Contenido

El MEF fue al principio desarrollado en 1943 por Richard Courant, quien utilizó el método de Ritz de análisis numérico y minimización de las variables de cálculo para obtener soluciones aproximadas a un sistema de vibración. Poco después, un documento publicado en 1956 por M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, y L. J. Topp estableció una definición más amplia del análisis numérico.[7]​ El documento se centró en «la rigidez y deformación de estructuras complejas».

Con la llegada de los primeros ordenadores instaura el cálculo matricial de estructuras. Éste parte de la discretización de la estructura en elementos lineales tipo barra de los que se conoce su rigidez frente a los desplazamientos de sus nodos. Se plantea entonces un sistema de ecuaciones resultado de aplicar las ecuaciones de equilibrio a los nodos de la estructura. Este sistema de ecuaciones se esquematiza de la siguiente manera:.

Donde las incógnitas son los desplazamientos en los nodos (vector u) que se hallan a partir de las "fuerzas" o "solicitaciones" en los nodos (vector ) y de la rigidez de las barras (matriz de rigidez ). Conocidos dichos desplazamientos es posible determinar los esfuerzos en las barras. La solución obtenida es bastante precisa si se cumplen las hipótesis implícitas en la formulación.

Uso prático do método por volta de 1950

Quando os primeiros equipamentos informáticos chegaram, na década de 1950, o cálculo de estruturas encontrava-se num ponto em que os métodos de cálculo predominantes consistiam em métodos iterativos (métodos Cross e Kani) que eram realizados manualmente e, portanto, bastante tediosos. O cálculo de uma estrutura de edifício de vários andares, por exemplo, poderia levar várias semanas, o que representava um custo substancial de tempo em detrimento da possibilidade de investir tempo na otimização da estrutura.

A chegada do computador permitiu o ressurgimento do método de deslocamentos já conhecido nos séculos anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), mas que eram difíceis de aplicar porque no final levavam à resolução de enormes sistemas de equações inacessíveis do ponto de vista manual.

De 1960 a 1970

À medida que as aplicações práticas de elementos finitos cresceram em tamanho, o tempo de computação e os requisitos de memória dos computadores aumentaram. Nesse ponto, o desenvolvimento de algoritmos mais eficientes tornou-se importante. Para resolver os sistemas de equações, promove-se o estudo da adaptabilidade de algoritmos já conhecidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradiente Conjugado, etc.). Economizar tempo é impensável e com isso o uso do método matricial se espalha. Este desenvolvimento é especialmente notável em estruturas de edifícios onde a discretização dos pórticos em barras é praticamente imediata a partir das vigas e pilares.

No entanto, e apesar de desenvolver modelações de elementos superficiais utilizando barras (lajes com grelhas, elementos curvos utilizando aproximações de elementos rectos, etc.), surgem grandes dificuldades face a estruturas contínuas (superfícies e volumes) e com geometrias complexas. Portanto, é precisamente no campo aeroespacial que novas técnicas de FEM começam a ser desenvolvidas.

Dada a sua generalidade, o método foi estendido a outras áreas não estruturais como condução de calor, mecânica dos fluidos, etc., onde competiu com outros métodos numéricos como o método das diferenças finitas, que, embora mais intuitivo, mais uma vez apresentou dificuldades no planejamento de geometrias complexas.

Com a chegada dos centros de informática e dos primeiros programas comerciais na década de 60, o MEF, ao mesmo tempo em que se popularizou na indústria, reforçou suas bases teóricas nos centros universitários.

Na década de 70 houve um grande crescimento da bibliografia bem como a extensão do método a outros problemas como os não lineares. Nesta década, o MEF limitou-se a computadores mainframe caros, geralmente propriedade das indústrias aeronáutica, automóvel, de defesa e nuclear. Novos tipos de elementos são estudados e são lançados os rigorosos fundamentos matemáticos do método, que antes aparecia mais como uma técnica de engenharia do que como um método numérico da matemática.

Desde 1980

Por fim, a partir da década de 1980, com a difusão do uso de computadores pessoais, difundiu-se o uso de programas comerciais especializados em diversas áreas, estabelecendo-se o uso de pré e pós-processadores gráficos que realizam malhas e representação gráfica dos resultados. Continua o estudo da aplicação do método a novos modelos comportamentais (plasticidade, fratura, dano contínuo, etc.) e a análise de erros.

Atualmente, dentro da área estrutural, o MEF compartilha destaque com o método matricial, com muitos programas que misturam análises por ambos os métodos, principalmente devido à maior necessidade de memória exigida pela análise de elementos finitos. Assim, a aplicação do MEF foi deixada para a análise de elementos contínuos do tipo laje ou tela, enquanto os pórticos ainda estão sendo discretizados em barras e utilizando o método matricial. E desde o rápido declínio no custo dos computadores e o aumento fenomenal no poder computacional, o MEF desenvolveu uma precisão incrível. Hoje, os supercomputadores são capazes de fornecer resultados bastante precisos para todos os tipos de parâmetros.

El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro etapas:.

1. • El problema debe reformularse en forma variacional.

2. • El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial) debe dividirse mediante una partición "Partición (matemática)") en subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la partición anterior se construye un espacio vectorial de dimensión finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la solución numérica aproximada obtenida por elementos finitos una combinación lineal en dicho espacio vectorial.

3. • Se obtiene la proyección del problema variacional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la partición. Esto da lugar a un sistema con un número de ecuaciones finito, aunque en general con un número elevado de ecuaciones incógnitas. El número de incógnitas será igual a la dimensión del espacio vectorial de elementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimensión tanto mejor será la aproximación numérica obtenida.

4. • El último paso es el cálculo numérico de la solución del sistema de ecuaciones.

Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un problema de álgebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensión no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una proyección sobre un subespacio de dimensión finita, y por tanto con un número finito de ecuaciones (aunque en general el número de ecuaciones será elevado típicamente de miles o incluso centenares de miles). La discretización en elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de proyección sencillo, logrando además que la solución por el método de elementos finitos sea generalmente exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos coinciden usualmente con los vértices de los elementos finitos o puntos destacados de los mismos. Para la resolución concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los métodos convencionales del álgebra lineal en espacios de dimensión finita.

En lo que sigue d es la dimensión del dominio, n el número de elementos finitos y N el número de nodos total.

formulação fraca

A formulação fraca de uma equação diferencial permite-nos converter um problema de cálculo diferencial formulado em termos de equações diferenciais num problema de álgebra linear colocado num espaço de Banach, geralmente de dimensão não finita, mas que pode ser aproximado por um sistema finito de equações algébricas.

Dada uma equação diferencial linear da forma:.

Onde a solução é uma certa função definida em um domínio d-dimensional, e um conjunto de condições de contorno apropriadas foi especificado, pode-se assumir que a função procurada é um elemento de um espaço de funções ou espaço de Banach V e que a equação () é equivalente a:.

Onde V' é o espaço dual de V, a forma variacional fraca é obtida procurando a única solução tal que:.

Quando o operador linear é um operador elíptico, o problema pode ser declarado como um problema de minimização no espaço de Banach.

Discretização de domínio

Dado um domínio com um limite contínuo no sentido de Lipschitz, uma partição em n "elementos finitos", é uma coleção de n subdomínios que satisfazem:.

2. • Cada um é um conjunto compacto com uma fronteira contínua de Lipschitz.

Normalmente, por conveniência prática e simplicidade de análise, todos os “elementos finitos” possuem a mesma “forma”, ou seja, existe um domínio de referência e uma coleção de funções bijetivas:.

Este domínio de referência também é chamado de domínio isoparamétrico. Em análises 2D (d = 2) o domínio de referência é normalmente considerado um triângulo equilátero ou um quadrado, enquanto em análises 3D (d = 3), o domínio de referência é normalmente um tetraedro ou um hexaedro. Adicionalmente, em cada elemento serão considerados alguns pontos especiais, denominados nós e que geralmente incluirão os vértices do elemento finito e será necessária a condição adicional de que dois elementos adjacentes compartilhem os nós do subconjunto, ou seja:.

Uma vez definida a partição em elementos finitos, define-se um espaço funcional de dimensão finita sobre cada elemento, geralmente formado por polinômios. Este espaço funcional servirá para aproximar localmente a solução do problema variacional. O problema variacional na sua forma fraca é colocado num espaço de dimensão não finita e, portanto, a função procurada será uma função desse espaço. O problema nessa forma exata é computacionalmente intratável, portanto, na prática, um subespaço de dimensão finita do espaço vetorial original será considerado. E em vez da solução exata de (), calcula-se a projeção da solução original no referido subespaço vetorial de dimensão finita, ou seja, o seguinte problema será resolvido numericamente:

Onde:.

Se a discretização for suficientemente fina e o espaço funcional finito sobre cada elemento for bem escolhido, a solução numérica obtida aproximar-se-á razoavelmente bem da solução original. Isto geralmente implicará considerar um número muito elevado de elementos finitos e, portanto, um subespaço de projeção de alta dimensão. O erro entre a solução exata e a solução aproximada pode ser limitado graças ao lema de Ceá"), que afirma essencialmente que a solução exata e a solução aproximada satisfazem:.

Ou seja, o erro dependerá sobretudo de quão bem o subespaço vetorial associado à discretização em elementos fintio se aproxima do espaço vetorial original.

Funções de forma e espaço de solução

Existem muitas maneiras de escolher um conjunto de funções que formam uma base vetorial para aproximar a solução exata do problema. Do ponto de vista prático é útil definir um espaço vetorial de dimensão finita definido no domínio de referência formado por todos os polinômios de grau igual ou menor que um certo grau:.

Então, através das aplicações que aplicam o domínio de referência a cada elemento finito, o espaço vetorial que servirá para aproximar a solução é definido como:

Quando é uma função linear e o espaço é composto por polinômios então a restrição também é um polinômio. O espaço vetorial é um espaço polinomial em que a base desse espaço é formada por funções de forma, que dado o conjunto de nós do domínio de referência são definidas como:

Isso nos permite definir exclusivamente funções de forma no domínio real no qual o problema é definido:

Estas funções podem ser estendidas a todo o domínio, graças ao fato de que o conjunto de subdomínios ou elementos finitos constitui uma partição de todo o domínio:

As funções de forma permitem que qualquer função definida no domínio original seja projetada no espaço de elementos finitos usando o projetor:.

Resolvendo as equações

Dada uma base associada a uma certa discretização do domínio, como aquela dada pelas funções, a forma fraca do problema (quando a função é bilinear) pode ser escrita como uma equação matricial simples:

Onde N é o número de nós. Agrupando os termos e levando em consideração que v^h é arbitrário e que, portanto, a equação anterior deve ser cumprida para qualquer valor do referido vetor arbitrário, temos:

Esta é a forma comum do sistema de equações de um problema de elemento associado a uma equação diferencial linear, independente do tempo. Esta última forma é justamente a forma () da revisão histórica. Para resolver numericamente o sistema de equações (), que geralmente consiste em milhares ou mesmo centenas de milhares de equações, são necessários algoritmos eficientes que otimizem o número de operações que devem ser realizadas e economizem memória.

Em geral, as complicações computacionais que devem ser resolvidas na resolução numérica são:

1. • O cálculo da matriz de coeficientes, geralmente requer integração numérica aproximada, o que é uma nova fonte de erros no cálculo do FEM.

2. • A utilização de um método eficiente para resolver o sistema de equações obtido. Por exemplo, o método de Cramer é totalmente impraticável, pois um computador com cerca de 10 GFlops levaria mais de 2 anos para resolver o sistema por este método, enquanto se o método de eliminação gaussiana fosse usado levaria menos de um décimo milésimo de segundo.

Para compreender a necessidade de integração numérica, precisamos ver qual é a forma típica da forma fraca do problema, expressa em termos de subdomínios ou elementos finitos. Essa forma fraca envolve integrais da forma:.

Onde:.

Aproximação de erro

Segundo o lema de Ceá (), o erro cometido na aproximação de uma solução exata utilizando elementos finitos é limitado pelo erro de aproximação, ou seja, a solução obtida através do MEF é melhor a aproximação. Como o erro de aproximação depende crucialmente do tamanho dos elementos, quanto maior o seu número, sendo iguais os outros fatores, menor será o erro de aproximação. Abaixo limitamos este erro de aproximação que limitará o erro da solução de elementos finitos.

Para fazer isso precisamos definir o diâmetro de cada subdomínio ou elemento finito:

h é uma medida da finura da discretização e é o máximo dos valores acima. Pode-se verificar que o erro de aproximação (e portanto o erro da solução utilizando elementos finitos) é limitado por:.

Onde:.

sendo um multiíndice e a derivada parcial de u associada a ele. A norma do espaço L(Ω).

El MEF es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. La solución obtenida por MEF es solo aproximada, coincidiendo con la solución exacta solo en un número finito de puntos llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la solución aproximada se obtiene interpolando a partir de los resultados obtenidos para los nodos, lo cual hace que la solución sea solo aproximada debido a ese último paso.

El MEF convierte un problema definido en términos de ecuaciones diferenciales en un problema en forma matricial que proporciona el resultado correcto para un número finito de puntos e interpola posteriormente la solución al resto del dominio, resultando finalmente solo una solución aproximada. El conjunto de puntos donde la solución es exacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjunto de nodos forma una red, denominada malla formada por retículos. Cada uno de los retículos contenidos en dicha malla es un «elemento finito». El conjunto de nodos se obtiene dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma variada (pueden ser superficies, volúmenes y barras).

Desde el punto de vista de la programación algorítmica modular las tareas necesarias para llevar a cabo un cálculo mediante un programa MEF se dividen en:.

• - Preproceso, que consiste en la definición de geometría, generación de la malla, las condiciones de contorno y asignación de propiedades a los materiales y otras propiedades. En ocasiones existen operaciones cosméticas de regularización de la malla y precondicionamiento para garantizar una mejor aproximación o una mejor convergencia del cálculo.

• - Cálculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependiente del tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N incógnitas, que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no lineal o un problema dependiente del tiempo a veces el cálculo consiste en una sucesión finita de sistemas de N ecuaciones y N incógnitas que deben resolverse uno a continuación de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior.

• - Postproceso, el cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos de la malla que define la discretización, en el postproceso se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se aplican operaciones de suavizado, interpolación e incluso determinación de errores de aproximación.

Pré-processamento e geração de malha

A malha é gerada e geralmente consiste em milhares (e até centenas de milhares) de pontos. Informações sobre as propriedades do material e outras características do problema são armazenadas juntamente com informações que descrevem a malha. Por outro lado, as forças, fluxos térmicos ou temperaturas são reatribuídas aos pontos da malha. Os nós de malha recebem uma densidade em todo o material, dependendo do nível de tensão mecânica ou outra propriedade. As regiões que receberão muito estresse normalmente têm uma densidade de nós (densidade de malha) mais alta do que aquelas que sofrem pouco ou nenhum. Os pontos de interesse consistem em: pontos de fratura de materiais previamente testados, reentrâncias, cantos, detalhes complexos e áreas de alta tensão. A malha atua como uma teia de aranha, pois de cada nó um elemento de malha se estende até cada nó adjacente. Esse tipo de rede vetorial é o que traz as propriedades do material para o objeto, criando diversos elementos.

As tarefas atribuídas ao pré-processo são:

1. • O continuum divide-se, por meio de linhas ou superfícies imaginárias, num número de elementos finitos. Esta parte do processo geralmente é desenvolvida usando algoritmos incorporados em programas de computador de malha durante o estágio de pré-processamento.

2. • Supõe-se que os elementos estão ligados entre si por um número discreto de pontos ou “nós”, localizados nos seus contornos. Os deslocamentos destes nós serão as incógnitas fundamentais do problema, como ocorre na análise simples de estruturas pelo método matricial.

3. • É tomado um conjunto de funções que definem unicamente o campo de deslocamentos dentro de cada elemento finito com base nos deslocamentos nodais do referido elemento. Por exemplo, o campo de deslocamento dentro de um elemento linear de dois nós poderia ser definido por: u = N**u + N**u, com N e N sendo as funções comentadas (funções de forma) e u1 e u2 sendo os deslocamentos no nó 1 e no nó 2.

4. • Estas funções de deslocamento definirão então de forma única o estado de deformação do elemento com base nos deslocamentos nodais. Estas deformações, juntamente com as propriedades constitutivas do material, irão por sua vez definir o estado de tensão em todo o elemento e, consequentemente, nos seus contornos.

5. • Determina-se um sistema de forças concentradas nos nós, tal que equilibra as tensões no contorno e eventuais cargas distribuídas, resultando assim numa relação entre forças e deslocamentos da forma F = K·u, que como vemos é semelhante à do cálculo da matriz.

Cálculo e resolução de sistemas de equações

Em um problema mecânico linear não dependente do tempo, como um problema de análise estrutural estática ou um problema elástico, o cálculo geralmente se reduz a obter os deslocamentos nos nós e com eles definir aproximadamente o campo de deslocamentos no elemento finito.

Quando o problema é não linear, em geral, a aplicação de forças requer a aplicação incremental de forças e considerando incrementos numéricos, e calculando em cada incremento algumas grandezas referidas aos nós. Algo semelhante acontece com problemas dependentes do tempo, para os quais se considera uma sucessão de instantes, geralmente bastante próximos no tempo, e se considera o equilíbrio instantâneo em cada instante. Em geral, estes dois últimos tipos de problemas requerem um tempo de cálculo substancialmente maior do que num problema estacionário e linear.

Pós-processamento

Atualmente, o MEF é utilizado para calcular problemas tão complexos que os arquivos gerados a partir do MEF possuem uma quantidade de dados tal que é conveniente processá-los de alguma forma adicional para torná-los mais compreensíveis e ilustrar diferentes aspectos do problema.

Na etapa de pós-processamento, os resultados obtidos na resolução do sistema são tratados para obter representações gráficas e obter magnitudes derivadas que permitem tirar conclusões do problema.

O pós-processamento do FEM geralmente requer software adicional para organizar os dados de saída de tal forma que o resultado seja mais facilmente compreendido e permita decidir se certas consequências do problema são aceitáveis ​​ou não. No cálculo de estruturas, por exemplo, o pós-processamento pode incluir verificações adicionais para verificar se uma estrutura cumpre os requisitos das normas relevantes, calculando se as tensões admissíveis são excedidas ou se existe a possibilidade de encurvadura na estrutura.

Problemas termomecânicos

Uma ampla gama de funções objetivo (variáveis ​​do sistema) está disponível para minimização ou maximização:

• - Massa, volume, temperatura.

• - Energia de tensão, esforço de tensão.

• - Força, deslocamento, velocidade, aceleração.

• - Sintético (definido pelo usuário).

Existem várias condições de carregamento que podem ser aplicadas ao sistema. Alguns exemplos são:

• - Cargas centrífugas pontuais, de pressão, térmicas, gravitacionais e estáticas.

• - Cargas térmicas de soluções de análise de transmissão de calor.

• - Deslocamentos forçados.

• - Fluxo de calor e convecção.

• - Cargas pontuais, de pressão e de gravidade dinâmica.

Cada programa MEF pode vir com uma biblioteca de elementos ou uma que é construída ao longo do tempo. Alguns exemplos de elementos são:

• - Elementos do tipo barra.

• - Elementos tipo viga.

• - Elementos Placa/Casca/Composto.

• - Painel sanduíche.

• - Elementos sólidos.

• - Elementos do tipo mola.

• - Elementos de massa.

• - Elementos rígidos.

• - Elementos de amortecimento viscosos.

Muitos programas MEF também estão equipados com a capacidade de usar vários materiais na estrutura, tais como:.

• - Modelos elásticos isotrópicos/ortotrópicos/anisotrópicos gerais.

• - Materiais homogêneos/heterogêneos.

• - Modelos de plasticidade.

• - Modelos viscosos.

El programador puede insertar numerosos algoritmos o funciones que pueden hacer al sistema comportarse de manera lineal o no lineal. Los sistemas lineales son menos complejos y normalmente no tienen en cuenta deformaciones plásticas. Los sistemas no lineales") toman en cuenta las deformaciones plásticas, y algunos incluso son capaces de verificar si se presentaría fractura en el material.

Algunos tipos de análisis ingenieriles comunes que usan el método de los elementos finitos son:.

• - Análisis estático se emplea cuando la estructura está sometida a acciones estáticas, es decir, no dependientes del tiempo.

• - Análisis vibracional es usado para analizar la estructura sometido a vibraciones aleatorias, choques e impactos. Cada uno de estas acciones puede actuar en la frecuencia natural de la estructura y causar resonancia y el consecuente fallo.

• - Análisis de fatiga ayuda a los diseñadores a predecir la vida del material o de la estructura, prediciendo el efecto de los ciclos de carga sobre el espécimen. Este análisis puede mostrar las áreas donde es más probable que se presente una grieta. El análisis por fatiga puede también predecir la tolerancia al fallo del material.

Los modelos de análisis de transferencia de calor por conductividad o por dinámicas térmicas de flujo del material o la estructura. El estado continuo de transferencia se refiere a las propiedades térmicas en el material que tiene una difusión lineal de calor.

Resultados MEF

O FEM tornou-se uma solução para a tarefa de prever falhas devido a tensões desconhecidas, ensinando os problemas de distribuição de tensões no material e permitindo que os projetistas vejam todas as tensões envolvidas. Este método de projeto e teste de produto é melhor do que tentativa e erro, onde os custos de fabricação associados à construção de cada amostra para teste devem ser mantidos.

As grandes vantagens do cálculo computacional podem ser resumidas como:

• - Possibilita o cálculo de estruturas que, quer pelo grande número de operações que a sua resolução apresenta (quadros de vários pisos, por exemplo) quer pelo seu tédio (quadros espaciais, por exemplo) eram, na prática, inacessíveis através do cálculo manual.

• - Na maioria dos casos reduz o risco de erros operacionais a limites insignificantes.

MEF de ordem superior

Os últimos avanços nesta área indicam que o seu futuro reside em métodos de adaptação de ordem superior, que respondam satisfatoriamente à crescente complexidade das simulações de engenharia e satisfaçam a tendência geral de resolução simultânea de fenómenos com múltiplas escalas. Entre as diversas estratégias de adaptação para elementos finitos, os melhores resultados podem ser alcançados com hp-adaptability. A adaptabilidade orientada a objetivos é baseada na adaptação da malha de elementos finitos, com o objetivo de melhorar a resolução em uma quantidade específica de interesse (em vez de minimizar o erro

da aproximação em alguma norma global), e hp-adaptabilidade é baseada na combinação de refinamentos espaciais (h-adaptabilidade), com uma variação simultânea da ordem do polinômio de aproximação (p-adaptabilidade). Há exemplos em que a 'adaptabilidade HP' acabou sendo a única maneira de resolver o problema com o nível de precisão exigido.

Limitações

Em geral, o FEM utilizado atualmente tem algumas limitações:

• - O FEM calcula soluções numéricas específicas adaptadas a determinados dados de entrada; uma simples análise de sensibilidade não pode ser realizada para determinar como a solução irá variar se algum dos parâmetros for ligeiramente alterado.[8] Ou seja, fornece apenas respostas numéricas quantitativas específicas, e não relações qualitativas gerais.

• - O FEM fornece uma solução aproximada cuja margem de erro é geralmente desconhecida. Embora alguns tipos de problemas permitam limitar o erro da solução, devido aos vários tipos de aproximações utilizadas pelo método, problemas não lineares ou dependentes do tempo em geral não nos permitem conhecer o erro.

• - No MEF, a maioria das aplicações práticas requerem muito tempo para ajustar detalhes da geometria, com problemas frequentes de mau condicionamento das malhas, grau desigual de convergência da solução aproximada para a solução exata em diferentes pontos, etc. Em geral, uma simulação requer a utilização de numerosos testes e ensaios com geometrias simplificadas ou casos menos gerais do que aquele que finalmente se pretende simular, antes de começar a obter resultados satisfatórios.

En problemas dinámicos, donde las magnitudes cambian a lo largo del tiempo, existen diversos métodos para integrar en el tiempo. En ambos métodos se discretiza el tiempo, por lo que se considera la solución solo para un cierto número de instantes (para el resto de valores del tiempo se puede interpolar la solución por intervalos). La diferencia entre un instante en el que se busca la solución y el siguiente se denomina, paso de tiempo. Las dos principales variantes del cálculo por FEM son:.

• - Método implícito, que requieren resolver a cada paso de tiempo un sistema de ecuaciones, aunque pueden usarse pasos de tiempo más largos.

• - Método explícito, que no requieren resolver un sistema de ecuaciones a cada paso de tiempo, aunque debido a que la convergencia no siempre está asegurada el paso de tiempo debe escogerse convenientemente pequeño.

O método implícito

Esses cálculos são geralmente usados ​​para cálculos de rigidez (embora às vezes também possam ser calculados dinamicamente). Entre os métodos implícitos, alguns são incondicionalmente convergentes (não divergem exponencialmente da solução exata) apenas para uma certa escolha fixa de parâmetros do método.

Cálculos pelo método implícito (ou semi-implícito para a parte mais rígida do sistema) requerem muito mais tempo de computação para dar um passo no tempo, pois devem inverter uma matriz de tamanho muito grande, por esse motivo costumam ser utilizados métodos iterativos, em vez de métodos diretos, como aqueles associados ao subespaço de Krylov. Em compensação, intervalos de tempo muito maiores podem ser usados, pois são estáveis.

O método explícito

Um método explícito é aquele que não requer a solução de um sistema de equações não trivial em cada intervalo de tempo. Nestes cálculos é realizada uma simulação com modificação da malha ao longo do tempo. Em geral, os métodos explícitos requerem menos tempo de computação do que os métodos implícitos, embora frequentemente apresentem o problema de não serem incondicionalmente convergentes e requerem primeiro a avaliação do intervalo de tempo máximo para que a computação seja numericamente estável. Os métodos explícitos são geralmente convergentes condicionalmente, mas não convergem incondicionalmente, portanto, o intervalo de tempo usado no esquema de diferenças finitas deve ser menor que um determinado valor:.

Em elementos finitos explícitos, o uso de elementos simples, como quadriláteros com ponto de integração e estabilização contra modos de energia zero, é preferível a elementos de ordem superior.

Métodos explícitos encontram seu campo ideal de aplicação em problemas de dinâmica rápida, nos quais ocorrem fortes não linearidades e o uso de pequenos intervalos de tempo torna-se uma necessidade.

Uma vantagem importante do método explícito é a resolução das equações a nível exclusivamente local, sem nunca colocar sistemas de equações globais acopladas. Isto permite o uso de algoritmos elemento por elemento, que facilitam o cálculo paralelo. Apresentados como métodos de relaxação dinâmica ou de relaxação viscosa, eles são enquadrados em conjunto com métodos iterativos para resolver equações não lineares, como métodos de relaxação de Gauss-Seidel, ou gradiente conjugado pré-condicionado com técnicas elemento por elemento. Sendo muito interessante para cálculo paralelo.

• - Método dos volumes finitos.

• - Método das diferenças finitas.

• - K. J. Bathe (1995): Procedimentos de Elementos Finitos, Prentice Hall, 2ª edição.

• - P. G. Ciarlet (1978): O Método dos Elementos Finitos para Problemas Elípticos, Holanda do Norte, Amsterdã, 1978.

• - P. G. Ciarlet (1991): Estimativas básicas de erro para problemas elípticos em Handbook of Numerical Analysis (Vol II) J.L. Lions e P. G. Ciarlet (ed.), Holanda do Norte, Amsterdã, 1991, p. 17-351.

• - O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor (1994): O Método dos Elementos Finitos, volumes 1 e 2. CIMNE-Mc Graw Hill, 1994.

• - E. Oñate (1995): Cálculo de Estruturas pelo Método dos Elementos Finitos, CIMNE, Barcelona, ​​​​1995.

• - M. Cerrolaza (2007): O Método dos Elementos Finitos em Engenharia e Ciências Aplicadas: Teoria e Programas, CDCH-UCV, Caracas, 2007.

• - J. J. Benito Muñoz, R. Álvarez Cabal, F. Ureña Prieto, E. Salete Casino, E. Aranda Ortega (2014): Introdução ao Método dos Elementos Finitos, UNED, Madrid, 2014.

• - Análise de Elementos Finitos.

• - Método dos elementos finitos em mecânica estrutural.

• - Campo rápido.

• - Análise de um Desvio Ferroviário pelo Método dos Elementos Finitos (Projecto de Conclusão de Curso de Engenharia Mecânica da Universidade de Oviedo), Capa, Anexo.

Contenido

El MEF fue al principio desarrollado en 1943 por Richard Courant, quien utilizó el método de Ritz de análisis numérico y minimización de las variables de cálculo para obtener soluciones aproximadas a un sistema de vibración. Poco después, un documento publicado en 1956 por M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, y L. J. Topp estableció una definición más amplia del análisis numérico.[7]​ El documento se centró en «la rigidez y deformación de estructuras complejas».

Con la llegada de los primeros ordenadores instaura el cálculo matricial de estructuras. Éste parte de la discretización de la estructura en elementos lineales tipo barra de los que se conoce su rigidez frente a los desplazamientos de sus nodos. Se plantea entonces un sistema de ecuaciones resultado de aplicar las ecuaciones de equilibrio a los nodos de la estructura. Este sistema de ecuaciones se esquematiza de la siguiente manera:.

Donde las incógnitas son los desplazamientos en los nodos (vector u) que se hallan a partir de las "fuerzas" o "solicitaciones" en los nodos (vector ) y de la rigidez de las barras (matriz de rigidez ). Conocidos dichos desplazamientos es posible determinar los esfuerzos en las barras. La solución obtenida es bastante precisa si se cumplen las hipótesis implícitas en la formulación.

Uso prático do método por volta de 1950

Quando os primeiros equipamentos informáticos chegaram, na década de 1950, o cálculo de estruturas encontrava-se num ponto em que os métodos de cálculo predominantes consistiam em métodos iterativos (métodos Cross e Kani) que eram realizados manualmente e, portanto, bastante tediosos. O cálculo de uma estrutura de edifício de vários andares, por exemplo, poderia levar várias semanas, o que representava um custo substancial de tempo em detrimento da possibilidade de investir tempo na otimização da estrutura.

A chegada do computador permitiu o ressurgimento do método de deslocamentos já conhecido nos séculos anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), mas que eram difíceis de aplicar porque no final levavam à resolução de enormes sistemas de equações inacessíveis do ponto de vista manual.

De 1960 a 1970

À medida que as aplicações práticas de elementos finitos cresceram em tamanho, o tempo de computação e os requisitos de memória dos computadores aumentaram. Nesse ponto, o desenvolvimento de algoritmos mais eficientes tornou-se importante. Para resolver os sistemas de equações, promove-se o estudo da adaptabilidade de algoritmos já conhecidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradiente Conjugado, etc.). Economizar tempo é impensável e com isso o uso do método matricial se espalha. Este desenvolvimento é especialmente notável em estruturas de edifícios onde a discretização dos pórticos em barras é praticamente imediata a partir das vigas e pilares.

No entanto, e apesar de desenvolver modelações de elementos superficiais utilizando barras (lajes com grelhas, elementos curvos utilizando aproximações de elementos rectos, etc.), surgem grandes dificuldades face a estruturas contínuas (superfícies e volumes) e com geometrias complexas. Portanto, é precisamente no campo aeroespacial que novas técnicas de FEM começam a ser desenvolvidas.

Dada a sua generalidade, o método foi estendido a outras áreas não estruturais como condução de calor, mecânica dos fluidos, etc., onde competiu com outros métodos numéricos como o método das diferenças finitas, que, embora mais intuitivo, mais uma vez apresentou dificuldades no planejamento de geometrias complexas.

Com a chegada dos centros de informática e dos primeiros programas comerciais na década de 60, o MEF, ao mesmo tempo em que se popularizou na indústria, reforçou suas bases teóricas nos centros universitários.

Na década de 70 houve um grande crescimento da bibliografia bem como a extensão do método a outros problemas como os não lineares. Nesta década, o MEF limitou-se a computadores mainframe caros, geralmente propriedade das indústrias aeronáutica, automóvel, de defesa e nuclear. Novos tipos de elementos são estudados e são lançados os rigorosos fundamentos matemáticos do método, que antes aparecia mais como uma técnica de engenharia do que como um método numérico da matemática.

Desde 1980

Por fim, a partir da década de 1980, com a difusão do uso de computadores pessoais, difundiu-se o uso de programas comerciais especializados em diversas áreas, estabelecendo-se o uso de pré e pós-processadores gráficos que realizam malhas e representação gráfica dos resultados. Continua o estudo da aplicação do método a novos modelos comportamentais (plasticidade, fratura, dano contínuo, etc.) e a análise de erros.

Atualmente, dentro da área estrutural, o MEF compartilha destaque com o método matricial, com muitos programas que misturam análises por ambos os métodos, principalmente devido à maior necessidade de memória exigida pela análise de elementos finitos. Assim, a aplicação do MEF foi deixada para a análise de elementos contínuos do tipo laje ou tela, enquanto os pórticos ainda estão sendo discretizados em barras e utilizando o método matricial. E desde o rápido declínio no custo dos computadores e o aumento fenomenal no poder computacional, o MEF desenvolveu uma precisão incrível. Hoje, os supercomputadores são capazes de fornecer resultados bastante precisos para todos os tipos de parâmetros.

El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro etapas:.

1. • El problema debe reformularse en forma variacional.

2. • El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial) debe dividirse mediante una partición "Partición (matemática)") en subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la partición anterior se construye un espacio vectorial de dimensión finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la solución numérica aproximada obtenida por elementos finitos una combinación lineal en dicho espacio vectorial.

3. • Se obtiene la proyección del problema variacional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la partición. Esto da lugar a un sistema con un número de ecuaciones finito, aunque en general con un número elevado de ecuaciones incógnitas. El número de incógnitas será igual a la dimensión del espacio vectorial de elementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimensión tanto mejor será la aproximación numérica obtenida.

4. • El último paso es el cálculo numérico de la solución del sistema de ecuaciones.

Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un problema de álgebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensión no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una proyección sobre un subespacio de dimensión finita, y por tanto con un número finito de ecuaciones (aunque en general el número de ecuaciones será elevado típicamente de miles o incluso centenares de miles). La discretización en elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de proyección sencillo, logrando además que la solución por el método de elementos finitos sea generalmente exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos coinciden usualmente con los vértices de los elementos finitos o puntos destacados de los mismos. Para la resolución concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los métodos convencionales del álgebra lineal en espacios de dimensión finita.

En lo que sigue d es la dimensión del dominio, n el número de elementos finitos y N el número de nodos total.

formulação fraca

A formulação fraca de uma equação diferencial permite-nos converter um problema de cálculo diferencial formulado em termos de equações diferenciais num problema de álgebra linear colocado num espaço de Banach, geralmente de dimensão não finita, mas que pode ser aproximado por um sistema finito de equações algébricas.

Dada uma equação diferencial linear da forma:.

Onde a solução é uma certa função definida em um domínio d-dimensional, e um conjunto de condições de contorno apropriadas foi especificado, pode-se assumir que a função procurada é um elemento de um espaço de funções ou espaço de Banach V e que a equação () é equivalente a:.

Onde V' é o espaço dual de V, a forma variacional fraca é obtida procurando a única solução tal que:.

Quando o operador linear é um operador elíptico, o problema pode ser declarado como um problema de minimização no espaço de Banach.

Discretização de domínio

Dado um domínio com um limite contínuo no sentido de Lipschitz, uma partição em n "elementos finitos", é uma coleção de n subdomínios que satisfazem:.

2. • Cada um é um conjunto compacto com uma fronteira contínua de Lipschitz.

Normalmente, por conveniência prática e simplicidade de análise, todos os “elementos finitos” possuem a mesma “forma”, ou seja, existe um domínio de referência e uma coleção de funções bijetivas:.

Este domínio de referência também é chamado de domínio isoparamétrico. Em análises 2D (d = 2) o domínio de referência é normalmente considerado um triângulo equilátero ou um quadrado, enquanto em análises 3D (d = 3), o domínio de referência é normalmente um tetraedro ou um hexaedro. Adicionalmente, em cada elemento serão considerados alguns pontos especiais, denominados nós e que geralmente incluirão os vértices do elemento finito e será necessária a condição adicional de que dois elementos adjacentes compartilhem os nós do subconjunto, ou seja:.

Uma vez definida a partição em elementos finitos, define-se um espaço funcional de dimensão finita sobre cada elemento, geralmente formado por polinômios. Este espaço funcional servirá para aproximar localmente a solução do problema variacional. O problema variacional na sua forma fraca é colocado num espaço de dimensão não finita e, portanto, a função procurada será uma função desse espaço. O problema nessa forma exata é computacionalmente intratável, portanto, na prática, um subespaço de dimensão finita do espaço vetorial original será considerado. E em vez da solução exata de (), calcula-se a projeção da solução original no referido subespaço vetorial de dimensão finita, ou seja, o seguinte problema será resolvido numericamente:

Onde:.

Se a discretização for suficientemente fina e o espaço funcional finito sobre cada elemento for bem escolhido, a solução numérica obtida aproximar-se-á razoavelmente bem da solução original. Isto geralmente implicará considerar um número muito elevado de elementos finitos e, portanto, um subespaço de projeção de alta dimensão. O erro entre a solução exata e a solução aproximada pode ser limitado graças ao lema de Ceá"), que afirma essencialmente que a solução exata e a solução aproximada satisfazem:.

Ou seja, o erro dependerá sobretudo de quão bem o subespaço vetorial associado à discretização em elementos fintio se aproxima do espaço vetorial original.

Funções de forma e espaço de solução

Existem muitas maneiras de escolher um conjunto de funções que formam uma base vetorial para aproximar a solução exata do problema. Do ponto de vista prático é útil definir um espaço vetorial de dimensão finita definido no domínio de referência formado por todos os polinômios de grau igual ou menor que um certo grau:.

Então, através das aplicações que aplicam o domínio de referência a cada elemento finito, o espaço vetorial que servirá para aproximar a solução é definido como:

Quando é uma função linear e o espaço é composto por polinômios então a restrição também é um polinômio. O espaço vetorial é um espaço polinomial em que a base desse espaço é formada por funções de forma, que dado o conjunto de nós do domínio de referência são definidas como:

Isso nos permite definir exclusivamente funções de forma no domínio real no qual o problema é definido:

Estas funções podem ser estendidas a todo o domínio, graças ao fato de que o conjunto de subdomínios ou elementos finitos constitui uma partição de todo o domínio:

As funções de forma permitem que qualquer função definida no domínio original seja projetada no espaço de elementos finitos usando o projetor:.

Resolvendo as equações

Dada uma base associada a uma certa discretização do domínio, como aquela dada pelas funções, a forma fraca do problema (quando a função é bilinear) pode ser escrita como uma equação matricial simples:

Onde N é o número de nós. Agrupando os termos e levando em consideração que v^h é arbitrário e que, portanto, a equação anterior deve ser cumprida para qualquer valor do referido vetor arbitrário, temos:

Esta é a forma comum do sistema de equações de um problema de elemento associado a uma equação diferencial linear, independente do tempo. Esta última forma é justamente a forma () da revisão histórica. Para resolver numericamente o sistema de equações (), que geralmente consiste em milhares ou mesmo centenas de milhares de equações, são necessários algoritmos eficientes que otimizem o número de operações que devem ser realizadas e economizem memória.

Em geral, as complicações computacionais que devem ser resolvidas na resolução numérica são:

1. • O cálculo da matriz de coeficientes, geralmente requer integração numérica aproximada, o que é uma nova fonte de erros no cálculo do FEM.

2. • A utilização de um método eficiente para resolver o sistema de equações obtido. Por exemplo, o método de Cramer é totalmente impraticável, pois um computador com cerca de 10 GFlops levaria mais de 2 anos para resolver o sistema por este método, enquanto se o método de eliminação gaussiana fosse usado levaria menos de um décimo milésimo de segundo.

Para compreender a necessidade de integração numérica, precisamos ver qual é a forma típica da forma fraca do problema, expressa em termos de subdomínios ou elementos finitos. Essa forma fraca envolve integrais da forma:.

Onde:.

Aproximação de erro

Segundo o lema de Ceá (), o erro cometido na aproximação de uma solução exata utilizando elementos finitos é limitado pelo erro de aproximação, ou seja, a solução obtida através do MEF é melhor a aproximação. Como o erro de aproximação depende crucialmente do tamanho dos elementos, quanto maior o seu número, sendo iguais os outros fatores, menor será o erro de aproximação. Abaixo limitamos este erro de aproximação que limitará o erro da solução de elementos finitos.

Para fazer isso precisamos definir o diâmetro de cada subdomínio ou elemento finito:

h é uma medida da finura da discretização e é o máximo dos valores acima. Pode-se verificar que o erro de aproximação (e portanto o erro da solução utilizando elementos finitos) é limitado por:.

Onde:.

sendo um multiíndice e a derivada parcial de u associada a ele. A norma do espaço L(Ω).

El MEF es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. La solución obtenida por MEF es solo aproximada, coincidiendo con la solución exacta solo en un número finito de puntos llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la solución aproximada se obtiene interpolando a partir de los resultados obtenidos para los nodos, lo cual hace que la solución sea solo aproximada debido a ese último paso.

El MEF convierte un problema definido en términos de ecuaciones diferenciales en un problema en forma matricial que proporciona el resultado correcto para un número finito de puntos e interpola posteriormente la solución al resto del dominio, resultando finalmente solo una solución aproximada. El conjunto de puntos donde la solución es exacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjunto de nodos forma una red, denominada malla formada por retículos. Cada uno de los retículos contenidos en dicha malla es un «elemento finito». El conjunto de nodos se obtiene dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma variada (pueden ser superficies, volúmenes y barras).

Desde el punto de vista de la programación algorítmica modular las tareas necesarias para llevar a cabo un cálculo mediante un programa MEF se dividen en:.

• - Preproceso, que consiste en la definición de geometría, generación de la malla, las condiciones de contorno y asignación de propiedades a los materiales y otras propiedades. En ocasiones existen operaciones cosméticas de regularización de la malla y precondicionamiento para garantizar una mejor aproximación o una mejor convergencia del cálculo.

• - Cálculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependiente del tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N incógnitas, que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no lineal o un problema dependiente del tiempo a veces el cálculo consiste en una sucesión finita de sistemas de N ecuaciones y N incógnitas que deben resolverse uno a continuación de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior.

• - Postproceso, el cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos de la malla que define la discretización, en el postproceso se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se aplican operaciones de suavizado, interpolación e incluso determinación de errores de aproximación.

Pré-processamento e geração de malha

A malha é gerada e geralmente consiste em milhares (e até centenas de milhares) de pontos. Informações sobre as propriedades do material e outras características do problema são armazenadas juntamente com informações que descrevem a malha. Por outro lado, as forças, fluxos térmicos ou temperaturas são reatribuídas aos pontos da malha. Os nós de malha recebem uma densidade em todo o material, dependendo do nível de tensão mecânica ou outra propriedade. As regiões que receberão muito estresse normalmente têm uma densidade de nós (densidade de malha) mais alta do que aquelas que sofrem pouco ou nenhum. Os pontos de interesse consistem em: pontos de fratura de materiais previamente testados, reentrâncias, cantos, detalhes complexos e áreas de alta tensão. A malha atua como uma teia de aranha, pois de cada nó um elemento de malha se estende até cada nó adjacente. Esse tipo de rede vetorial é o que traz as propriedades do material para o objeto, criando diversos elementos.

As tarefas atribuídas ao pré-processo são:

1. • O continuum divide-se, por meio de linhas ou superfícies imaginárias, num número de elementos finitos. Esta parte do processo geralmente é desenvolvida usando algoritmos incorporados em programas de computador de malha durante o estágio de pré-processamento.

2. • Supõe-se que os elementos estão ligados entre si por um número discreto de pontos ou “nós”, localizados nos seus contornos. Os deslocamentos destes nós serão as incógnitas fundamentais do problema, como ocorre na análise simples de estruturas pelo método matricial.

3. • É tomado um conjunto de funções que definem unicamente o campo de deslocamentos dentro de cada elemento finito com base nos deslocamentos nodais do referido elemento. Por exemplo, o campo de deslocamento dentro de um elemento linear de dois nós poderia ser definido por: u = N**u + N**u, com N e N sendo as funções comentadas (funções de forma) e u1 e u2 sendo os deslocamentos no nó 1 e no nó 2.

4. • Estas funções de deslocamento definirão então de forma única o estado de deformação do elemento com base nos deslocamentos nodais. Estas deformações, juntamente com as propriedades constitutivas do material, irão por sua vez definir o estado de tensão em todo o elemento e, consequentemente, nos seus contornos.

5. • Determina-se um sistema de forças concentradas nos nós, tal que equilibra as tensões no contorno e eventuais cargas distribuídas, resultando assim numa relação entre forças e deslocamentos da forma F = K·u, que como vemos é semelhante à do cálculo da matriz.

Cálculo e resolução de sistemas de equações

Em um problema mecânico linear não dependente do tempo, como um problema de análise estrutural estática ou um problema elástico, o cálculo geralmente se reduz a obter os deslocamentos nos nós e com eles definir aproximadamente o campo de deslocamentos no elemento finito.

Quando o problema é não linear, em geral, a aplicação de forças requer a aplicação incremental de forças e considerando incrementos numéricos, e calculando em cada incremento algumas grandezas referidas aos nós. Algo semelhante acontece com problemas dependentes do tempo, para os quais se considera uma sucessão de instantes, geralmente bastante próximos no tempo, e se considera o equilíbrio instantâneo em cada instante. Em geral, estes dois últimos tipos de problemas requerem um tempo de cálculo substancialmente maior do que num problema estacionário e linear.

Pós-processamento

Atualmente, o MEF é utilizado para calcular problemas tão complexos que os arquivos gerados a partir do MEF possuem uma quantidade de dados tal que é conveniente processá-los de alguma forma adicional para torná-los mais compreensíveis e ilustrar diferentes aspectos do problema.

Na etapa de pós-processamento, os resultados obtidos na resolução do sistema são tratados para obter representações gráficas e obter magnitudes derivadas que permitem tirar conclusões do problema.

O pós-processamento do FEM geralmente requer software adicional para organizar os dados de saída de tal forma que o resultado seja mais facilmente compreendido e permita decidir se certas consequências do problema são aceitáveis ​​ou não. No cálculo de estruturas, por exemplo, o pós-processamento pode incluir verificações adicionais para verificar se uma estrutura cumpre os requisitos das normas relevantes, calculando se as tensões admissíveis são excedidas ou se existe a possibilidade de encurvadura na estrutura.

Problemas termomecânicos

Uma ampla gama de funções objetivo (variáveis ​​do sistema) está disponível para minimização ou maximização:

• - Massa, volume, temperatura.

• - Energia de tensão, esforço de tensão.

• - Força, deslocamento, velocidade, aceleração.

• - Sintético (definido pelo usuário).

Existem várias condições de carregamento que podem ser aplicadas ao sistema. Alguns exemplos são:

• - Cargas centrífugas pontuais, de pressão, térmicas, gravitacionais e estáticas.

• - Cargas térmicas de soluções de análise de transmissão de calor.

• - Deslocamentos forçados.

• - Fluxo de calor e convecção.

• - Cargas pontuais, de pressão e de gravidade dinâmica.

Cada programa MEF pode vir com uma biblioteca de elementos ou uma que é construída ao longo do tempo. Alguns exemplos de elementos são:

• - Elementos do tipo barra.

• - Elementos tipo viga.

• - Elementos Placa/Casca/Composto.

• - Painel sanduíche.

• - Elementos sólidos.

• - Elementos do tipo mola.

• - Elementos de massa.

• - Elementos rígidos.

• - Elementos de amortecimento viscosos.

Muitos programas MEF também estão equipados com a capacidade de usar vários materiais na estrutura, tais como:.

• - Modelos elásticos isotrópicos/ortotrópicos/anisotrópicos gerais.

• - Materiais homogêneos/heterogêneos.

• - Modelos de plasticidade.

• - Modelos viscosos.

El programador puede insertar numerosos algoritmos o funciones que pueden hacer al sistema comportarse de manera lineal o no lineal. Los sistemas lineales son menos complejos y normalmente no tienen en cuenta deformaciones plásticas. Los sistemas no lineales") toman en cuenta las deformaciones plásticas, y algunos incluso son capaces de verificar si se presentaría fractura en el material.

Algunos tipos de análisis ingenieriles comunes que usan el método de los elementos finitos son:.

• - Análisis estático se emplea cuando la estructura está sometida a acciones estáticas, es decir, no dependientes del tiempo.

• - Análisis vibracional es usado para analizar la estructura sometido a vibraciones aleatorias, choques e impactos. Cada uno de estas acciones puede actuar en la frecuencia natural de la estructura y causar resonancia y el consecuente fallo.

• - Análisis de fatiga ayuda a los diseñadores a predecir la vida del material o de la estructura, prediciendo el efecto de los ciclos de carga sobre el espécimen. Este análisis puede mostrar las áreas donde es más probable que se presente una grieta. El análisis por fatiga puede también predecir la tolerancia al fallo del material.

Los modelos de análisis de transferencia de calor por conductividad o por dinámicas térmicas de flujo del material o la estructura. El estado continuo de transferencia se refiere a las propiedades térmicas en el material que tiene una difusión lineal de calor.

Resultados MEF

O FEM tornou-se uma solução para a tarefa de prever falhas devido a tensões desconhecidas, ensinando os problemas de distribuição de tensões no material e permitindo que os projetistas vejam todas as tensões envolvidas. Este método de projeto e teste de produto é melhor do que tentativa e erro, onde os custos de fabricação associados à construção de cada amostra para teste devem ser mantidos.

As grandes vantagens do cálculo computacional podem ser resumidas como:

• - Possibilita o cálculo de estruturas que, quer pelo grande número de operações que a sua resolução apresenta (quadros de vários pisos, por exemplo) quer pelo seu tédio (quadros espaciais, por exemplo) eram, na prática, inacessíveis através do cálculo manual.

• - Na maioria dos casos reduz o risco de erros operacionais a limites insignificantes.

MEF de ordem superior

Os últimos avanços nesta área indicam que o seu futuro reside em métodos de adaptação de ordem superior, que respondam satisfatoriamente à crescente complexidade das simulações de engenharia e satisfaçam a tendência geral de resolução simultânea de fenómenos com múltiplas escalas. Entre as diversas estratégias de adaptação para elementos finitos, os melhores resultados podem ser alcançados com hp-adaptability. A adaptabilidade orientada a objetivos é baseada na adaptação da malha de elementos finitos, com o objetivo de melhorar a resolução em uma quantidade específica de interesse (em vez de minimizar o erro

da aproximação em alguma norma global), e hp-adaptabilidade é baseada na combinação de refinamentos espaciais (h-adaptabilidade), com uma variação simultânea da ordem do polinômio de aproximação (p-adaptabilidade). Há exemplos em que a 'adaptabilidade HP' acabou sendo a única maneira de resolver o problema com o nível de precisão exigido.

Limitações

Em geral, o FEM utilizado atualmente tem algumas limitações:

• - O FEM calcula soluções numéricas específicas adaptadas a determinados dados de entrada; uma simples análise de sensibilidade não pode ser realizada para determinar como a solução irá variar se algum dos parâmetros for ligeiramente alterado.[8] Ou seja, fornece apenas respostas numéricas quantitativas específicas, e não relações qualitativas gerais.

• - O FEM fornece uma solução aproximada cuja margem de erro é geralmente desconhecida. Embora alguns tipos de problemas permitam limitar o erro da solução, devido aos vários tipos de aproximações utilizadas pelo método, problemas não lineares ou dependentes do tempo em geral não nos permitem conhecer o erro.

• - No MEF, a maioria das aplicações práticas requerem muito tempo para ajustar detalhes da geometria, com problemas frequentes de mau condicionamento das malhas, grau desigual de convergência da solução aproximada para a solução exata em diferentes pontos, etc. Em geral, uma simulação requer a utilização de numerosos testes e ensaios com geometrias simplificadas ou casos menos gerais do que aquele que finalmente se pretende simular, antes de começar a obter resultados satisfatórios.

En problemas dinámicos, donde las magnitudes cambian a lo largo del tiempo, existen diversos métodos para integrar en el tiempo. En ambos métodos se discretiza el tiempo, por lo que se considera la solución solo para un cierto número de instantes (para el resto de valores del tiempo se puede interpolar la solución por intervalos). La diferencia entre un instante en el que se busca la solución y el siguiente se denomina, paso de tiempo. Las dos principales variantes del cálculo por FEM son:.

• - Método implícito, que requieren resolver a cada paso de tiempo un sistema de ecuaciones, aunque pueden usarse pasos de tiempo más largos.

• - Método explícito, que no requieren resolver un sistema de ecuaciones a cada paso de tiempo, aunque debido a que la convergencia no siempre está asegurada el paso de tiempo debe escogerse convenientemente pequeño.

O método implícito

Esses cálculos são geralmente usados ​​para cálculos de rigidez (embora às vezes também possam ser calculados dinamicamente). Entre os métodos implícitos, alguns são incondicionalmente convergentes (não divergem exponencialmente da solução exata) apenas para uma certa escolha fixa de parâmetros do método.

Cálculos pelo método implícito (ou semi-implícito para a parte mais rígida do sistema) requerem muito mais tempo de computação para dar um passo no tempo, pois devem inverter uma matriz de tamanho muito grande, por esse motivo costumam ser utilizados métodos iterativos, em vez de métodos diretos, como aqueles associados ao subespaço de Krylov. Em compensação, intervalos de tempo muito maiores podem ser usados, pois são estáveis.

O método explícito

Um método explícito é aquele que não requer a solução de um sistema de equações não trivial em cada intervalo de tempo. Nestes cálculos é realizada uma simulação com modificação da malha ao longo do tempo. Em geral, os métodos explícitos requerem menos tempo de computação do que os métodos implícitos, embora frequentemente apresentem o problema de não serem incondicionalmente convergentes e requerem primeiro a avaliação do intervalo de tempo máximo para que a computação seja numericamente estável. Os métodos explícitos são geralmente convergentes condicionalmente, mas não convergem incondicionalmente, portanto, o intervalo de tempo usado no esquema de diferenças finitas deve ser menor que um determinado valor:.

Em elementos finitos explícitos, o uso de elementos simples, como quadriláteros com ponto de integração e estabilização contra modos de energia zero, é preferível a elementos de ordem superior.

Métodos explícitos encontram seu campo ideal de aplicação em problemas de dinâmica rápida, nos quais ocorrem fortes não linearidades e o uso de pequenos intervalos de tempo torna-se uma necessidade.

Uma vantagem importante do método explícito é a resolução das equações a nível exclusivamente local, sem nunca colocar sistemas de equações globais acopladas. Isto permite o uso de algoritmos elemento por elemento, que facilitam o cálculo paralelo. Apresentados como métodos de relaxação dinâmica ou de relaxação viscosa, eles são enquadrados em conjunto com métodos iterativos para resolver equações não lineares, como métodos de relaxação de Gauss-Seidel, ou gradiente conjugado pré-condicionado com técnicas elemento por elemento. Sendo muito interessante para cálculo paralelo.

• - Método dos volumes finitos.

• - Método das diferenças finitas.

• - K. J. Bathe (1995): Procedimentos de Elementos Finitos, Prentice Hall, 2ª edição.

• - P. G. Ciarlet (1978): O Método dos Elementos Finitos para Problemas Elípticos, Holanda do Norte, Amsterdã, 1978.

• - P. G. Ciarlet (1991): Estimativas básicas de erro para problemas elípticos em Handbook of Numerical Analysis (Vol II) J.L. Lions e P. G. Ciarlet (ed.), Holanda do Norte, Amsterdã, 1991, p. 17-351.

• - O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor (1994): O Método dos Elementos Finitos, volumes 1 e 2. CIMNE-Mc Graw Hill, 1994.

• - E. Oñate (1995): Cálculo de Estruturas pelo Método dos Elementos Finitos, CIMNE, Barcelona, ​​​​1995.

• - M. Cerrolaza (2007): O Método dos Elementos Finitos em Engenharia e Ciências Aplicadas: Teoria e Programas, CDCH-UCV, Caracas, 2007.

• - J. J. Benito Muñoz, R. Álvarez Cabal, F. Ureña Prieto, E. Salete Casino, E. Aranda Ortega (2014): Introdução ao Método dos Elementos Finitos, UNED, Madrid, 2014.

• - Análise de Elementos Finitos.

• - Método dos elementos finitos em mecânica estrutural.

• - Campo rápido.

• - Análise de um Desvio Ferroviário pelo Método dos Elementos Finitos (Projecto de Conclusão de Curso de Engenharia Mecânica da Universidade de Oviedo), Capa, Anexo.