A camada limite aerodinâmica foi proposta pela primeira vez por Ludwig Prandtl em um artigo apresentado em 12 de agosto de 1904 no Terceiro Congresso Internacional de Matemáticos em Heidelberg, Alemanha. Ele simplifica as equações do fluxo de fluido dividindo o campo de fluxo em duas zonas: uma dentro da camada limite, dominada pela viscosidade e criando a maior parte da resistência "Resistência (fluidos)") experimentada pelo corpo limite; e outra fora da camada limite, onde a viscosidade pode ser desprezada sem efeitos significativos na solução. Isto permite uma solução de forma fechada (matemática) para o fluxo em ambas as zonas, fazendo simplificações significativas das equações completas de Navier-Stokes. A mesma hipótese é aplicável a outros fluidos (além do ar) de viscosidade moderada a baixa, como a água. No caso em que existe uma diferença de temperatura entre a superfície e o fluido, observa-se que a maior parte da transferência de calor de e para um corpo ocorre nas proximidades da camada limite de velocidade. Novamente, isso permite que as equações no campo de fluxo fora da camada limite sejam simplificadas. A distribuição de pressão ao longo da camada limite na direção normal à superfície (como um aerofólio) permanece relativamente constante ao longo da camada limite e é a mesma que na própria superfície.

A espessura da camada limite de velocidade é normalmente definida como a distância do corpo sólido até o ponto em que a velocidade do fluxo viscoso é 99% da velocidade da corrente livre (a velocidade superficial de um fluxo invíscido). A espessura de deslocamento ") é uma definição alternativa que afirma que a camada limite representa um déficit no fluxo de massa em comparação com o fluxo não viscoso com deslizamento de parede. É a distância que a parede teria que ser deslocada no caso não viscoso para obter o mesmo fluxo de massa total que no caso viscoso. A condição de não deslizamento requer que a velocidade do fluxo na superfície de um objeto sólido seja zero e que a temperatura do fluido seja igual à temperatura da superfície. A velocidade do fluxo aumentará rapidamente dentro da camada limite, governada pelo equações da camada limite, abaixo.

A espessura da camada limite térmica é a distância do corpo na qual a temperatura é 99% da temperatura da corrente livre. A relação entre as duas espessuras é governada pelo número de Prandtl. Se o número de Prandtl for 1, as duas camadas limites terão a mesma espessura. Se o número de Prandtl for maior que 1, a camada limite térmica é mais fina que a camada limite de velocidade. Se o número de Prandtl for menor que 1, o que é o caso do ar sob condições padrão, a camada limite térmica é mais espessa que a camada limite de velocidade.

Em projetos de alto desempenho, como planadores e aeronaves comerciais, muita atenção é dada ao controle do comportamento da camada limite para minimizar o arrasto. Dois efeitos devem ser levados em conta. Primeiro, a camada limite aumenta a espessura efetiva do corpo, através da espessura de deslocamento"), aumentando assim a resistência à pressão. Em segundo lugar, as forças de cisalhamento") na superfície da asa criam resistência ao atrito da pele.

Em números de Reynolds elevados, típicos de aeronaves de grande porte, é desejável ter uma camada limite laminar. Isso resulta em menor atrito da pele devido ao perfil de velocidade característico do fluxo laminar. No entanto, a camada limite inevitavelmente engrossa e se torna menos estável à medida que o fluxo se desenvolve ao longo do corpo, tornando-se eventualmente turbulento, um processo conhecido como transição da camada limite. a camada limite em direção à popa, remodelando o aerofólio ou fuselagem de modo que seu ponto mais espesso fique mais à ré e menos espesso. Desta forma, as velocidades na frente são reduzidas e o mesmo número de Reynolds é alcançado com um comprimento maior.

Em números de Reynolds baixos, como os observados em modelos de aviões, é relativamente fácil manter o fluxo laminar. Isto resulta em baixo atrito superficial, o que é desejável. No entanto, o mesmo perfil de velocidade que confere à camada limite laminar seu baixo atrito superficial também faz com que ela seja grandemente afetada por gradientes de pressão adversos. Quando a pressão começa a se recuperar na parte traseira da corda da asa, a camada limite laminar tenderá a se separar da superfície. Tal separação do fluxo causa um grande aumento na resistência à pressão, uma vez que aumenta grandemente o tamanho efetivo da seção da asa. Nestes casos, pode ser vantajoso causar deliberadamente turbulência na camada limite num ponto anterior à separação laminar, utilizando um turbulador. O perfil de velocidade mais completo da camada limite turbulenta permite manter o gradiente de pressão adverso sem se separar. Assim, embora o atrito superficial aumente, a resistência global diminui. Este é o princípio por trás das covinhas nas bolas de golfe e dos geradores de vórtices nos aviões. Também foram projetadas seções especiais da asa que adaptam a recuperação de pressão para reduzir ou até mesmo eliminar a separação laminar. Isto representa um compromisso ideal entre a resistência à pressão da separação do fluxo e o atrito superficial da turbulência induzida.

Ao usar semi-modelos em túneis de vento, um peniche&action=edit&redlink=1 "Peniche (dinâmica de fluidos) (ainda não elaborado)") é por vezes usado para reduzir ou eliminar o efeito da camada limite.

Contenido

La deducción de las ecuaciones de la capa límite fue uno de los avances más importantes en la dinámica de fluidos. Utilizando un análisis de orden de magnitud"), las conocidas ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el flujo viscoso de fluidos pueden simplificarse en gran medida dentro de la capa límite. pueden simplificarse en gran medida dentro de la capa límite. En particular, el [característica de la Ecuaciones diferenciales parciales (EDP) se convierte en parabólica, en lugar de la forma elíptica de las ecuaciones de Navier-Stokes completas. Esto simplifica enormemente la solución de las ecuaciones. Al hacer la aproximación de la capa límite, el flujo se divide en una parte no viscosa (que es fácil de resolver por varios métodos) y la capa límite, que se rige por una EDP más fácil de resolver. Las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes para un flujo incompresible bidimensional constante en coordenadas cartesianas vienen dadas por.

donde y son las componentes de la velocidad, es la densidad, es la presión, y es la viscosidad cinemática del fluido en un punto.

La aproximación establece que, para un número de Reynolds suficientemente alto, el flujo sobre una superficie puede dividirse en una región exterior de flujo no viscoso no afectado por la viscosidad (la mayor parte del flujo), y una región cercana a la superficie donde la viscosidad es importante (la capa límite). Sean y las velocidades de la corriente y transversal (normal a la pared) respectivamente dentro de la capa límite. Usando análisis de escala "Análisis de escala (matemáticas)"), se puede demostrar que las ecuaciones de movimiento anteriores se reducen dentro de la capa límite a ser.

y si el fluido es incompresible (como los líquidos en condiciones normales):.

El análisis del orden de magnitud supone que la escala de longitud en el sentido de la corriente es significativamente mayor que la escala de longitud transversal dentro de la capa límite. De ello se deduce que las variaciones de las propiedades en la dirección de la corriente son generalmente mucho menores que las de la dirección normal de la pared. Si se aplica esto a la ecuación de continuidad, se observa que , la velocidad normal de la pared, es pequeña comparada con , la velocidad en el sentido de la corriente.

Como la presión estática es independiente de , entonces la presión en el borde de la capa límite es la presión en toda la capa límite en una posición dada en el sentido de la corriente. La presión externa puede obtenerse mediante una aplicación de la ecuación de Bernoulli. Sea la velocidad del fluido fuera de la capa límite, donde y son ambas paralelas. Esto da al sustituir por el siguiente resultado.

Para un flujo en el que la presión estática tampoco cambia en la dirección del flujo.

si permanece constante.

Por lo tanto, la ecuación de movimiento se simplifica y pasa a ser.

Estas aproximaciones se utilizan en una variedad de problemas prácticos de flujo de interés científico y de ingeniería. El análisis anterior es para cualquier laminar instantáneo o turbulento, pero se utiliza principalmente en estudios de flujo laminar ya que el flujo medio es también el flujo instantáneo porque no hay fluctuaciones de velocidad presentes. Esta ecuación simplificada es una EDP parabólica y puede resolverse utilizando una solución de similitud a menudo denominada capa límite de Blasius.

Teorema de transposição de Prandtl

Prandtl observou que a partir de qualquer solução que satisfaça as equações da camada limite, outra solução, que também satisfaça as equações da camada limite, pode ser construída escrevendo [2].

onde é arbitrário. Como a solução não é única do ponto de vista matemático,[3]​ qualquer um de um conjunto infinito de autofunções pode ser adicionado à solução, conforme demonstrado por Stewartson").[4]​ e Paul A. Libby").[5]​[6]​.

O tratamento de camadas limites turbulentas é muito mais difícil devido à variação dependente do tempo das propriedades do fluxo. Uma das técnicas mais utilizadas para tratar escoamentos turbulentos é aplicar a decomposição de Reynolds. Nele, as propriedades instantâneas do fluxo são decompostas em uma componente média e uma componente flutuante, assumindo que a média da componente flutuante é sempre zero. Aplicando esta técnica às equações da camada limite, são obtidas as equações completas da camada limite turbulenta, que são raras na literatura:

Usando uma análise de ordem de grandeza semelhante, as equações acima podem ser reduzidas a termos de ordem principal. Escolhendo escalas de comprimento para mudanças na direção transversal e para mudanças na direção da corrente, com, a equação do momento x simplifica para:.

Esta equação não satisfaz a condição de não escorregamento da parede. Como Prandtl fez para suas equações da camada limite, uma nova escala de comprimento menor deve ser usada para permitir que o termo viscoso se torne a ordem principal na equação do momento. Escolhendo y como escala, a equação de momento de ordem principal para esta "camada limite interna" é dada por:.

No limite do número de Reynolds infinito, pode-se mostrar que o termo gradiente de pressão não tem efeito na região interna da camada limite turbulenta. A nova "escala de comprimento interno" é uma escala de comprimento viscosa, e é de ordem, sendo a escala de velocidade das flutuações turbulentas, neste caso uma velocidade de atrito.

Ao contrário das equações da camada limite laminar, a presença de dois regimes governados por diferentes conjuntos de escalas de fluxo (ou seja, a escala interna e externa) tornou difícil e controverso encontrar uma solução universalmente semelhante para a camada limite turbulenta. Para encontrar uma solução de similaridade que abranja ambas as regiões do fluxo, é necessário combinar assintoticamente as soluções de ambas as regiões do fluxo. Esta análise resultará nas chamadas Soluções de Lei de Parede ou Lei de Potência.

Abordagens semelhantes à análise anterior também foram aplicadas para camadas limite térmicas, usando a equação para energia em fluxos compressíveis.[7]​[8]​.

O termo adicional nas equações da camada limite turbulenta é conhecido como tensão de cisalhamento de Reynolds e é desconhecido a priori. Portanto, a solução das equações da camada limite turbulenta requer a utilização de um “modelo de turbulência”, cujo objetivo é expressar a tensão de cisalhamento de Reynolds em termos de variáveis ​​ou derivadas de fluxo conhecidas. A falta de precisão e generalidade de tais modelos é um grande obstáculo na previsão bem-sucedida de propriedades de fluxo turbulento na dinâmica de fluidos moderna.

Na região próxima à parede existe uma camada de tensão constante. Devido ao amortecimento das flutuações verticais de velocidade perto da parede, o termo de tensão de Reynolds será insignificante e descobriremos que existe um perfil de velocidade linear. Isto só é verdade para a região muito próxima da parede.

Em 1928, o engenheiro francês André Lévêque "observou que a transferência de calor por convecção em um fluido em movimento só é afetada por valores de velocidade muito próximos da superfície. distância da superfície Assim, para.

quando, então.

onde θ é a tangente da parábola de Poiseuille que intercepta a parede.

Embora a solução de Lévêque fosse específica para a transferência de calor em um fluxo de Poiseuille, seu conhecimento ajudou outros cientistas a encontrar uma solução exata para o problema da camada limite térmica.[11]​ Schuh observou que em uma camada limite, u é novamente uma função linear de y, mas que, neste caso, a tangente da parede é uma função de x.[12]​ Ele expressou isso com uma versão modificada do perfil de Lévêque.

Isto resulta numa aproximação muito boa, mesmo para números baixos, de modo que apenas metais líquidos com muito menos que 1 não podem ser tratados desta forma.[11]​.

Em 1962, Kestin e Persen publicaram um artigo no qual descreveram soluções para transferência de calor quando a camada limite térmica está completamente contida dentro da camada de momento e para várias distribuições de temperatura de parede.[13] Para o problema de uma placa plana com salto de temperatura, eles propuseram uma substituição que reduz a equação da camada limite térmica parabólica a uma equação diferencial ordinária. A solução desta equação, a temperatura em qualquer ponto do fluido, pode ser expressa como uma função gama incompleta.[10] Schlichting") propôs uma substituição equivalente que reduz a equação da camada limite térmica a uma equação diferencial ordinária cuja solução é a mesma função gama incompleta.[14]​.

Como é bem conhecido em vários livros didáticos, a transferência de calor tende a diminuir com o aumento da camada limite. Recentemente, foi observado em um caso prático em larga escala que o vento que flui através de um gerador fotovoltaico tende a "aprisionar" o calor nos painéis fotovoltaicos sob um regime turbulento devido à diminuição da transferência de calor.[15] Embora muitas vezes considerada inerentemente turbulenta, esta observação acidental demonstra que o vento natural se comporta na prática de forma muito semelhante a um fluido ideal, pelo menos numa observação que se assemelha ao comportamento esperado numa placa plana, reduzindo potencialmente a dificuldade de analisar este tipo de fenómeno numa escala maior.

Heinrich Blasius derivou uma solução exata para as equações da camada limite laminar acima. A espessura da camada limite é função do número de Reynolds para fluxo laminar.

A solução Blasius usa condições de contorno adimensionais:

Observe que, em muitos casos, a condição limite de não escorregamento sustenta que a velocidade do fluido na superfície da placa é igual à velocidade da placa em todos os lugares. Se a placa não se mover, então. Um desvio muito mais complicado é necessário se o deslizamento do fluido for permitido.[17]​.

Na verdade, a solução de Blasius para o perfil de velocidade laminar na camada limite sobre uma placa semi-infinita pode ser facilmente estendida para descrever as camadas limite Térmica e de Concentração para transferência de calor e massa, respectivamente. Em vez do equilíbrio diferencial do momento x (equação de movimento), é usado um balanço de energia e massa derivado de forma semelhante:

Energia:.

Massa:.

Para equilíbrio de momento, a viscosidade cinemática pode ser considerada como difusividade de momento. No balanço de energia é substituído pela difusividade térmica e pela difusividade de massa no balanço de massa. Na difusividade térmica de uma substância, é a sua condutividade térmica, é a sua densidade e é a sua capacidade calorífica. O subscrito AB denota a difusividade da espécie A que se difunde na espécie B.

Sob a suposição de que, essas equações tornam-se equivalentes ao equilíbrio de momento. Assim, para o número de Prandtl e o número de Schmidt a solução de Blasius se aplica diretamente.

Consequentemente, esta derivação utiliza uma forma relacionada das condições de contorno, substituindo ou (temperatura absoluta ou concentração da espécie A). O subscrito S denota uma condição de superfície.

Usando a função streamline, Blasius obteve a seguinte solução para a tensão de cisalhamento na superfície da placa.

E através das condições de contorno, sabemos disso.

As seguintes relações são fornecidas para o fluxo de calor/massa da superfície da placa.

Então pare.

onde estão as regiões de fluxo onde e são inferiores a 99% de seus valores de campo distante.[18]​.

Como o número de Prandtl de um fluido específico geralmente não é unitário, o engenheiro alemão E. Polhausen, que trabalhou com Ludwig Prandtl, tentou estender empiricamente essas equações para aplicá-las. Seus resultados também podem ser aplicados a .[19]​ Ele descobriu que para um número de Prandtl maior que 0,6, a espessura da camada limite térmica era aproximadamente dada por:.

A partir desta solução é possível caracterizar as constantes de transferência convectiva de calor/massa em função da região de fluxo da camada limite. Lei de Condução de Fourier#Lei de Fourier "Condução (calor)") e Lei de Resfriamento de Newton são combinadas com o termo de fluxo derivado acima e a espessura da camada limite.

Isso dá a constante convectiva local em um ponto do plano semi-infinito. A integração ao longo do comprimento da placa dá uma média.

Seguindo a derivação com termos de transferência de massa ( = constante de transferência de massa convectiva, = difusividade da espécie A na espécie B, ), são obtidas as seguintes soluções:.

Essas soluções são válidas para um fluxo laminar com número de Prandtl/Schmidt maior que 0,6.[18]​.

Este efeito foi explorado na turbina Tesla, patenteada por Nikola Tesla em 1913. É chamada de turbina sem pás porque utiliza o efeito da camada limite e não um fluido que colide com as pás como em uma turbina convencional. As turbinas de camada limite também são conhecidas como turbinas de coesão, turbinas sem pás e turbinas de camada Prandtl (em homenagem a Ludwig Prandtl).

Usando as equações de força transitória e viscosa para um fluxo cilíndrico, a espessura da camada limite transitória pode ser prevista encontrando o Número de Womersley ().

Força transitória =.

Força viscosa =.

Igualando-os juntos obtemos:

Resolver para delta dá:

Na forma adimensional:.

onde = número de Womersley; = densidade; = velocidade; ?; = comprimento da camada limite transitória; = viscosidade; = comprimento característico.

Usando as equações de força convectiva e viscosa na camada limite para um fluxo cilíndrico, as condições de fluxo convectivo na camada limite podem ser previstas encontrando o Número de Reynolds adimensional ().

Força convectiva:

Força viscosa:

Igualando-os juntos obtemos:

Resolver para delta dá:

Na forma adimensional:.

onde = número de Reynolds; = densidade; = velocidade; = comprimento da camada limite convectiva; = viscosidade; = comprimento característico.

La capa límite se estudia para analizar la variación de velocidades en la zona de contacto entre un fluido y un obstáculo que se encuentra en su seno o por el que se desplaza. La presencia de esta capa es debida principalmente a la existencia de la viscosidad, propiedad inherente de cualquier fluido. Esta es la causante de que el obstáculo produzca una variación en el movimiento de las líneas de corriente más próximas a él. El hecho de que la viscosidad sea importante invalida un análisis apresurado en función del principio de Bernoulli del origen de las fuerzas aerodinámicas ya que dicho principio sólo es de aplicación cuando las fuerzas viscosas sean despreciables.

En la atmósfera terrestre, la capa límite es la capa de aire cercana al suelo y que se ve afectada por la convección debida al intercambio diurno de calor, humedad y momento con el suelo.

En el caso de un sólido moviéndose en el interior de un fluido, una capa límite laminar proporciona menor resistencia al movimiento.

No caso de canais

A camada limite, em hidráulica, é a área de fluxo em um canal ou tubo, onde a rugosidade do tubo ou canal é fortemente sentida.

O efeito da camada limite no fluxo pode ser assimilado a um deslocamento fictício do fundo do canal para cima, para uma posição virtual. Esse deslocamento é chamado de espessura de deslocamento.

No início do fluxo em um canal que parte, por exemplo, de um reservatório ou lago, o fluxo é inteiramente laminar. Nestas situações, desenvolve-se uma camada limite laminar, cuja espessura aumenta. A partir de uma certa distância do início do canal, a camada limite torna-se turbulenta, sem desaparecer a camada limite laminar, cuja espessura tende assintoticamente a um valor que é função da velocidade, da viscosidade da água e da rugosidade das paredes e fundo do canal.[20]​.

• - Aerodinâmica.

• - Vorticidade.

• - Separação da camada limite.

• - Sucção da camada limite.

• - Camada limite de Blasius.

• - Camada limite Falkner-Skan.

• - Teoria perturbacional.

• - Tensão de cisalhamento.

• - Fernández Díez, Pedro. «VIII.- Teoria elementar da camada limite bidimensional», em Mecânica dos Fluidos. Departamento de Engenharia Elétrica e Energia. Universidade da Cantábria.

A camada limite aerodinâmica foi proposta pela primeira vez por Ludwig Prandtl em um artigo apresentado em 12 de agosto de 1904 no Terceiro Congresso Internacional de Matemáticos em Heidelberg, Alemanha. Ele simplifica as equações do fluxo de fluido dividindo o campo de fluxo em duas zonas: uma dentro da camada limite, dominada pela viscosidade e criando a maior parte da resistência "Resistência (fluidos)") experimentada pelo corpo limite; e outra fora da camada limite, onde a viscosidade pode ser desprezada sem efeitos significativos na solução. Isto permite uma solução de forma fechada (matemática) para o fluxo em ambas as zonas, fazendo simplificações significativas das equações completas de Navier-Stokes. A mesma hipótese é aplicável a outros fluidos (além do ar) de viscosidade moderada a baixa, como a água. No caso em que existe uma diferença de temperatura entre a superfície e o fluido, observa-se que a maior parte da transferência de calor de e para um corpo ocorre nas proximidades da camada limite de velocidade. Novamente, isso permite que as equações no campo de fluxo fora da camada limite sejam simplificadas. A distribuição de pressão ao longo da camada limite na direção normal à superfície (como um aerofólio) permanece relativamente constante ao longo da camada limite e é a mesma que na própria superfície.

A espessura da camada limite de velocidade é normalmente definida como a distância do corpo sólido até o ponto em que a velocidade do fluxo viscoso é 99% da velocidade da corrente livre (a velocidade superficial de um fluxo invíscido). A espessura de deslocamento ") é uma definição alternativa que afirma que a camada limite representa um déficit no fluxo de massa em comparação com o fluxo não viscoso com deslizamento de parede. É a distância que a parede teria que ser deslocada no caso não viscoso para obter o mesmo fluxo de massa total que no caso viscoso. A condição de não deslizamento requer que a velocidade do fluxo na superfície de um objeto sólido seja zero e que a temperatura do fluido seja igual à temperatura da superfície. A velocidade do fluxo aumentará rapidamente dentro da camada limite, governada pelo equações da camada limite, abaixo.

A espessura da camada limite térmica é a distância do corpo na qual a temperatura é 99% da temperatura da corrente livre. A relação entre as duas espessuras é governada pelo número de Prandtl. Se o número de Prandtl for 1, as duas camadas limites terão a mesma espessura. Se o número de Prandtl for maior que 1, a camada limite térmica é mais fina que a camada limite de velocidade. Se o número de Prandtl for menor que 1, o que é o caso do ar sob condições padrão, a camada limite térmica é mais espessa que a camada limite de velocidade.

Em projetos de alto desempenho, como planadores e aeronaves comerciais, muita atenção é dada ao controle do comportamento da camada limite para minimizar o arrasto. Dois efeitos devem ser levados em conta. Primeiro, a camada limite aumenta a espessura efetiva do corpo, através da espessura de deslocamento"), aumentando assim a resistência à pressão. Em segundo lugar, as forças de cisalhamento") na superfície da asa criam resistência ao atrito da pele.

Em números de Reynolds elevados, típicos de aeronaves de grande porte, é desejável ter uma camada limite laminar. Isso resulta em menor atrito da pele devido ao perfil de velocidade característico do fluxo laminar. No entanto, a camada limite inevitavelmente engrossa e se torna menos estável à medida que o fluxo se desenvolve ao longo do corpo, tornando-se eventualmente turbulento, um processo conhecido como transição da camada limite. a camada limite em direção à popa, remodelando o aerofólio ou fuselagem de modo que seu ponto mais espesso fique mais à ré e menos espesso. Desta forma, as velocidades na frente são reduzidas e o mesmo número de Reynolds é alcançado com um comprimento maior.

Em números de Reynolds baixos, como os observados em modelos de aviões, é relativamente fácil manter o fluxo laminar. Isto resulta em baixo atrito superficial, o que é desejável. No entanto, o mesmo perfil de velocidade que confere à camada limite laminar seu baixo atrito superficial também faz com que ela seja grandemente afetada por gradientes de pressão adversos. Quando a pressão começa a se recuperar na parte traseira da corda da asa, a camada limite laminar tenderá a se separar da superfície. Tal separação do fluxo causa um grande aumento na resistência à pressão, uma vez que aumenta grandemente o tamanho efetivo da seção da asa. Nestes casos, pode ser vantajoso causar deliberadamente turbulência na camada limite num ponto anterior à separação laminar, utilizando um turbulador. O perfil de velocidade mais completo da camada limite turbulenta permite manter o gradiente de pressão adverso sem se separar. Assim, embora o atrito superficial aumente, a resistência global diminui. Este é o princípio por trás das covinhas nas bolas de golfe e dos geradores de vórtices nos aviões. Também foram projetadas seções especiais da asa que adaptam a recuperação de pressão para reduzir ou até mesmo eliminar a separação laminar. Isto representa um compromisso ideal entre a resistência à pressão da separação do fluxo e o atrito superficial da turbulência induzida.

Ao usar semi-modelos em túneis de vento, um peniche&action=edit&redlink=1 "Peniche (dinâmica de fluidos) (ainda não elaborado)") é por vezes usado para reduzir ou eliminar o efeito da camada limite.

Contenido

La deducción de las ecuaciones de la capa límite fue uno de los avances más importantes en la dinámica de fluidos. Utilizando un análisis de orden de magnitud"), las conocidas ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el flujo viscoso de fluidos pueden simplificarse en gran medida dentro de la capa límite. pueden simplificarse en gran medida dentro de la capa límite. En particular, el [característica de la Ecuaciones diferenciales parciales (EDP) se convierte en parabólica, en lugar de la forma elíptica de las ecuaciones de Navier-Stokes completas. Esto simplifica enormemente la solución de las ecuaciones. Al hacer la aproximación de la capa límite, el flujo se divide en una parte no viscosa (que es fácil de resolver por varios métodos) y la capa límite, que se rige por una EDP más fácil de resolver. Las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes para un flujo incompresible bidimensional constante en coordenadas cartesianas vienen dadas por.

donde y son las componentes de la velocidad, es la densidad, es la presión, y es la viscosidad cinemática del fluido en un punto.

La aproximación establece que, para un número de Reynolds suficientemente alto, el flujo sobre una superficie puede dividirse en una región exterior de flujo no viscoso no afectado por la viscosidad (la mayor parte del flujo), y una región cercana a la superficie donde la viscosidad es importante (la capa límite). Sean y las velocidades de la corriente y transversal (normal a la pared) respectivamente dentro de la capa límite. Usando análisis de escala "Análisis de escala (matemáticas)"), se puede demostrar que las ecuaciones de movimiento anteriores se reducen dentro de la capa límite a ser.

y si el fluido es incompresible (como los líquidos en condiciones normales):.

El análisis del orden de magnitud supone que la escala de longitud en el sentido de la corriente es significativamente mayor que la escala de longitud transversal dentro de la capa límite. De ello se deduce que las variaciones de las propiedades en la dirección de la corriente son generalmente mucho menores que las de la dirección normal de la pared. Si se aplica esto a la ecuación de continuidad, se observa que , la velocidad normal de la pared, es pequeña comparada con , la velocidad en el sentido de la corriente.

Como la presión estática es independiente de , entonces la presión en el borde de la capa límite es la presión en toda la capa límite en una posición dada en el sentido de la corriente. La presión externa puede obtenerse mediante una aplicación de la ecuación de Bernoulli. Sea la velocidad del fluido fuera de la capa límite, donde y son ambas paralelas. Esto da al sustituir por el siguiente resultado.

Para un flujo en el que la presión estática tampoco cambia en la dirección del flujo.

si permanece constante.

Por lo tanto, la ecuación de movimiento se simplifica y pasa a ser.

Estas aproximaciones se utilizan en una variedad de problemas prácticos de flujo de interés científico y de ingeniería. El análisis anterior es para cualquier laminar instantáneo o turbulento, pero se utiliza principalmente en estudios de flujo laminar ya que el flujo medio es también el flujo instantáneo porque no hay fluctuaciones de velocidad presentes. Esta ecuación simplificada es una EDP parabólica y puede resolverse utilizando una solución de similitud a menudo denominada capa límite de Blasius.

Teorema de transposição de Prandtl

Prandtl observou que a partir de qualquer solução que satisfaça as equações da camada limite, outra solução, que também satisfaça as equações da camada limite, pode ser construída escrevendo [2].

onde é arbitrário. Como a solução não é única do ponto de vista matemático,[3]​ qualquer um de um conjunto infinito de autofunções pode ser adicionado à solução, conforme demonstrado por Stewartson").[4]​ e Paul A. Libby").[5]​[6]​.

O tratamento de camadas limites turbulentas é muito mais difícil devido à variação dependente do tempo das propriedades do fluxo. Uma das técnicas mais utilizadas para tratar escoamentos turbulentos é aplicar a decomposição de Reynolds. Nele, as propriedades instantâneas do fluxo são decompostas em uma componente média e uma componente flutuante, assumindo que a média da componente flutuante é sempre zero. Aplicando esta técnica às equações da camada limite, são obtidas as equações completas da camada limite turbulenta, que são raras na literatura:

Usando uma análise de ordem de grandeza semelhante, as equações acima podem ser reduzidas a termos de ordem principal. Escolhendo escalas de comprimento para mudanças na direção transversal e para mudanças na direção da corrente, com, a equação do momento x simplifica para:.

Esta equação não satisfaz a condição de não escorregamento da parede. Como Prandtl fez para suas equações da camada limite, uma nova escala de comprimento menor deve ser usada para permitir que o termo viscoso se torne a ordem principal na equação do momento. Escolhendo y como escala, a equação de momento de ordem principal para esta "camada limite interna" é dada por:.

No limite do número de Reynolds infinito, pode-se mostrar que o termo gradiente de pressão não tem efeito na região interna da camada limite turbulenta. A nova "escala de comprimento interno" é uma escala de comprimento viscosa, e é de ordem, sendo a escala de velocidade das flutuações turbulentas, neste caso uma velocidade de atrito.

Ao contrário das equações da camada limite laminar, a presença de dois regimes governados por diferentes conjuntos de escalas de fluxo (ou seja, a escala interna e externa) tornou difícil e controverso encontrar uma solução universalmente semelhante para a camada limite turbulenta. Para encontrar uma solução de similaridade que abranja ambas as regiões do fluxo, é necessário combinar assintoticamente as soluções de ambas as regiões do fluxo. Esta análise resultará nas chamadas Soluções de Lei de Parede ou Lei de Potência.

Abordagens semelhantes à análise anterior também foram aplicadas para camadas limite térmicas, usando a equação para energia em fluxos compressíveis.[7]​[8]​.

O termo adicional nas equações da camada limite turbulenta é conhecido como tensão de cisalhamento de Reynolds e é desconhecido a priori. Portanto, a solução das equações da camada limite turbulenta requer a utilização de um “modelo de turbulência”, cujo objetivo é expressar a tensão de cisalhamento de Reynolds em termos de variáveis ​​ou derivadas de fluxo conhecidas. A falta de precisão e generalidade de tais modelos é um grande obstáculo na previsão bem-sucedida de propriedades de fluxo turbulento na dinâmica de fluidos moderna.

Na região próxima à parede existe uma camada de tensão constante. Devido ao amortecimento das flutuações verticais de velocidade perto da parede, o termo de tensão de Reynolds será insignificante e descobriremos que existe um perfil de velocidade linear. Isto só é verdade para a região muito próxima da parede.

Em 1928, o engenheiro francês André Lévêque "observou que a transferência de calor por convecção em um fluido em movimento só é afetada por valores de velocidade muito próximos da superfície. distância da superfície Assim, para.

quando, então.

onde θ é a tangente da parábola de Poiseuille que intercepta a parede.

Embora a solução de Lévêque fosse específica para a transferência de calor em um fluxo de Poiseuille, seu conhecimento ajudou outros cientistas a encontrar uma solução exata para o problema da camada limite térmica.[11]​ Schuh observou que em uma camada limite, u é novamente uma função linear de y, mas que, neste caso, a tangente da parede é uma função de x.[12]​ Ele expressou isso com uma versão modificada do perfil de Lévêque.

Isto resulta numa aproximação muito boa, mesmo para números baixos, de modo que apenas metais líquidos com muito menos que 1 não podem ser tratados desta forma.[11]​.

Em 1962, Kestin e Persen publicaram um artigo no qual descreveram soluções para transferência de calor quando a camada limite térmica está completamente contida dentro da camada de momento e para várias distribuições de temperatura de parede.[13] Para o problema de uma placa plana com salto de temperatura, eles propuseram uma substituição que reduz a equação da camada limite térmica parabólica a uma equação diferencial ordinária. A solução desta equação, a temperatura em qualquer ponto do fluido, pode ser expressa como uma função gama incompleta.[10] Schlichting") propôs uma substituição equivalente que reduz a equação da camada limite térmica a uma equação diferencial ordinária cuja solução é a mesma função gama incompleta.[14]​.

Como é bem conhecido em vários livros didáticos, a transferência de calor tende a diminuir com o aumento da camada limite. Recentemente, foi observado em um caso prático em larga escala que o vento que flui através de um gerador fotovoltaico tende a "aprisionar" o calor nos painéis fotovoltaicos sob um regime turbulento devido à diminuição da transferência de calor.[15] Embora muitas vezes considerada inerentemente turbulenta, esta observação acidental demonstra que o vento natural se comporta na prática de forma muito semelhante a um fluido ideal, pelo menos numa observação que se assemelha ao comportamento esperado numa placa plana, reduzindo potencialmente a dificuldade de analisar este tipo de fenómeno numa escala maior.

Heinrich Blasius derivou uma solução exata para as equações da camada limite laminar acima. A espessura da camada limite é função do número de Reynolds para fluxo laminar.

A solução Blasius usa condições de contorno adimensionais:

Observe que, em muitos casos, a condição limite de não escorregamento sustenta que a velocidade do fluido na superfície da placa é igual à velocidade da placa em todos os lugares. Se a placa não se mover, então. Um desvio muito mais complicado é necessário se o deslizamento do fluido for permitido.[17]​.

Na verdade, a solução de Blasius para o perfil de velocidade laminar na camada limite sobre uma placa semi-infinita pode ser facilmente estendida para descrever as camadas limite Térmica e de Concentração para transferência de calor e massa, respectivamente. Em vez do equilíbrio diferencial do momento x (equação de movimento), é usado um balanço de energia e massa derivado de forma semelhante:

Energia:.

Massa:.

Para equilíbrio de momento, a viscosidade cinemática pode ser considerada como difusividade de momento. No balanço de energia é substituído pela difusividade térmica e pela difusividade de massa no balanço de massa. Na difusividade térmica de uma substância, é a sua condutividade térmica, é a sua densidade e é a sua capacidade calorífica. O subscrito AB denota a difusividade da espécie A que se difunde na espécie B.

Sob a suposição de que, essas equações tornam-se equivalentes ao equilíbrio de momento. Assim, para o número de Prandtl e o número de Schmidt a solução de Blasius se aplica diretamente.

Consequentemente, esta derivação utiliza uma forma relacionada das condições de contorno, substituindo ou (temperatura absoluta ou concentração da espécie A). O subscrito S denota uma condição de superfície.

Usando a função streamline, Blasius obteve a seguinte solução para a tensão de cisalhamento na superfície da placa.

E através das condições de contorno, sabemos disso.

As seguintes relações são fornecidas para o fluxo de calor/massa da superfície da placa.

Então pare.

onde estão as regiões de fluxo onde e são inferiores a 99% de seus valores de campo distante.[18]​.

Como o número de Prandtl de um fluido específico geralmente não é unitário, o engenheiro alemão E. Polhausen, que trabalhou com Ludwig Prandtl, tentou estender empiricamente essas equações para aplicá-las. Seus resultados também podem ser aplicados a .[19]​ Ele descobriu que para um número de Prandtl maior que 0,6, a espessura da camada limite térmica era aproximadamente dada por:.

A partir desta solução é possível caracterizar as constantes de transferência convectiva de calor/massa em função da região de fluxo da camada limite. Lei de Condução de Fourier#Lei de Fourier "Condução (calor)") e Lei de Resfriamento de Newton são combinadas com o termo de fluxo derivado acima e a espessura da camada limite.

Isso dá a constante convectiva local em um ponto do plano semi-infinito. A integração ao longo do comprimento da placa dá uma média.

Seguindo a derivação com termos de transferência de massa ( = constante de transferência de massa convectiva, = difusividade da espécie A na espécie B, ), são obtidas as seguintes soluções:.

Essas soluções são válidas para um fluxo laminar com número de Prandtl/Schmidt maior que 0,6.[18]​.

Este efeito foi explorado na turbina Tesla, patenteada por Nikola Tesla em 1913. É chamada de turbina sem pás porque utiliza o efeito da camada limite e não um fluido que colide com as pás como em uma turbina convencional. As turbinas de camada limite também são conhecidas como turbinas de coesão, turbinas sem pás e turbinas de camada Prandtl (em homenagem a Ludwig Prandtl).

Usando as equações de força transitória e viscosa para um fluxo cilíndrico, a espessura da camada limite transitória pode ser prevista encontrando o Número de Womersley ().

Força transitória =.

Força viscosa =.

Igualando-os juntos obtemos:

Resolver para delta dá:

Na forma adimensional:.

onde = número de Womersley; = densidade; = velocidade; ?; = comprimento da camada limite transitória; = viscosidade; = comprimento característico.

Usando as equações de força convectiva e viscosa na camada limite para um fluxo cilíndrico, as condições de fluxo convectivo na camada limite podem ser previstas encontrando o Número de Reynolds adimensional ().

Força convectiva:

Força viscosa:

Igualando-os juntos obtemos:

Resolver para delta dá:

Na forma adimensional:.

onde = número de Reynolds; = densidade; = velocidade; = comprimento da camada limite convectiva; = viscosidade; = comprimento característico.

La capa límite se estudia para analizar la variación de velocidades en la zona de contacto entre un fluido y un obstáculo que se encuentra en su seno o por el que se desplaza. La presencia de esta capa es debida principalmente a la existencia de la viscosidad, propiedad inherente de cualquier fluido. Esta es la causante de que el obstáculo produzca una variación en el movimiento de las líneas de corriente más próximas a él. El hecho de que la viscosidad sea importante invalida un análisis apresurado en función del principio de Bernoulli del origen de las fuerzas aerodinámicas ya que dicho principio sólo es de aplicación cuando las fuerzas viscosas sean despreciables.

En la atmósfera terrestre, la capa límite es la capa de aire cercana al suelo y que se ve afectada por la convección debida al intercambio diurno de calor, humedad y momento con el suelo.

En el caso de un sólido moviéndose en el interior de un fluido, una capa límite laminar proporciona menor resistencia al movimiento.

No caso de canais

A camada limite, em hidráulica, é a área de fluxo em um canal ou tubo, onde a rugosidade do tubo ou canal é fortemente sentida.

O efeito da camada limite no fluxo pode ser assimilado a um deslocamento fictício do fundo do canal para cima, para uma posição virtual. Esse deslocamento é chamado de espessura de deslocamento.

No início do fluxo em um canal que parte, por exemplo, de um reservatório ou lago, o fluxo é inteiramente laminar. Nestas situações, desenvolve-se uma camada limite laminar, cuja espessura aumenta. A partir de uma certa distância do início do canal, a camada limite torna-se turbulenta, sem desaparecer a camada limite laminar, cuja espessura tende assintoticamente a um valor que é função da velocidade, da viscosidade da água e da rugosidade das paredes e fundo do canal.[20]​.

• - Aerodinâmica.

• - Vorticidade.

• - Separação da camada limite.

• - Sucção da camada limite.

• - Camada limite de Blasius.

• - Camada limite Falkner-Skan.

• - Teoria perturbacional.

• - Tensão de cisalhamento.

• - Fernández Díez, Pedro. «VIII.- Teoria elementar da camada limite bidimensional», em Mecânica dos Fluidos. Departamento de Engenharia Elétrica e Energia. Universidade da Cantábria.