Elas são chamadas de coordenadas cartesianas em homenagem a René Descartes (1596-1650), o famoso filósofo e matemático francês que quis basear seu pensamento filosófico no método de tomar um "ponto de partida" óbvio sobre o qual construiria todo o conhecimento.

Como criador da geometria analítica, Descartes também começou por tomar um “ponto de partida” nesta disciplina, o sistema de referência cartesiano, para representar a geometria plana, que utiliza apenas duas linhas perpendiculares entre si que se cruzam num ponto denominado “origem das coordenadas”.

Tanto Descartes quanto Fermat utilizaram um único eixo em seus tratamentos e possuem comprimento variável medido em referência a este eixo. O conceito de usar um par de eixos foi introduzido mais tarde, depois que La Géométrie de Descartes foi traduzido para o latim em 1649 por Frans van Schooten e seus alunos. Esses comentaristas introduziram vários conceitos ao tentar esclarecer as ideias contidas na obra de Descartes.[1]​.

O desenvolvimento do sistema de coordenadas cartesianas teria um papel fundamental no desenvolvimento do cálculo por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.[2]​ A descrição do plano em duas coordenadas foi posteriormente generalizada no conceito de espaços vetoriais.[3]​.

Desde Descartes, muitos outros sistemas de coordenadas foram desenvolvidos, como as coordenadas polares para o plano e as coordenadas esféricas e cilíndricas para o espaço tridimensional.

Com um sistema de referência composto por duas retas perpendiculares que se cruzam na origem, cada ponto do plano pode ser “nomeado” por dois números: (x, y), que são as coordenadas do ponto, denominadas abscissa e ordenadas, respectivamente, que são as distâncias ortogonais do referido ponto em relação aos eixos cartesianos.

A equação do eixo é , e a do eixo é , retas que se cruzam na origem, cujas coordenadas são .

O eixo também é chamado de eixo de abcissas e o eixo é eixo de ordenadas. Os eixos dividem o espaço em quatro quadrantes I, II, III e IV, nos quais os sinais das coordenadas alternam de positivo para negativo (por exemplo, as duas coordenadas do ponto A serão positivas, enquanto as do ponto B serão ambas negativas).

As coordenadas de qualquer ponto serão dadas pelas projeções do segmento entre a origem e o ponto em cada um dos eixos.

Em cada um dos eixos são definidos vetores unitários (i e j) como aqueles paralelos aos eixos e do módulo "Módulo (vetor)") (comprimento) a unidade. Na forma vetorial, a posição do ponto A é definida em relação à origem com as componentes do vetor OA.

A posição do ponto A será:.

Observe que a lista de coordenadas pode expressar tanto a posição de um ponto quanto os componentes de um vetor em notação matricial "Matriz (matemática)").

A distância entre quaisquer dois pontos será dada pela expressão:.

Aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC.

Qualquer vetor AB será definido subtraindo, coordenada por coordenada, os do ponto de origem daqueles do ponto de destino:.

Obviamente, o módulo do vetor AB será a distância d entre os pontos A e B calculada acima.

Se tivermos um sistema de referência formado por três retas mutuamente perpendiculares (X, Y, Z) (abscissa, ordenada e coordenada), que se cruzam na origem (0, 0, 0), cada ponto do espaço pode ser nomeado por três números: (x, y, z), chamados coordenadas do ponto, que são as distâncias ortogonais aos três planos principais: aqueles que contêm os pares de eixos YZ, XZ e YX, respectivamente.

Os planos de referência XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividem o espaço em oito octantes "Octante (geometria)") nos quais, como no caso anterior, os sinais das coordenadas podem ser positivos ou negativos.

A generalização das relações anteriores para o caso espacial é imediata considerando que agora é necessária uma terceira coordenada (z) para definir a posição do ponto.

As coordenadas do ponto A serão:.

e o B:.

A distância entre os pontos A e B será:.

O segmento AB será:.

Contenido

Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse tres transformaciones elementales: traslación "Traslación (geometría)") del origen, rotación alrededor de un eje y escalado.

Tradução de origem

Supondo um sistema de coordenadas inicial S1 com origem em O e eixos x e y.

e as coordenadas de um determinado ponto A, estão no sistema S1:.

dado um segundo sistema de referência S2.

Os centros de coordenadas dos sistemas 0 e 0´ são pontos diferentes, e os eixos x, x´; e y, y´ paralelos dois a dois, e as coordenadas de O´, em relação a S1:.

Chama-se translação da origem, para calcular as coordenadas de A em S2, conforme os dados anteriores, que chamaremos de:.

Dados os pontos O, O´ e A, temos a soma dos vetores:.

compensação

Que é o mesmo que:

Separando os vetores por coordenadas:.

e expandindo-o para três dimensões:.

Rotação em torno da origem

Dado um sistema de coordenadas no plano S com origem nos eixos O e x e y:.

e uma base ortonormal deste sistema:.

Um ponto A no plano será representado neste sistema de acordo com suas coordenadas:.

Para um segundo sistema de referência S girado em um ângulo em relação ao primeiro:.

e com base ortonormal:.

O cálculo das coordenadas do ponto A, em relação a este segundo sistema de referência, girado em relação ao primeiro, é denominado rotação em torno da origem, sendo sua representação:.

Deve-se levar em conta que o ponto e são o mesmo ponto, ; Uma denominação ou outra é usada para indicar o sistema de referência utilizado. O valor das coordenadas em relação a um ou outro sistema é diferente, e é isso que se pretende calcular.

A representação de B em B é:.

Como o ponto A em B1 é:.

Com a transformação anterior temos:

E, desfazendo os parênteses:

reordenando:.

Como:.

Temos que:

Como sabíamos:

Por identificação de termos:

Quais são as coordenadas de A em B, com base nas coordenadas de A em B e de .

Dimensionamento

Seja um ponto com coordenadas (x,y) no plano. Se ambos os eixos forem escalonados por um fator λ, as coordenadas desse ponto no novo sistema de coordenadas se tornarão:.

O fator de escala λ não precisa necessariamente ser o mesmo para ambos os eixos.

Sendo [T] a matriz "Matriz (matemática)") de transformação e cujas linhas também são as componentes dos vetores unitários i ' e j ' em relação aos i e j originais, ou se preferir, cujas colunas são as componentes dos vetores unitários originais no sistema de referência girado.

Nota: As grandezas vetoriais estão em negrito.

Elas são chamadas de coordenadas cartesianas em homenagem a René Descartes (1596-1650), o famoso filósofo e matemático francês que quis basear seu pensamento filosófico no método de tomar um "ponto de partida" óbvio sobre o qual construiria todo o conhecimento.

Como criador da geometria analítica, Descartes também começou por tomar um “ponto de partida” nesta disciplina, o sistema de referência cartesiano, para representar a geometria plana, que utiliza apenas duas linhas perpendiculares entre si que se cruzam num ponto denominado “origem das coordenadas”.

Tanto Descartes quanto Fermat utilizaram um único eixo em seus tratamentos e possuem comprimento variável medido em referência a este eixo. O conceito de usar um par de eixos foi introduzido mais tarde, depois que La Géométrie de Descartes foi traduzido para o latim em 1649 por Frans van Schooten e seus alunos. Esses comentaristas introduziram vários conceitos ao tentar esclarecer as ideias contidas na obra de Descartes.[1]​.

O desenvolvimento do sistema de coordenadas cartesianas teria um papel fundamental no desenvolvimento do cálculo por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.[2]​ A descrição do plano em duas coordenadas foi posteriormente generalizada no conceito de espaços vetoriais.[3]​.

Desde Descartes, muitos outros sistemas de coordenadas foram desenvolvidos, como as coordenadas polares para o plano e as coordenadas esféricas e cilíndricas para o espaço tridimensional.

Com um sistema de referência composto por duas retas perpendiculares que se cruzam na origem, cada ponto do plano pode ser “nomeado” por dois números: (x, y), que são as coordenadas do ponto, denominadas abscissa e ordenadas, respectivamente, que são as distâncias ortogonais do referido ponto em relação aos eixos cartesianos.

A equação do eixo é , e a do eixo é , retas que se cruzam na origem, cujas coordenadas são .

O eixo também é chamado de eixo de abcissas e o eixo é eixo de ordenadas. Os eixos dividem o espaço em quatro quadrantes I, II, III e IV, nos quais os sinais das coordenadas alternam de positivo para negativo (por exemplo, as duas coordenadas do ponto A serão positivas, enquanto as do ponto B serão ambas negativas).

As coordenadas de qualquer ponto serão dadas pelas projeções do segmento entre a origem e o ponto em cada um dos eixos.

Em cada um dos eixos são definidos vetores unitários (i e j) como aqueles paralelos aos eixos e do módulo "Módulo (vetor)") (comprimento) a unidade. Na forma vetorial, a posição do ponto A é definida em relação à origem com as componentes do vetor OA.

A posição do ponto A será:.

Observe que a lista de coordenadas pode expressar tanto a posição de um ponto quanto os componentes de um vetor em notação matricial "Matriz (matemática)").

A distância entre quaisquer dois pontos será dada pela expressão:.

Aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC.

Qualquer vetor AB será definido subtraindo, coordenada por coordenada, os do ponto de origem daqueles do ponto de destino:.

Obviamente, o módulo do vetor AB será a distância d entre os pontos A e B calculada acima.

Se tivermos um sistema de referência formado por três retas mutuamente perpendiculares (X, Y, Z) (abscissa, ordenada e coordenada), que se cruzam na origem (0, 0, 0), cada ponto do espaço pode ser nomeado por três números: (x, y, z), chamados coordenadas do ponto, que são as distâncias ortogonais aos três planos principais: aqueles que contêm os pares de eixos YZ, XZ e YX, respectivamente.

Os planos de referência XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividem o espaço em oito octantes "Octante (geometria)") nos quais, como no caso anterior, os sinais das coordenadas podem ser positivos ou negativos.

A generalização das relações anteriores para o caso espacial é imediata considerando que agora é necessária uma terceira coordenada (z) para definir a posição do ponto.

As coordenadas do ponto A serão:.

e o B:.

A distância entre os pontos A e B será:.

O segmento AB será:.

Contenido

Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse tres transformaciones elementales: traslación "Traslación (geometría)") del origen, rotación alrededor de un eje y escalado.

Tradução de origem

Supondo um sistema de coordenadas inicial S1 com origem em O e eixos x e y.

e as coordenadas de um determinado ponto A, estão no sistema S1:.

dado um segundo sistema de referência S2.

Os centros de coordenadas dos sistemas 0 e 0´ são pontos diferentes, e os eixos x, x´; e y, y´ paralelos dois a dois, e as coordenadas de O´, em relação a S1:.

Chama-se translação da origem, para calcular as coordenadas de A em S2, conforme os dados anteriores, que chamaremos de:.

Dados os pontos O, O´ e A, temos a soma dos vetores:.

compensação

Que é o mesmo que:

Separando os vetores por coordenadas:.

e expandindo-o para três dimensões:.

Rotação em torno da origem

Dado um sistema de coordenadas no plano S com origem nos eixos O e x e y:.

e uma base ortonormal deste sistema:.

Um ponto A no plano será representado neste sistema de acordo com suas coordenadas:.

Para um segundo sistema de referência S girado em um ângulo em relação ao primeiro:.

e com base ortonormal:.

O cálculo das coordenadas do ponto A, em relação a este segundo sistema de referência, girado em relação ao primeiro, é denominado rotação em torno da origem, sendo sua representação:.

Deve-se levar em conta que o ponto e são o mesmo ponto, ; Uma denominação ou outra é usada para indicar o sistema de referência utilizado. O valor das coordenadas em relação a um ou outro sistema é diferente, e é isso que se pretende calcular.

A representação de B em B é:.

Como o ponto A em B1 é:.

Com a transformação anterior temos:

E, desfazendo os parênteses:

reordenando:.

Como:.

Temos que:

Como sabíamos:

Por identificação de termos:

Quais são as coordenadas de A em B, com base nas coordenadas de A em B e de .

Dimensionamento

Seja um ponto com coordenadas (x,y) no plano. Se ambos os eixos forem escalonados por um fator λ, as coordenadas desse ponto no novo sistema de coordenadas se tornarão:.

O fator de escala λ não precisa necessariamente ser o mesmo para ambos os eixos.

Sendo [T] a matriz "Matriz (matemática)") de transformação e cujas linhas também são as componentes dos vetores unitários i ' e j ' em relação aos i e j originais, ou se preferir, cujas colunas são as componentes dos vetores unitários originais no sistema de referência girado.

Nota: As grandezas vetoriais estão em negrito.