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Como se demostró en el Theorema egregium de Gauss, una esfera (o elipsoide) no puede proyectarse sobre un plano "Plano (geometría)") sin que se deforme. Esto se ilustra comúnmente con la imposibilidad de alisar una cáscara de naranja sobre una superficie plana sin romperla y deformarla. La única representación real de una esfera a escala constante es otra esfera como un globo terráqueo.
Dado el limitado tamaño práctico de los globos terráqueos, debemos utilizar mapas para realizar una cartografía detallada. Los mapas requieren proyecciones. Una proyección implica una distorsión: Una separación constante en el mapa no se corresponde con una separación constante en el terreno. Aunque un mapa puede mostrar una escala gráfica de barras, la escala debe utilizarse teniendo en cuenta que solo será precisa en algunas líneas del mapa. (Esto se analiza con más detalle en los ejemplos de las siguientes secciones).
Sea P un punto de latitud y longitud en la esfera (o elipsoide). Sea Q un punto vecino y sea el ángulo entre el elemento PQ y el meridiano en P: este ángulo es el ángulo acimut del elemento PQ. Sean P' y Q' los puntos correspondientes de la proyección. El ángulo entre la dirección P'Q' y la proyección del meridiano es el rumbo . En general, . Comentario: esta distinción precisa entre el acimut (en la superficie de la Tierra) y el rumbo (en el mapa) no se observa universalmente, ya que muchos escritores utilizan los términos casi indistintamente.
Definición: la escala de puntos en P es la relación de las dos distancias P'Q' y PQ en el límite en que Q se acerca a P. Lo escribimos como.
Definición: si P y Q se encuentran en el mismo meridiano , la escala del meridiano se denota por .
Definición: si P y Q se encuentran en el mismo paralelo , la escala paralela se denota por .
Definición: si la escala del punto depende solo de la posición, no de la dirección, se dice que es isotrópica y convencionalmente se denota su valor en cualquier dirección por el factor de escala paralelo .
Definición: Se dice que una proyección cartográfica es conforme") si el ángulo entre un par de líneas que se cruzan en un punto P es el mismo que el ángulo entre las líneas proyectadas en el punto proyectado P', para todos los pares de líneas que se cruzan en el punto P. Un mapa conforme tiene un factor de escala isotrópico. A la inversa, los factores de escala isótropos a través del mapa implican una proyección conforme.
La isotropía de escala implica que los elementos pequeños se estiran por igual en todas las direcciones, es decir, que se conserva la forma de un elemento pequeño. Esta es la propiedad de ortomorfismo, del griego que significa «forma correcta». El calificativo pequeño significa que con una determinada precisión de medida no se puede detectar ningún cambio en el factor de escala sobre el elemento. Dado que las proyecciones conformes tienen un factor de escala isotrópico, también se han denominado proyecciones ortomórficas. Por ejemplo, la proyección Mercator es conforme ya que está construida para preservar los ángulos y su factor de escala es isotrópico, una función de la latitud solamente: Mercator sí preserva la forma en regiones pequeñas.
Definición: en una proyección conforme con una escala isotrópica, los puntos que tienen el mismo valor de escala pueden unirse para formar las líneas de isoescala. Estas no se trazan en los mapas para los usuarios finales, pero aparecen en muchos de los textos estándar. (Véase Snyder[2] páginas 203-206.).
La fracción representativa (RF) o escala principal
Hay dos convenciones utilizadas para establecer las ecuaciones de cualquier proyección. Por ejemplo, la proyección cilíndrica equirectangular puede escribirse como.
Aquí adoptaremos la primera de estas convenciones (siguiendo el uso en los estudios de Snyder). Es evidente que las ecuaciones de proyección anteriores definen posiciones en un enorme cilindro envuelto alrededor de la Tierra y luego desenrollado. Se dice que estas coordenadas definen el mapa de proyección que debe distinguirse lógicamente de los mapas reales impresos (o vistos). Si la definición de la escala del punto en la sección anterior es en términos del mapa de proyección, entonces podemos esperar que los factores de escala sean cercanos a la unidad. Para las proyecciones cilíndricas tangentes normales, la escala a lo largo del ecuador es k=1 y, en general, la escala cambia a medida que nos alejamos del ecuador. El análisis de la escala en el mapa de proyección es una investigación del cambio de k lejos de su verdadero valor de unidad.
Visualización de la escala de puntos: la indicatriz de Tissot
Consideremos un pequeño círculo en la superficie de la Tierra centrado en un punto P en la latitud y la longitud . Como la escala del punto varía con la posición y la dirección, la proyección del círculo sobre la proyección estará distorsionada. Tissot") demostró que, siempre que la distorsión no sea demasiado grande, el círculo se convertirá en una elipse sobre la proyección. En general, la dimensión, la forma y la orientación de la elipse cambiarán sobre la proyección. La superposición de estas elipses de distorsión sobre la proyección del mapa transmite la forma en que la escala de puntos cambia sobre el mapa. La elipse de distorsión se conoce como indicatriz de Tissot. El ejemplo mostrado aquí es la proyección de Winkel-Tripel, la proyección estándar para los mapas del mundo hecha por la National Geographic Society. La mínima distorsión se produce en el meridiano central a latitudes de 30 grados (Norte y Sur). (Otros ejemplos[6][7]).