaremos el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) para obtener las ecuaciones en una forma más útil para la formulación euleriana.

Las tres ecuaciones fundamentales son la ecuación de continuidad, la ecuación de la cantidad de movimiento, y la ecuación de la conservación de la energía. Estas ecuaciones pueden darse en su formulación integral o en su forma diferencial, dependiendo del problema. A este conjunto de ecuaciones dadas en su forma diferencial también se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes (las ecuaciones de Euler "Ecuaciones de Euler (fluidos)") son un caso particular de la ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos sin viscosidad).[2]​.

No existe una solución general a dicho conjunto de ecuaciones debido a su complejidad, por lo que para cada problema concreto de la mecánica de fluidos se estudian estas ecuaciones buscando simplificaciones que faciliten la resolución del problema. En algunos casos no es posible obtener una solución analítica, por lo que hemos de recurrir a soluciones numéricas generadas por ordenador. A esta rama de la mecánica de fluidos se la denomina mecánica de fluidos computacional. Las ecuaciones son las siguientes:.

Ecuación de continuidad

Para fluido incompresible con densidad constante se requiere que el elemento de fluido tenga densidad constante al moverse solo por una línea de corriente, o sea que la derivada sustancial con respecto al tiempo sea cero.

• - Forma integral:.

• - Forma diferencial:.

Ecuación de cantidad de movimiento

Supongamos un elemento de volumen con un fluido que se mueve en una dirección arbitraria a través de las seis caras del elemento de volumen. Es la ecuación de un vector con componentes para cada una de las tres direcciones coordenadas x, y o z. La cantidad de movimiento entra y sale del volumen de control en virtud de dos mecanismos: por convección (es decir, debido al flujo global del fluido) y por transporte molecular (o sea, a causa de los gradientes de velocidad). En la mayoría de los casos las únicas fuerzas importantes serán las procedentes de la presión del fluido p y la fuerza gravitacional por unidad de masa g. La presión de un fluido en movimiento está definida por la ecuación de estado p=f(p,T) y es una magnitud escalar. También hay que considerar la velocidad de acumulación de la cantidad de movimiento.

• - Forma integral:.

• - Forma diferencial:.

Analizando cada término de la ecuación de movimiento se obtiene que: la velocidad de aumento de cantidad de movimiento por unidad de volumen más la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por convección por unidad de volumen son iguales a la fuerza de presión que actúa sobre el elemento por unidad de volumen menos la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por transporte viscoso por unidad de volumen más la fuerza de gravitación que actúa sobre el elemento de volumen.

Otra interpretación de los términos de la ecuación de movimiento surge de utilizar la derivada sustancial con lo que se obtiene que la masa por unidad de volumen multiplicada por aceleración es igual a la suma de la fuerza de presión sobre el elemento por unidad de volumen, fuerza viscosa sobre el elemento por unidad de volumen y la fuerza gravitacional sobre el elemento por unidad de volumen. Con lo que se concluye que un elemento de volumen que se mueve con el fluido es acelerado por las fuerzas que actúan sobre él. Por lo tanto el balance de cantidad de movimiento es una forma equivalente a la Segunda Ley de Newton. Es necesario tener en cuenta que las ecuaciones son válidas para medios continuos y que si se utiliza la derivada parcial corresponde al caso en el que el elemento se mueve a la velocidad del fluido. Cuando se reemplazan los esfuerzos cortantes por las leyes de viscosidad de Newton y se combina la ecuación de movimiento con la ecuación de continuidad, la variación de la viscosidad con la densidad, la ecuación de estado y las condiciones iniciales y límites se obtiene las ecuaciones diferencia que permiten describir la presión, densidad y componentes de velocidad punto a punto.

Para viscosidad y densidad constante, la densidad queda fuera de la derivada y nos queda la Ecuación de Navier-Stokes, esta condición corresponde a fluido incompresible con divergencia del vector velocidad nula en la línea de corriente. Cuando los efectos viscosos son despreciables, la fuerza viscosa sobre el elemento de fluido por unidad de volumen puede considerarse nula y resulta la Ecuación de Euler.

Ecuación de la conservación de energía

• - Forma integral:.

• - Forma diferencial:.

Un fluido no viscoso no tiene viscosidad, . En la práctica, un flujo no viscoso es una idealización, que facilita el tratamiento matemático. De hecho, los flujos puramente invisibles solo se conocen en el caso de superfluidez. Por lo demás, los fluidos son generalmente viscosos, una propiedad que suele ser más importante dentro de una capa límite cerca de una superficie sólida,[20]​ donde el flujo debe coincidir con la condición de no deslizamiento en el sólido. En algunos casos, las matemáticas de un sistema fluido-mecánico pueden ser tratadas asumiendo que el fluido fuera de las capas límite es no viscoso, y luego coincidiendo") con su solución en la de una capa límite delgada de laminar.

Para el flujo de fluido sobre una frontera porosa, la velocidad del fluido puede ser discontinua entre el fluido libre y el fluido en el medio poroso (esto está relacionado con la condición de Beavers y Joseph). Además, es útil a bajas velocidades subsónica suponer que el gas es incompresible, es decir, la densidad del gas no cambia aunque cambien la velocidad y la presión estática.

Dinámica de los fluidos

La fluidodinámica es una subdisciplina de la mecánica de fluidos que se ocupa del flujo de fluidos -la ciencia de los líquidos y los gases en movimiento.[21]​ La dinámica de fluidos ofrece una estructura sistemática -que subyace a estas disciplinas prácticas")- que abarca leyes empíricas y semiempíricas derivadas de la medición del flujo") y utilizadas para resolver problemas prácticos. La solución de un problema de dinámica de fluidos suele implicar el cálculo de varias propiedades del fluido, como la velocidad, la presión, la densidad y la temperatura, en función del espacio y el tiempo. Tiene varias subdisciplinas en sí misma, incluyendo la aerodinámica [22]​[23]​[24]​[25]​ (el estudio del aire y otros gases en movimiento) y la hidrodinámica [26]​[27]​ (el estudio de los líquidos en movimiento). La dinámica de fluidos tiene una amplia gama de aplicaciones, incluyendo el cálculo de fuerzas y movimientos "Momento (física)") en aviones, la determinación de la tasa de flujo de masa") de petróleo a través de oleoductos, la predicción de la evolución de los patrones de clima, la comprensión de nebulosas en espacio interestelar y el modelado de explosiones"). Algunos principios fluidodinámicos se utilizan en la ingeniería del tráfico&action=edit&redlink=1 "Ingeniería del tráfico (transporte) (aún no redactado)") y en la dinámica de multitudes.

Bibliografía

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• - Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Mecánica de fluidos.

• - Experimentos de mecánica de fluidos.

Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Para generalizarlas usaremos el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) para obtener las ecuaciones en una forma más útil para la formulación euleriana.

Las tres ecuaciones fundamentales son la ecuación de continuidad, la ecuación de la cantidad de movimiento, y la ecuación de la conservación de la energía. Estas ecuaciones pueden darse en su formulación integral o en su forma diferencial, dependiendo del problema. A este conjunto de ecuaciones dadas en su forma diferencial también se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes (las ecuaciones de Euler "Ecuaciones de Euler (fluidos)") son un caso particular de la ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos sin viscosidad).[2]​.

No existe una solución general a dicho conjunto de ecuaciones debido a su complejidad, por lo que para cada problema concreto de la mecánica de fluidos se estudian estas ecuaciones buscando simplificaciones que faciliten la resolución del problema. En algunos casos no es posible obtener una solución analítica, por lo que hemos de recurrir a soluciones numéricas generadas por ordenador. A esta rama de la mecánica de fluidos se la denomina mecánica de fluidos computacional. Las ecuaciones son las siguientes:.

Ecuación de continuidad

Para fluido incompresible con densidad constante se requiere que el elemento de fluido tenga densidad constante al moverse solo por una línea de corriente, o sea que la derivada sustancial con respecto al tiempo sea cero.

• - Forma integral:.

• - Forma diferencial:.

Ecuación de cantidad de movimiento

Supongamos un elemento de volumen con un fluido que se mueve en una dirección arbitraria a través de las seis caras del elemento de volumen. Es la ecuación de un vector con componentes para cada una de las tres direcciones coordenadas x, y o z. La cantidad de movimiento entra y sale del volumen de control en virtud de dos mecanismos: por convección (es decir, debido al flujo global del fluido) y por transporte molecular (o sea, a causa de los gradientes de velocidad). En la mayoría de los casos las únicas fuerzas importantes serán las procedentes de la presión del fluido p y la fuerza gravitacional por unidad de masa g. La presión de un fluido en movimiento está definida por la ecuación de estado p=f(p,T) y es una magnitud escalar. También hay que considerar la velocidad de acumulación de la cantidad de movimiento.

• - Forma integral:.

• - Forma diferencial:.

Analizando cada término de la ecuación de movimiento se obtiene que: la velocidad de aumento de cantidad de movimiento por unidad de volumen más la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por convección por unidad de volumen son iguales a la fuerza de presión que actúa sobre el elemento por unidad de volumen menos la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por transporte viscoso por unidad de volumen más la fuerza de gravitación que actúa sobre el elemento de volumen.

Otra interpretación de los términos de la ecuación de movimiento surge de utilizar la derivada sustancial con lo que se obtiene que la masa por unidad de volumen multiplicada por aceleración es igual a la suma de la fuerza de presión sobre el elemento por unidad de volumen, fuerza viscosa sobre el elemento por unidad de volumen y la fuerza gravitacional sobre el elemento por unidad de volumen. Con lo que se concluye que un elemento de volumen que se mueve con el fluido es acelerado por las fuerzas que actúan sobre él. Por lo tanto el balance de cantidad de movimiento es una forma equivalente a la Segunda Ley de Newton. Es necesario tener en cuenta que las ecuaciones son válidas para medios continuos y que si se utiliza la derivada parcial corresponde al caso en el que el elemento se mueve a la velocidad del fluido. Cuando se reemplazan los esfuerzos cortantes por las leyes de viscosidad de Newton y se combina la ecuación de movimiento con la ecuación de continuidad, la variación de la viscosidad con la densidad, la ecuación de estado y las condiciones iniciales y límites se obtiene las ecuaciones diferencia que permiten describir la presión, densidad y componentes de velocidad punto a punto.

Para viscosidad y densidad constante, la densidad queda fuera de la derivada y nos queda la Ecuación de Navier-Stokes, esta condición corresponde a fluido incompresible con divergencia del vector velocidad nula en la línea de corriente. Cuando los efectos viscosos son despreciables, la fuerza viscosa sobre el elemento de fluido por unidad de volumen puede considerarse nula y resulta la Ecuación de Euler.

Ecuación de la conservación de energía

• - Forma integral:.

• - Forma diferencial:.

Un fluido no viscoso no tiene viscosidad, . En la práctica, un flujo no viscoso es una idealización, que facilita el tratamiento matemático. De hecho, los flujos puramente invisibles solo se conocen en el caso de superfluidez. Por lo demás, los fluidos son generalmente viscosos, una propiedad que suele ser más importante dentro de una capa límite cerca de una superficie sólida,[20]​ donde el flujo debe coincidir con la condición de no deslizamiento en el sólido. En algunos casos, las matemáticas de un sistema fluido-mecánico pueden ser tratadas asumiendo que el fluido fuera de las capas límite es no viscoso, y luego coincidiendo") con su solución en la de una capa límite delgada de laminar.

Para el flujo de fluido sobre una frontera porosa, la velocidad del fluido puede ser discontinua entre el fluido libre y el fluido en el medio poroso (esto está relacionado con la condición de Beavers y Joseph). Además, es útil a bajas velocidades subsónica suponer que el gas es incompresible, es decir, la densidad del gas no cambia aunque cambien la velocidad y la presión estática.

Dinámica de los fluidos

La fluidodinámica es una subdisciplina de la mecánica de fluidos que se ocupa del flujo de fluidos -la ciencia de los líquidos y los gases en movimiento.[21]​ La dinámica de fluidos ofrece una estructura sistemática -que subyace a estas disciplinas prácticas")- que abarca leyes empíricas y semiempíricas derivadas de la medición del flujo") y utilizadas para resolver problemas prácticos. La solución de un problema de dinámica de fluidos suele implicar el cálculo de varias propiedades del fluido, como la velocidad, la presión, la densidad y la temperatura, en función del espacio y el tiempo. Tiene varias subdisciplinas en sí misma, incluyendo la aerodinámica [22]​[23]​[24]​[25]​ (el estudio del aire y otros gases en movimiento) y la hidrodinámica [26]​[27]​ (el estudio de los líquidos en movimiento). La dinámica de fluidos tiene una amplia gama de aplicaciones, incluyendo el cálculo de fuerzas y movimientos "Momento (física)") en aviones, la determinación de la tasa de flujo de masa") de petróleo a través de oleoductos, la predicción de la evolución de los patrones de clima, la comprensión de nebulosas en espacio interestelar y el modelado de explosiones"). Algunos principios fluidodinámicos se utilizan en la ingeniería del tráfico&action=edit&redlink=1 "Ingeniería del tráfico (transporte) (aún no redactado)") y en la dinámica de multitudes.

Bibliografía

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• - Experimentos de mecánica de fluidos.