Variantes del análisis de Fourier
Transformada de Fourier (continua)
En la mayoría de los casos, el término sin calificar transformación de Fourier se refiere a la transformación de funciones de un argumento continuo real, y produce una función continua de frecuencia, conocida como distribución de frecuencias. Una función se transforma en otra, y la operación es reversible. Cuando el dominio de la función de entrada (inicial) es el tiempo (), y el dominio de la función de salida (final) es la frecuencia ordinaria, la transformada de la función a la frecuencia viene dada por el número complejo:.
Evaluando esta cantidad para todos los valores de se obtiene la función dominio de la frecuencia. Entonces puede representarse como una recombinación de exponenciales complejas de todas las frecuencias posibles:.
que es la fórmula de la transformación inversa. El número complejo, , transmite tanto la amplitud como la fase de la frecuencia .
Ver Transformación de Fourier para mucha más información, incluyendo:.
Series de Fourier
La transformada de Fourier de una función periódica, , con periodo , se convierte en una función peine de Dirac"), modulada por una secuencia de coeficientes") complejos:.
donde es la integral sobre cualquier intervalo de longitud P.
La transformada inversa, conocida como serie de Fourier, es una representación de en términos de una suma de un número potencialmente infinito de sinusoides o funciones exponenciales complejas relacionadas armónicamente, cada una con una amplitud y una fase especificadas por uno de los coeficientes:.
Cualquier puede expresarse como una suma periódica") de otra función, :.
y los coeficientes son proporcionales a las muestras de en intervalos discretos de :.
donde A =.
Obsérvese que cualquier cuya transformada tenga los mismos valores muestrales discretos puede utilizarse en el sumatorio periódico. Una condición suficiente para recuperar (y por lo tanto ) a partir de sólo estas muestras (es decir, de la serie de Fourier) es que la porción no nula de esté confinada a un intervalo conocido de duración , que es el dual del dominio de la frecuencia del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon.
Transformada de Fourier en tiempo discreto
La DTFT es el dual matemático de la serie de Fourier en el dominio del tiempo. Así, una suma periódica") convergente en el dominio de la frecuencia puede representarse mediante una serie de Fourier, cuyos coeficientes son muestras de una función temporal continua relacionada:.
que se conoce como la DTFT. Así, la DTFT de la secuencia es también la transformada de Fourier de la función peine de Dirac") modulada.
También se puede señalar que:.
En consecuencia, una práctica común es modelar el "muestreo" como una multiplicación por la función peine de Dirac"), que por supuesto sólo es "posible" en un sentido puramente matemático.
Los coeficientes de la serie de Fourier (y la transformada inversa), se definen por:.
El parámetro corresponde al intervalo de muestreo, y esta serie de Fourier puede reconocerse ahora como una forma de la fórmula de suma de Poisson"). Así tenemos el importante resultado de que cuando una secuencia de datos discretos, , es proporcional a las muestras de una función continua subyacente, , se puede observar un sumatorio periódico de la transformada continua de Fourier, . Nótese que cualquier con los mismos valores discretos de la muestra produce la misma DTFT Pero bajo ciertas condiciones idealizadas uno puede recuperar teóricamente y exactamente. Una condición suficiente para la recuperación perfecta es que la porción no nula de esté confinada a un intervalo de frecuencia conocido de ancho }}. Cuando ese intervalo es , la fórmula de reconstrucción aplicable es la Fórmula de Interpolación de Whittaker-Shannon. Esta es una piedra angular en los fundamentos del procesamiento digital de señales.
Otra razón para estar interesado en es que a menudo proporciona una visión de la cantidad de aliasing causado por el proceso de muestreo.
Las aplicaciones de la DTFT no se limitan a las funciones muestreadas. Ver Transformada de Fourier en tiempo discreto") para más información sobre este y otros temas, incluyendo:.
Transformada discreta de Fourier (DFT)
De forma similar a una serie de Fourier, la DTFT de una secuencia periódica, , con periodo , se convierte en una función de peine de Dirac, modulada por una secuencia de coeficientes complejos:.
La secuencia es lo que se conoce habitualmente como la DFT de un ciclo de . También es -periódico, por lo que nunca es necesario calcular más de coeficientes. La transformada inversa, también conocida como serie discreta de Fourier"), viene dada por:.
Cuando se expresa como una suma periódica") de otra función:.
Alternativamente, puede definirse como en cuyo caso.
los coeficientes son proporcionales a las muestras de (f) a intervalos disretos de :.
Por el contrario, cuando se quiere calcular un número arbitrario () de muestras discretas de un ciclo de una DTFT continua, (f) , se puede hacer calculando la DFT relativamente simple de (f), como se ha definido anteriormente. En la mayoría de los casos, se elige igual a la longitud de la parte distinta de cero de . El aumento de N, conocido como relleno con ceros o interpolación, da como resultado muestras más próximas entre sí de un ciclo de (f). La disminución de provoca superposición (adición) en el dominio del tiempo (análogo al aliasing), que corresponde a la aniquilación en el dominio de la frecuencia (ver Transformada de Fourier de tiempo discreto § L=N×I). En la mayoría de los casos de interés práctico, la secuencia s [ n ] representa una secuencia más larga que se truncó mediante la aplicación de una función de ventana de longitud finita o una matriz de filtro FIR.
La DFT puede calcularse mediante un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT), lo que la convierte en una transformación práctica e importante en los ordenadores.
Ver Transformada discreta de Fourier para mucha más información, incluyendo:.
Resumen
Para funciones periódicas, tanto la transformada de Fourier como la DTFT comprenden sólo un conjunto discreto de componentes de frecuencia (series de Fourier), y las transformadas divergen en esas frecuencias. Una práctica común (no discutida anteriormente) es manejar esa divergencia a través de las funciones delta de Dirac y peine de Dirac"). Pero la misma información espectral puede discernirse a partir de un solo ciclo de la función periódica, ya que todos los demás ciclos son idénticos. Del mismo modo, las funciones de duración finita pueden representarse como una serie de Fourier, sin pérdida real de información, salvo que la periodicidad de la transformada inversa es un mero artefacto.
Es común en la práctica que la duración de s(*) esté limitada al período, o . Pero estas fórmulas no requieren esa condición.