El principio de Arquímedes puede deducirse matemáticamente de las ecuaciones de Euler "Ecuaciones de Euler (fluidos)") para un fluido en reposo que a su vez pueden deducirse generalizando las leyes de Newton a un medio continuo. De la misma manera, el principio de Arquímedes se puede deducir de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido:.

La condición de que el fluido incompresible que esté en reposo implica tomar en la ecuación anterior , lo que permite llegar a la relación fundamental entre presión del fluido, densidad del fluido y aceleración de la gravedad:.

A partir de esa relación podemos reescribir fácilmente las fuerzas sobre un cuerpo sumergido en términos del peso del fluido desalojado por el cuerpo. Cuando se sumerge un sólido K en un fluido, en cada punto de su superficie aparece una fuerza por unidad de superficie perpendicular a la superficie en ese punto y proporcional a la presión del fluido p en ese punto. Si llamamos al vector normal a la superficie del cuerpo podemos escribir la resultante de las fuerzas sencillamente mediante el teorema de Stokes de la divergencia:.

donde la última igualdad se da solamente si el fluido es incompresible.

Supongamos un cuerpo de volumen sumergido en un fluido de densidad , ahora podemos elegir pequeños elementos de área , tales que tiendan a ser un punto de la superficie del cuerpo.

Sobre cada punto (elemento de área) actúa una presión de valor y una fuerza asociada a ella, tal que.

Todas las fuerzas que están bordeando el cuerpo debido a la presión a un mismo nivel se anulan. quedando únicamente fuerzas en dirección hacia abajo y hacia arriba.

Ahora si tomamos dos puntos de la superficie del cuerpo que estén conectados a través de una vertical tenemos una respectiva fuerza hacia abajo y otra hacia arriba y por ende una respectiva resultante.

Donde la parte es un pequeño elemento de volumen del cuerpo, .

Por lo tanto, se puede reescribir como:.

Ahora, el empuje viene a ser la fuerza neta.

Donde la suma de todos los pequeños elementos de volumen del cuerpo, , resulta ser el volumen total del cuerpo sumergido, es decir,.

Por lo tanto se llega a:.

Es decir, el empuje es proporcional al volumen del fluido desplazado por el cuerpo, es decir proporcional al volumen del cuerpo sumergido.

Sabiendo que , reemplazando se obtiene:.

Es decir, el empuje es igual al peso del fluido desplazado.

Con esto queda demostrado el principio de Arquímedes.

Para un prisma recto de base A y altura H, sumergido en posición totalmente vertical, la demostración anterior es realmente elemental. Por la configuración del prisma dentro del fluido, las presiones sobre el área lateral solamente producen empujes horizontales que, además, se anulan entre sí y no contribuyen a sustentarlo. Para las caras superior e inferior, puesto que todos sus puntos están sumergidos a la misma profundidad, la presión es constante y podemos usar la relación fuerza = presión × área, y teniendo en cuenta la resultante sobre la cara superior e inferior, tenemos:.

donde es la presión aplicada sobre la cara inferior del cuerpo, es la presión aplicada sobre la cara superior y A es el área proyectada del cuerpo. Teniendo en cuenta la ecuación general de la hidrostática, que establece que la presión en un fluido en reposo aumenta proporcionalmente con la profundidad:.

Introduciendo en el último término el volumen del cuerpo y multiplicando por la densidad del fluido ρ vemos que la fuerza vertical ascendente F es precisamente el peso del fluido desalojado.

El empuje o fuerza que ejerce el líquido sobre un cuerpo, en forma vertical y ascendente, cuando este se halla sumergido, resulta ser también la diferencia entre el peso que tiene el cuerpo suspendido en el aire y el «peso» que tiene el mismo cuando se lo introduce en un líquido. A este último se lo conoce como peso «aparente» del cuerpo, pues su peso en el líquido disminuye «aparentemente»; la fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo permanece constante, pero el cuerpo, a su vez, recibe una fuerza hacia arriba que disminuye la resultante vertical.

donde es el peso del cuerpo en el aire y es el peso del cuerpo sumergido en el líquido.

El principio de Arquímedes no tiene en cuenta la tensión superficial (capilaridad) que actúa sobre el cuerpo.[10]​ Además, se ha descubierto que el principio de Arquímedes se rompe en fluidos complejos.[11]​ Los fluidos complejos son mezclas en las que coexisten dos fases: sólido-líquido (suspensiones "Suspensión (química)") o soluciones de macromoléculas como polímeros), sólido-gas (granulares), líquido-gas (espumas) o líquido-líquido (emulsiones).

Existe una excepción al principio de Arquímedes conocida como el caso inferior (o lateral). Esto ocurre cuando un lado del objeto está tocando el fondo (o lado) del recipiente en el que está sumergido, y no se filtra líquido a lo largo de ese lado. En este caso, se ha comprobado que la fuerza neta difiere del principio de Arquímedes, debido a que al no filtrarse líquido por ese lado, se rompe la simetría de la presión.[12]​.

El principio de Arquímedes muestra la fuerza de flotación y el desplazamiento de un fluido. Sin embargo, el concepto del principio de Arquímedes puede aplicarse al considerar por qué flotan los objetos. La proposición 5 del tratado de Arquímedes Sobre los cuerpos flotantes afirma que.

En otras palabras, para un objeto que flota sobre una superficie líquida (como un barco) o que flota sumergido en un fluido (como un submarino en el agua o un dirigible en el aire) el peso del líquido desplazado es igual al peso del objeto. Por tanto, sólo en el caso especial de la flotación la fuerza de flotación que actúa sobre un objeto es igual al peso del mismo. Consideremos un bloque de hierro macizo de 1 tonelada. Como el hierro es casi ocho veces más denso que el agua, sólo desplaza 1/8 de tonelada de agua cuando está sumergido, lo que no es suficiente para mantenerlo a flote. Supongamos que el mismo bloque de hierro se transforma en un cuenco. Sigue pesando 1 tonelada, pero cuando se sumerge en agua, desplaza un volumen de agua mayor que cuando era un bloque. Cuanto más profundo se sumerge el cuenco de hierro, más agua desplaza y mayor es la fuerza de flotación que actúa sobre él. Cuando la fuerza de flotación es igual a 1 tonelada, ya no se hunde.

Cuando un barco desplaza un peso de agua igual a su propio peso, flota. Esto suele denominarse "principio de flotación": Un objeto flotante desplaza un peso de fluido igual a su propio peso. Todo buque, submarino y dirigible debe estar diseñado para desplazar un peso de fluido al menos igual a su propio peso. El casco de un barco de 10.000 toneladas debe ser lo suficientemente ancho, largo y profundo como para desplazar 10.000 toneladas de agua y tener todavía algo de casco por encima del agua para evitar que se hunda. Necesita casco adicional para combatir las olas que, de lo contrario, lo llenarían y, al aumentar su masa, harían que se sumergiera. Lo mismo ocurre con los buques en el aire: un dirigible que pese 100 toneladas necesita desplazar 100 toneladas de aire. Si desplaza más, se eleva; si desplaza menos, cae. Si el dirigible desplaza exactamente su peso, flota a una altitud constante.

Aunque están relacionados con él, el principio de flotación y el concepto de que un objeto sumergido desplaza un volumen de fluido igual a su propio volumen no son el principio de Arquímedes. El principio de Arquímedes, como ya se ha dicho, equipara la fuerza de flotación al peso del fluido desplazado.

Un punto común de confusión en relación con el principio de Arquímedes es el significado de volumen desplazado. Las demostraciones más comunes consisten en medir el aumento del nivel del agua cuando un objeto flota en la superficie para calcular el agua desplazada. Este método de medición falla con un objeto flotante sumergido porque la subida del nivel del agua está directamente relacionada con el volumen del objeto y no con la masa (excepto si la densidad efectiva del objeto es exactamente igual a la densidad del fluido).[14]​[15]​[16]​.

El principio de Arquímedes puede deducirse matemáticamente de las ecuaciones de Euler "Ecuaciones de Euler (fluidos)") para un fluido en reposo que a su vez pueden deducirse generalizando las leyes de Newton a un medio continuo. De la misma manera, el principio de Arquímedes se puede deducir de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido:.

La condición de que el fluido incompresible que esté en reposo implica tomar en la ecuación anterior , lo que permite llegar a la relación fundamental entre presión del fluido, densidad del fluido y aceleración de la gravedad:.

A partir de esa relación podemos reescribir fácilmente las fuerzas sobre un cuerpo sumergido en términos del peso del fluido desalojado por el cuerpo. Cuando se sumerge un sólido K en un fluido, en cada punto de su superficie aparece una fuerza por unidad de superficie perpendicular a la superficie en ese punto y proporcional a la presión del fluido p en ese punto. Si llamamos al vector normal a la superficie del cuerpo podemos escribir la resultante de las fuerzas sencillamente mediante el teorema de Stokes de la divergencia:.

donde la última igualdad se da solamente si el fluido es incompresible.

Supongamos un cuerpo de volumen sumergido en un fluido de densidad , ahora podemos elegir pequeños elementos de área , tales que tiendan a ser un punto de la superficie del cuerpo.

Sobre cada punto (elemento de área) actúa una presión de valor y una fuerza asociada a ella, tal que.

Todas las fuerzas que están bordeando el cuerpo debido a la presión a un mismo nivel se anulan. quedando únicamente fuerzas en dirección hacia abajo y hacia arriba.

Ahora si tomamos dos puntos de la superficie del cuerpo que estén conectados a través de una vertical tenemos una respectiva fuerza hacia abajo y otra hacia arriba y por ende una respectiva resultante.

Donde la parte es un pequeño elemento de volumen del cuerpo, .

Por lo tanto, se puede reescribir como:.

Ahora, el empuje viene a ser la fuerza neta.

Donde la suma de todos los pequeños elementos de volumen del cuerpo, , resulta ser el volumen total del cuerpo sumergido, es decir,.

Por lo tanto se llega a:.

Es decir, el empuje es proporcional al volumen del fluido desplazado por el cuerpo, es decir proporcional al volumen del cuerpo sumergido.

Sabiendo que , reemplazando se obtiene:.

Es decir, el empuje es igual al peso del fluido desplazado.

Con esto queda demostrado el principio de Arquímedes.

Para un prisma recto de base A y altura H, sumergido en posición totalmente vertical, la demostración anterior es realmente elemental. Por la configuración del prisma dentro del fluido, las presiones sobre el área lateral solamente producen empujes horizontales que, además, se anulan entre sí y no contribuyen a sustentarlo. Para las caras superior e inferior, puesto que todos sus puntos están sumergidos a la misma profundidad, la presión es constante y podemos usar la relación fuerza = presión × área, y teniendo en cuenta la resultante sobre la cara superior e inferior, tenemos:.

donde es la presión aplicada sobre la cara inferior del cuerpo, es la presión aplicada sobre la cara superior y A es el área proyectada del cuerpo. Teniendo en cuenta la ecuación general de la hidrostática, que establece que la presión en un fluido en reposo aumenta proporcionalmente con la profundidad:.

Introduciendo en el último término el volumen del cuerpo y multiplicando por la densidad del fluido ρ vemos que la fuerza vertical ascendente F es precisamente el peso del fluido desalojado.

El empuje o fuerza que ejerce el líquido sobre un cuerpo, en forma vertical y ascendente, cuando este se halla sumergido, resulta ser también la diferencia entre el peso que tiene el cuerpo suspendido en el aire y el «peso» que tiene el mismo cuando se lo introduce en un líquido. A este último se lo conoce como peso «aparente» del cuerpo, pues su peso en el líquido disminuye «aparentemente»; la fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo permanece constante, pero el cuerpo, a su vez, recibe una fuerza hacia arriba que disminuye la resultante vertical.

donde es el peso del cuerpo en el aire y es el peso del cuerpo sumergido en el líquido.

El principio de Arquímedes no tiene en cuenta la tensión superficial (capilaridad) que actúa sobre el cuerpo.[10]​ Además, se ha descubierto que el principio de Arquímedes se rompe en fluidos complejos.[11]​ Los fluidos complejos son mezclas en las que coexisten dos fases: sólido-líquido (suspensiones "Suspensión (química)") o soluciones de macromoléculas como polímeros), sólido-gas (granulares), líquido-gas (espumas) o líquido-líquido (emulsiones).

Existe una excepción al principio de Arquímedes conocida como el caso inferior (o lateral). Esto ocurre cuando un lado del objeto está tocando el fondo (o lado) del recipiente en el que está sumergido, y no se filtra líquido a lo largo de ese lado. En este caso, se ha comprobado que la fuerza neta difiere del principio de Arquímedes, debido a que al no filtrarse líquido por ese lado, se rompe la simetría de la presión.[12]​.

El principio de Arquímedes muestra la fuerza de flotación y el desplazamiento de un fluido. Sin embargo, el concepto del principio de Arquímedes puede aplicarse al considerar por qué flotan los objetos. La proposición 5 del tratado de Arquímedes Sobre los cuerpos flotantes afirma que.

En otras palabras, para un objeto que flota sobre una superficie líquida (como un barco) o que flota sumergido en un fluido (como un submarino en el agua o un dirigible en el aire) el peso del líquido desplazado es igual al peso del objeto. Por tanto, sólo en el caso especial de la flotación la fuerza de flotación que actúa sobre un objeto es igual al peso del mismo. Consideremos un bloque de hierro macizo de 1 tonelada. Como el hierro es casi ocho veces más denso que el agua, sólo desplaza 1/8 de tonelada de agua cuando está sumergido, lo que no es suficiente para mantenerlo a flote. Supongamos que el mismo bloque de hierro se transforma en un cuenco. Sigue pesando 1 tonelada, pero cuando se sumerge en agua, desplaza un volumen de agua mayor que cuando era un bloque. Cuanto más profundo se sumerge el cuenco de hierro, más agua desplaza y mayor es la fuerza de flotación que actúa sobre él. Cuando la fuerza de flotación es igual a 1 tonelada, ya no se hunde.

Cuando un barco desplaza un peso de agua igual a su propio peso, flota. Esto suele denominarse "principio de flotación": Un objeto flotante desplaza un peso de fluido igual a su propio peso. Todo buque, submarino y dirigible debe estar diseñado para desplazar un peso de fluido al menos igual a su propio peso. El casco de un barco de 10.000 toneladas debe ser lo suficientemente ancho, largo y profundo como para desplazar 10.000 toneladas de agua y tener todavía algo de casco por encima del agua para evitar que se hunda. Necesita casco adicional para combatir las olas que, de lo contrario, lo llenarían y, al aumentar su masa, harían que se sumergiera. Lo mismo ocurre con los buques en el aire: un dirigible que pese 100 toneladas necesita desplazar 100 toneladas de aire. Si desplaza más, se eleva; si desplaza menos, cae. Si el dirigible desplaza exactamente su peso, flota a una altitud constante.

Aunque están relacionados con él, el principio de flotación y el concepto de que un objeto sumergido desplaza un volumen de fluido igual a su propio volumen no son el principio de Arquímedes. El principio de Arquímedes, como ya se ha dicho, equipara la fuerza de flotación al peso del fluido desplazado.

Un punto común de confusión en relación con el principio de Arquímedes es el significado de volumen desplazado. Las demostraciones más comunes consisten en medir el aumento del nivel del agua cuando un objeto flota en la superficie para calcular el agua desplazada. Este método de medición falla con un objeto flotante sumergido porque la subida del nivel del agua está directamente relacionada con el volumen del objeto y no con la masa (excepto si la densidad efectiva del objeto es exactamente igual a la densidad del fluido).[14]​[15]​[16]​.