Descrição do método
Contenido
El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matriz de rigidez, llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace extremo (articulación, nudo rígido,...), la forma de la barra (recta, curvada, ...) y las constantes elásticas del material de la barra (módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal). A partir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos.
Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitas).
Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas. El número de reacciones incógnita y desplazamientos incógnita depende del número de nodos: es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Este sistema siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen:.
Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el subsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto sus tensiones máximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura.
Matrizes de rigidez elementar
Para construir a matriz de rigidez da estrutura é necessário atribuir previamente uma matriz de rigidez elementar a cada barra (elemento) individual. Esta matriz depende exclusivamente de:
A matriz elementar relaciona as forças nodais equivalentes às forças aplicadas na barra com os deslocamentos e rotações sofridos pelas extremidades da barra (que por sua vez determinam a deformação da barra).
Um nó onde duas barras são unidas é denominado rígido ou embutido se o ângulo formado pelas duas barras após a deformação não muda em relação ao ângulo que formavam antes da deformação. Mesmo que as duas barras como um todo não consigam alterar o ângulo entre as barras, elas podem girar em relação ao nó, mas mantendo o ângulo que formam em sua extremidade. Na realidade, juntas rígidas soldadas ou aparafusadas podem ser tratadas como nós rígidos.
Para uma barra rigidamente unida em ambas as extremidades, a matriz de rigidez elementar que representa adequadamente o seu comportamento é dada por:.
Onde:
são as grandezas geométricas (comprimento, área e momento de inércia).
a constante de elasticidade longitudinal (módulo de Young).
Alternativamente, a matriz de rigidez de uma barra reta de dois embutimentos pode ser escrita de forma mais abreviada, introduzindo a esbeltez mecânica característica:.
Onde:
É a esbeltez mecânica característica.
Neste caso, quando são impostas voltas ao nó articulado, nenhuma força é transmitida ao nó não articulado. Nesse caso a matriz de rigidez, utilizando a mesma notação da seção anterior, é dada por:.
Onde se assumiu que o nó articulado é o segundo. Se fosse o primeiro, os elementos da matriz anterior teriam que ser permutados para obter:.
Como uma barra reta com nós articulados só pode transmitir forças ao longo do seu eixo, a matriz de rigidez correspondente dessa barra apenas possui componentes diferentes para os graus de liberdade longitudinais. Nesse caso a matriz de rigidez, utilizando a mesma notação da seção anterior, é dada por:.
Uma barra reta tridimensional possui 6 graus de liberdade por nó (3 translacionais e 3 de orientação "Orientação (geometria)"), como a barra possui dois nós a matriz de rigidez é uma 12 submatrizes:
Onde estão as submatrizes:.
E as grandezas geométricas e mecânicas associadas à barra são:
forças nodais
Para cada barra é definido um vetor elementar de forças nodais generalizadas, que é estaticamente equivalente às forças aplicadas na barra. O tamanho do vetor de força nodal depende da dimensionalidade da barra:
Os componentes deste vetor constituem um sistema de forças e momentos de força, de modo que a força resultante e o momento resultante coincidem com a força e o momento do sistema original de forças na barra.
Para as cargas mostradas na figura anexa em uma barra ou viga bidimensional, o vetor de força nodal consiste em duas forças verticais (F, F) aplicadas em cada uma das duas extremidades, duas forças horizontais (F, F) aplicadas em cada uma das extremidades e dois momentos de força (M, M) aplicados em cada uma das extremidades. Esses seis componentes formam o vetor de força nodal. É fácil verificar que a força e o momento resultantes destas seis componentes são estaticamente equivalentes ao sistema original de forças formado por P e q se forem tomados os seguintes valores:.
Cálculo de deslocamento
Uma vez encontrados a matriz de rigidez global e o vetor de força nodal global, um sistema de equações como () é construído. Este sistema tem a propriedade de poder ser decomposto em dois subsistemas de equações:
Ao resolver o primeiro subsistema compatível determinado, são conhecidos os deslocamentos desconhecidos de todos os nós da estrutura. Inserir a solução do primeiro subsistema no segundo resulta nas reações.
Podemos ilustrar o cálculo dos deslocamentos com um exemplo. Por exemplo, se considerarmos a flexão no
As linhas 3 e 6 contêm as voltas desconhecidas (deslocamentos) das extremidades da viga e, em conjunto, constituem o primeiro subsistema para os deslocamentos. Ignorar os termos nulos e reescrever em forma matricial o subsistema de equações para os deslocamentos é simplesmente:
Cuja solução nos dá o valor do ângulo girado pelas extremidades direita e esquerda da viga sob essas cargas:
Uma vez conhecidos e inseridos esses valores na matriz, as linhas 1, 2, 4 e 5 nos fornecem o valor das quatro reações hiperestáticas até então desconhecidas.
Cálculo de reações
Uma vez calculados os deslocamentos resolvendo um sistema de equações, o cálculo das reações é simples. Da equação () temos simplesmente:
Tomando o mesmo exemplo da última seção, o cálculo das reações na viga biarticulada com carga P e q seria:
Introduzindo os valores das rotações nas extremidades e multiplicando a matriz de rigidez pelo vetor deslocamento, temos finalmente:
Isso completa o cálculo da reação.
Cálculo de estresse
O cálculo das tensões é realizado examinando nas coordenadas locais das barras as tensões axiais, as tensões de cisalhamento, os momentos fletores e o momento torcional gerado em cada uma das barras, conhecendo os deslocamentos de todos os nós da estrutura. Isto pode ser feito utilizando as matrizes de rigidez expressas em coordenadas locais e os deslocamentos nodais também expressos em coordenadas locais.
Análise dinâmica
A análise estática discutida acima pode ser generalizada para encontrar a resposta dinâmica de uma estrutura. Para isso é necessário representar o comportamento inercial da estrutura através de uma matriz de massa, modelar as forças dissipativas através de uma matriz de amortecimento, que juntamente com a matriz de rigidez nos permitem propor um sistema de equações de segunda ordem do tipo:
A solução do sistema anterior envolve um cálculo das frequências e modos próprios. Admitindo que as forças dissipativas não são importantes, as frequências naturais podem ser determinadas resolvendo a seguinte equação polinomial em:.
Estas grandezas permitem realizar uma análise modal que reproduz o comportamento da estrutura sob diferentes tipos de situações.