Contenido

Una historia de tiempo completa dará la respuesta de una estructura a lo largo del tiempo durante y después de la aplicación de una carga. Para encontrar la historia de tiempo completa de la respuesta de una estructura debe resolver la ecuación de movimiento de la estructura.

Ejemplo

Un sistema simple de un solo grado de libertad "Grado de libertad (ingeniería)") (una masa, M, en un resorte de rigidez k, por ejemplo) tiene la siguiente ecuación de movimiento:.

donde es la aceleración (la segunda derivada del desplazamiento) y x es el desplazamiento.

Si la carga F(t) es una función escalón de Heaviside (la aplicación repentina de una carga constante), la solución a la ecuación de movimiento es:.

donde y la frecuencia natural fundamental, .

La deflexión estática de un sistema de un solo grado de libertad es:.

entonces podemos escribir, combinando las fórmulas anteriores:.

Esto da la historia de tiempo (teórica) de la estructura debido a una carga F(t), donde se hace la suposición de que no hay amortiguamiento .

Aunque esto es demasiado simplista para aplicarlo a una estructura real, la función de escalón de Heaviside es un modelo razonable para la aplicación de muchas cargas reales, como la adición repentina de un mueble o eliminación de un puntal a un piso de hormigón recién colado. Sin embargo, en realidad, las cargas nunca se aplican instantáneamente: se acumulan durante un período de tiempo (esto puede ser muy breve). Este tiempo se llama tiempo de subida .

A medida que aumenta el número de grados de libertad de una estructura, se dificulta calcular la historia de tiempo manualmente: las estructuras reales se analizan utilizando un software de análisis de elementos finitos no lineales .

Cualquier estructura real disipará energía (principalmente a través de la fricción). Esto se puede modelar modificando el DAF.

donde y es típicamente del 2 al 10% según el tipo de construcción:.

• - Acero atornillado ~6%.

• - Hormigón reforzado ~5%.

• - Acero soldado ~2%.

• - Mampostería de ladrillo ~10%.

Métodos para aumentar el amortiguamiento..

Uno de los métodos más utilizados para aumentar el amortiguamiento es unir una capa de material con un alto coeficiente de amortiguamiento, por ejemplo, caucho, a una estructura que vibra.

Un análisis modal calcula los modos naturales de un sistema dado, pero no necesariamente su respuesta de tiempo completa a una entrada dada. La frecuencia natural de un sistema depende únicamente de la rigidez de la estructura y la masa que participa con la estructura (incluido el peso propio). No depende de la función de carga.

Es útil conocer las frecuencias modales de una estructura, ya que le permite asegurarse de que la frecuencia de cualquier carga periódica aplicada no coincidirá con una frecuencia modal y, por lo tanto, causará resonancia, lo que provocará grandes oscilaciones .

El método es:.

1. • Encuentra los modos naturales (la forma que adopta una estructura) y las frecuencias naturales.

2. • Calcular la respuesta de cada modo.

3. • Opcionalmente, superponer la respuesta de cada modo para encontrar la respuesta modal completa a una carga dada.

Método de energía

Es posible calcular la los modos del sistema manualmente por el método de energía. Para una forma modal dada de un sistema de múltiples grados de libertad, puede encontrarse una masa, rigidez y fuerza aplicada "equivalentes" para un sistema de un solo grado de libertad. Para estructuras simples, las formas modales básicas se pueden encontrar mediante inspección, pero no es un método conservador. El principio de Rayleigh establece:.

"La frecuencia ω de un modo arbitrario de vibración, calculada por el método de la energía, es siempre mayor o igual que la frecuencia fundamental ω".

Para una forma de modo supuesta , de un sistema estructural de masa M; rigidez a la flexión, EI (módulo de Young, E, multiplicado por el segundo momento de área, I); y fuerza aplicada, F(x):.

entonces, como arriba:.

Respuesta modal

La respuesta modal completa a una carga dada F(x, t) es . La suma puede llevarse a cabo por alguno de los métodos comunes:.

• - Superponer historias de tiempo completas de cada modo (toma tiempo pero es exacto).

• - Superponer las amplitudes máximas de cada modo (rápido pero conservador).

• - Superponer la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (buena estimación para frecuencias bien separadas, pero insegura para frecuencias poco espaciadas).

Para superponer manualmente las respuestas modales individuales, habiéndolas calculado por el método de la energía:.

Suponiendo que se conoce el tiempo de subida t(T = 2π/ω), es posible leer el DAF a partir de un gráfico estándar. El desplazamiento estático se puede calcular con . El desplazamiento dinámico para el modo elegido y la fuerza aplicada se pueden encontrar a partir de:.

Para los sistemas reales, a menudo hay una masa que participa en la función de fuerza (como la masa del suelo en un terremoto ) y una masa que participa en los efectos de inercia (la masa de la estructura misma, M). El factor de participación modal Γ es una comparación de estas dos masas. Para un sistema de un solo grado de libertad Γ = 1.

• - DYSSOLVE: Dynamic System Solver : un software gratuito, liviano y de código cifrado que se puede usar para resolver problemas básicos de dinámica estructural.

• - Laboratorio de Dinámica Estructural y Vibraciones de la Universidad McGill.

• - Programa de análisis de dinámica estructural 3D de código abierto Frame3DD.

• - Función de respuesta de frecuencia a partir de parámetros modales.

• - Tutoriales de dinámica estructural y scripts de Matlab.

• - AIAA Exploring Structural Dynamics ( http://www.exploringstructuraldynamics.org/ ) – Structural Dynamics in Aerospace Engineering: demostraciones interactivas, videos y entrevistas con ingenieros en ejercicio.

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Una historia de tiempo completa dará la respuesta de una estructura a lo largo del tiempo durante y después de la aplicación de una carga. Para encontrar la historia de tiempo completa de la respuesta de una estructura debe resolver la ecuación de movimiento de la estructura.

Ejemplo

Un sistema simple de un solo grado de libertad "Grado de libertad (ingeniería)") (una masa, M, en un resorte de rigidez k, por ejemplo) tiene la siguiente ecuación de movimiento:.

donde es la aceleración (la segunda derivada del desplazamiento) y x es el desplazamiento.

Si la carga F(t) es una función escalón de Heaviside (la aplicación repentina de una carga constante), la solución a la ecuación de movimiento es:.

donde y la frecuencia natural fundamental, .

La deflexión estática de un sistema de un solo grado de libertad es:.

entonces podemos escribir, combinando las fórmulas anteriores:.

Esto da la historia de tiempo (teórica) de la estructura debido a una carga F(t), donde se hace la suposición de que no hay amortiguamiento .

Aunque esto es demasiado simplista para aplicarlo a una estructura real, la función de escalón de Heaviside es un modelo razonable para la aplicación de muchas cargas reales, como la adición repentina de un mueble o eliminación de un puntal a un piso de hormigón recién colado. Sin embargo, en realidad, las cargas nunca se aplican instantáneamente: se acumulan durante un período de tiempo (esto puede ser muy breve). Este tiempo se llama tiempo de subida .

A medida que aumenta el número de grados de libertad de una estructura, se dificulta calcular la historia de tiempo manualmente: las estructuras reales se analizan utilizando un software de análisis de elementos finitos no lineales .

Cualquier estructura real disipará energía (principalmente a través de la fricción). Esto se puede modelar modificando el DAF.

donde y es típicamente del 2 al 10% según el tipo de construcción:.

• - Acero atornillado ~6%.

• - Hormigón reforzado ~5%.

• - Acero soldado ~2%.

• - Mampostería de ladrillo ~10%.

Métodos para aumentar el amortiguamiento..

Uno de los métodos más utilizados para aumentar el amortiguamiento es unir una capa de material con un alto coeficiente de amortiguamiento, por ejemplo, caucho, a una estructura que vibra.

Un análisis modal calcula los modos naturales de un sistema dado, pero no necesariamente su respuesta de tiempo completa a una entrada dada. La frecuencia natural de un sistema depende únicamente de la rigidez de la estructura y la masa que participa con la estructura (incluido el peso propio). No depende de la función de carga.

Es útil conocer las frecuencias modales de una estructura, ya que le permite asegurarse de que la frecuencia de cualquier carga periódica aplicada no coincidirá con una frecuencia modal y, por lo tanto, causará resonancia, lo que provocará grandes oscilaciones .

El método es:.

1. • Encuentra los modos naturales (la forma que adopta una estructura) y las frecuencias naturales.

2. • Calcular la respuesta de cada modo.

3. • Opcionalmente, superponer la respuesta de cada modo para encontrar la respuesta modal completa a una carga dada.

Método de energía

Es posible calcular la los modos del sistema manualmente por el método de energía. Para una forma modal dada de un sistema de múltiples grados de libertad, puede encontrarse una masa, rigidez y fuerza aplicada "equivalentes" para un sistema de un solo grado de libertad. Para estructuras simples, las formas modales básicas se pueden encontrar mediante inspección, pero no es un método conservador. El principio de Rayleigh establece:.

"La frecuencia ω de un modo arbitrario de vibración, calculada por el método de la energía, es siempre mayor o igual que la frecuencia fundamental ω".

Para una forma de modo supuesta , de un sistema estructural de masa M; rigidez a la flexión, EI (módulo de Young, E, multiplicado por el segundo momento de área, I); y fuerza aplicada, F(x):.

entonces, como arriba:.

Respuesta modal

La respuesta modal completa a una carga dada F(x, t) es . La suma puede llevarse a cabo por alguno de los métodos comunes:.

• - Superponer historias de tiempo completas de cada modo (toma tiempo pero es exacto).

• - Superponer las amplitudes máximas de cada modo (rápido pero conservador).

• - Superponer la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (buena estimación para frecuencias bien separadas, pero insegura para frecuencias poco espaciadas).

Para superponer manualmente las respuestas modales individuales, habiéndolas calculado por el método de la energía:.

Suponiendo que se conoce el tiempo de subida t(T = 2π/ω), es posible leer el DAF a partir de un gráfico estándar. El desplazamiento estático se puede calcular con . El desplazamiento dinámico para el modo elegido y la fuerza aplicada se pueden encontrar a partir de:.

Para los sistemas reales, a menudo hay una masa que participa en la función de fuerza (como la masa del suelo en un terremoto ) y una masa que participa en los efectos de inercia (la masa de la estructura misma, M). El factor de participación modal Γ es una comparación de estas dos masas. Para un sistema de un solo grado de libertad Γ = 1.

• - DYSSOLVE: Dynamic System Solver : un software gratuito, liviano y de código cifrado que se puede usar para resolver problemas básicos de dinámica estructural.

• - Laboratorio de Dinámica Estructural y Vibraciones de la Universidad McGill.

• - Programa de análisis de dinámica estructural 3D de código abierto Frame3DD.

• - Función de respuesta de frecuencia a partir de parámetros modales.

• - Tutoriales de dinámica estructural y scripts de Matlab.

• - AIAA Exploring Structural Dynamics ( http://www.exploringstructuraldynamics.org/ ) – Structural Dynamics in Aerospace Engineering: demostraciones interactivas, videos y entrevistas con ingenieros en ejercicio.