Contenido

En la mayoría de los flujos de líquidos y de gases con un número de Mach bajo, la densidad de una parcela de fluido puede considerarse constante independientemente de las variaciones de presión en el flujo, por lo que se puede considerar que el fluido es incompresible. Estos flujos se denominan flujos incompresibles. Bernoulli realizó sus experimentos con líquidos, por lo que su ecuación en su forma original es válida solo para flujo incompresible.

La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:.

La siguiente ecuación conocida como "ecuación de Bernoulli", consta de estos mismos términos.

donde:.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:[3]​.

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.

Un ejemplo de aplicación del principio se da en el flujo de agua en tubería.

También se puede reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por (peso específico). De esta forma, el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica, y los términos de presión y altura se agruparán en la presión estática.

o escrita de otra manera más sencilla:.

donde:.

Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo") y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:.

En una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos. Pese a que el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía realmente se deriva de la conservación de la cantidad de movimiento.

Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución de la presión. Este efecto explica por qué las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que está en movimiento respecto a aquel que se encuentra dentro, donde la presión es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria, el aire entra al vehículo; pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.

Forma simplificada

En muchas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, el cambio en el término a lo largo de la línea de flujo es tan pequeño en comparación con los otros términos que se puede ignorar. Por ejemplo, en el caso de una aeronave en vuelo, el cambio en la altura a lo largo de una línea de flujo es tan pequeño que se puede omitir el término . Esto permite que la ecuación anterior se presente en la siguiente forma simplificada:.

donde:.

Muchos autores se refieren a la presión como presión estática para distinguirla de la presión total y la presión dinámica . En Aerodynamics, L.J. Clancy escribe:.

La forma simplificada de la ecuación de Bernoulli se puede resumir en la siguiente ecuación de palabras memorables:[2]​.

presión estática + presión dinámica = presión total.

Cada punto en un fluido que fluye constantemente, independientemente de la velocidad del fluido en ese punto, tiene su propia presión estática única y presión dinámica . Su suma se define como la presión total . La importancia del principio de Bernoulli ahora se puede resumir como «la presión total es constante a lo largo de una línea de corriente».

Si el flujo de fluido es irrotacional, la presión total en cada línea de flujo es la misma y el principio de Bernoulli se puede resumir como «la presión total es constante en todas partes en el flujo de fluido».[2]​ Es razonable suponer que existe un flujo irrotacional en cualquier situación en la que un cuerpo grande de líquido fluye a través de un cuerpo sólido. Algunos ejemplos son aviones en vuelo y barcos que se mueven en cuerpos abiertos de agua. Sin embargo, es importante recordar que el principio de Bernoulli no se aplica en la capa límite o en el flujo de fluido a través de tuberías largas.

Si el flujo de fluido en algún punto a lo largo de una línea de corriente se detiene, este punto se llama punto de estancamiento y, en este punto, la presión total es igual a la presión de estancamiento o «presión de remanso».

Aplicabilidad de la ecuación de flujo incompresible al flujo de gases

La ecuación de Bernoulli es a veces válida para el flujo de gases: siempre que no haya transferencia de energía cinética o potencial del flujo de gas a la compresión o expansión del gas. Si tanto la presión del gas como el volumen cambian simultáneamente, entonces el trabajo se hará en o por el gas. En este caso, la ecuación de Bernoulli -en su forma de flujo incompresible- no puede ser asumida como válida. Sin embargo, si el proceso gaseoso es completamente isobárico, o isocórico, entonces no se realiza ningún trabajo sobre o por el gas, (de modo que el simple balance energético no se altera). Según la ley del gas, un proceso isobárico o isocórico es normalmente la única manera de asegurar una densidad constante en un gas. También la densidad del gas será proporcional a la relación de presión y temperatura absoluta temperatura, sin embargo esta relación variará con la compresión o expansión, sin importar la cantidad de calor que no sea cero que se agregue o se elimine. La única excepción es si la transferencia de calor neta es cero, como en un ciclo termodinámico completo, o en un ciclo isoentrópico individual, sin fricción y adiabático, e incluso entonces este proceso reversible debe ser invertido, para restaurar el gas a la presión original y al volumen específico, y por lo tanto a la densidad. Sólo entonces es aplicable la ecuación original de Bernoulli, no modificada. En este caso, la ecuación puede utilizarse si la velocidad de flujo del gas está suficientemente por debajo de velocidad del sonido, de modo que la variación en la densidad del gas (debido a este efecto) a lo largo de cada línea de corriente puede ser ignorada. El flujo adiabático a Mach < 0.3 se considera generalmente como suficientemente lento.

Flujo de potencial inestable

La ecuación de Bernoulli para el flujo de potencial inestable se usa en la teoría de las ondas superficiales del océano y en la acústica.

Para un flujo irrotacional, la velocidad de flujo se puede describir como el gradiente de un potencial de velocidad . En ese caso, y para una densidad constante , las derivadas de las ecuaciones de Euler se pueden integrar en:[3]​.

que es una ecuación de Bernoulli válida también para flujos inestables (o dependientes del tiempo). Aquí.

Como resultado, la ecuación de Bernoulli en algún momento no solo se aplica a lo largo de una cierta línea de corriente, sino en todo el dominio fluido. Esto también es válido para el caso especial de un flujo irrotacional constante, en cuyo caso y son constantes, por lo que la «ecuación (A)» se puede aplicar en cada punto del dominio del fluido.[3]​.

Además se puede hacer igual a cero incorporándolo en el potencial de velocidad utilizando la transformación.

resultando:.

Ha de tenerse en cuenta que la relación del potencial con la velocidad de flujo no se ve afectada por esta transformación: ∇ Φ = ∇ φ.

La ecuación de Bernoulli para el flujo potencial inestable también parece desempeñar un papel central en el principio variacional de Luke") , una descripción variacional de los flujos de superficie libre utilizando el lagrangiano, que no debe confundirse con las coordenadas lagrangianas.

La ecuación de Bernoulli es aplicable a fluidos no viscosos, incompresibles en los que no existe aportación de trabajo exterior, por ejemplo mediante una bomba, ni extracción de trabajo exterior, por ejemplo mediante una turbina. De todas formas, a partir de la conservación de la Cantidad de movimiento para fluidos incompresibles se puede escribir una forma más general que tiene en cuenta fricción y trabajo:.

donde:.

Bernoulli desarrolló su principio a partir de sus observaciones sobre líquidos, y su ecuación es aplicable solo a fluidos incompresibles y fluidos compresibles constantes hasta aproximadamente el número de Mach 0.3.[12]​ Es posible utilizar los principios fundamentales de la física para desarrollar ecuaciones similares aplicables a los fluidos compresibles. Existen numerosas ecuaciones, cada una diseñada para una aplicación particular, pero todas son análogas a la ecuación de Bernoulli y todas se basan únicamente en los principios fundamentales de la física, como las leyes del movimiento de Newton o la primera ley de la termodinámica.

Flujo compresible en dinámica de fluidos

Para un fluido compresible, con una ecuación de estado barotrópica y bajo la acción de fuerzas conservadoras:[13]​.

donde.

En situaciones de ingeniería, las elevaciones son generalmente pequeñas en comparación con el tamaño de la Tierra, y las escalas de tiempo del flujo de fluido son lo suficientemente pequeñas como para considerar la ecuación de estado como adiabática . En este caso, la ecuación anterior para un gas ideal se convierte en:[2]​.

donde, además de los términos mencionados anteriormente::.

En muchas aplicaciones del flujo compresible, los cambios en la elevación son insignificantes en comparación con los otros términos, por lo que el término se puede omitir y queda una forma muy útil de la ecuación:.

donde:.

Flujo compresible en termodinámica

La forma más general de la ecuación, adecuada para uso en termodinámica en caso de flujo (casi) constante, es:[3]​[14]​[15]​.

Aquí es la entalpía por unidad de masa, también conocida como entalpía específica, que a menudo también se escribe como ; que no debe confundirse con la "altura").

Tenga en cuenta que.

donde es la energía termodinámica por unidad de masa, también conocida como energía interna específica. Por lo tanto, para la energía interna constante la ecuación se reduce a la forma de flujo incompresible.

La constante en el lado derecho a menudo se llama constante de Bernoulli y se denota como . Para un flujo adiabático inviscido constante sin fuentes adicionales o sumideros de energía, es constante a lo largo de cualquier línea de corriente dada. De manera más general, cuando puede variar a lo largo de líneas de flujo, todavía demuestra un parámetro útil, relacionado con la "cabeza" del fluido, tal y como se muestra más abajo.

Cuando se puede ignorar el cambio en , es decir, que permanece constante, una forma muy útil de esta ecuación es:.

donde es entalpía total. Para un gas calóricamente perfecto, como un gas ideal, la entalpía es directamente proporcional a la temperatura, y esto lleva al concepto de temperatura total o de estancamiento.

Cuando hay ondas de choque, en un marco de referencia en el que el choque es estacionario y el flujo es constante, muchos de los parámetros en la ecuación de Bernoulli sufren cambios abruptos en el paso a través del choque. El parámetro de Bernoulli, sin embargo, no se ve afectado. Una excepción a esta regla son los choques radiantes, que violan los supuestos que conducen a la ecuación de Bernoulli, es decir, la falta de sumideros o fuentes de energía adicionales.

En la vida cotidiana moderna, hay muchas observaciones que pueden explicarse con éxito mediante la aplicación del principio de Bernoulli, aunque ningún fluido real es totalmente no viscoso,[19]​ una pequeña viscosidad puede tener un gran efecto en el flujo.

Aviación y vehículos de alta velocidad.

El principio de Bernoulli se puede utilizar para calcular la fuerza de sustentación en un perfil aerodinámico si se conoce el comportamiento del flujo de fluido cerca de la lámina. Por ejemplo, si el aire que fluye justo por encima de la superficie superior de un ala de un avión se mueve más rápido que el aire que fluye justo por debajo de la superficie inferior, entonces el principio de Bernoulli implica que la presión en la superficie superior (extradós alar) será más baja que en la superficie inferior (intradós alar), esta diferencia de presiones da como resultado una fuerza vectorial vertical denominada “sustentación”. [d][20]​ Siempre que se conoce la distribución de la velocidad más allá de las superficies superior e inferior de un ala, se pueden calcular las fuerzas de sustentación (en una buena aproximación) utilizando las ecuaciones de Bernoulli[21]​ establecidas por él mismo un siglo antes de que las primeras alas hechas por el hombre se usaran para volar. El principio de Bernoulli no explica por qué el aire fluye más rápido por la parte superior del ala y más lento por la parte inferior. Vea el artículo sobre la sustentación aerodinámica para más información.

Chimenea.

Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y mayor es la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen mejor.

Tubería.

La tasa máxima de drenaje posible para un tanque con un orificio o grifo en la base se puede calcular directamente a partir de la ecuación de Bernoulli, y se encuentra que es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del fluido en el tanque. Esta es la ley de Torricelli, que muestra que la ley de Torricelli es compatible con el principio de Bernoulli. La viscosidad reduce esta tasa de drenaje. Esto se refleja en el coeficiente de descarga, que es una función del número de Reynolds y la forma del orificio.[22]​.

Natación.

La aplicación dentro de este deporte se ve reflejado directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presión y mayor propulsión.

Carburador de automóvil.

En un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpo del carburador disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presión, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire.

Dispositivos de Venturi.

En oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de alto consumo utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual está basado en el principio de Bernoulli.

Sistema pitot-estático en aviación.

El tubo de pitot y el puerto estático de una aeronave se utilizan para determinar la velocidad aérea de la aeronave. Estos dos dispositivos están conectados al indicador de velocidad del aire , que determina la presión dinámica del flujo de aire que pasa por la aeronave. La presión dinámica es la diferencia entre la presión de estancamiento y la presión estática . El principio de Bernoulli se utiliza para calibrar el indicador de velocidad del aire de modo que muestre la velocidad indicada según la presión dinámica.[2]​.

Se pueden encontrar muchas explicaciones para la generación de sustentación (en las aspas aerodinámicas , las palas de la hélice , etc.); Algunas de estas explicaciones pueden ser engañosas, y algunas son falsas.[23]​ Ha habido un debate sobre si el mejor modo de presentar la elevación o sustentación a los estudiantes que utilizan el principio de Bernoulli o las leyes de movimiento de Newton. Los escritos modernos coinciden en que tanto el principio de Bernoulli como las leyes de Newton son relevantes y se pueden usar para describir correctamente la elevación.[24]​[25]​.

Varias de estas explicaciones utilizan el principio de Bernoulli para conectar la cinemática del flujo a las presiones inducidas por el flujo. En casos de explicaciones incorrectas (o parcialmente correctas) que se basan en el principio de Bernoulli , los errores generalmente ocurren en los supuestos sobre la cinemática de flujo y cómo se producen. No es el principio de Bernoulli lo que se cuestiona porque este principio está bien establecido (el flujo de aire sobre el ala es más rápido, la pregunta es por qué es más rápido).[3]​[26]​[27]​[28]​.

Hay varias demostraciones comunes en el aula que a veces se explican incorrectamente utilizando el principio de Bernoulli.[29]​ Uno consiste en sostener un pedazo de papel horizontalmente para que caiga hacia abajo y luego soplar sobre su parte superior. Cuando el demostrador sopla sobre el papel, el papel se eleva. Luego se afirma que esto se debe a que "el aire en movimiento más rápido tiene una presión más baja".[30]​[31]​[32]​.

Un problema con esta explicación se puede ver soplando a lo largo de la parte inferior del papel: si la desviación se debiera simplemente al aire en movimiento más rápido, se podría esperar que el papel se desvíe hacia abajo, pero el papel se desvía hacia arriba, independientemente de si el aire en movimiento es más rápido arriba o abajo.[33]​ Otro problema es que cuando el aire sale de la boca del demostrador tiene la misma presión que el aire circundante;[34]​ el aire no tiene menor presión simplemente porque se está moviendo; en la demostración, la presión estática del aire que sale de la boca del demostrador es igual a la presión del aire circundante.[35]​[36]​ Un tercer problema es que es falso hacer una conexión entre el flujo en los dos lados del papel utilizando la ecuación de Bernoulli, ya que el aire arriba y abajo son campos de flujo diferentes y el principio de Bernoulli solo se aplica dentro de un campo de flujo.[37]​[38]​[39]​[40]​.

Como la redacción del principio puede cambiar sus implicaciones, es importante que se establezca correctamente.[41]​ Lo que realmente dice el principio de Bernoulli es que dentro de un flujo de energía constante, cuando el fluido fluye a través de una región de presión más baja, se acelera y viceversa.[42]​ Por lo tanto, el principio de Bernoulli se refiere a cambios en la velocidad y cambios en la presión dentro de un campo de flujo. No se puede utilizar para comparar diferentes campos de flujo.

Una explicación correcta de por qué sube el papel observaría que la pluma sigue la curva del papel y que una línea de corriente curva desarrollará un gradiente de presión perpendicular a la dirección del flujo, con la presión más baja en el interior de la curva.[43]​[44]​[45]​[46]​ El principio de Bernoulli predice que la disminución de la presión está asociada con un aumento de la velocidad, es decir, que cuando el aire pasa sobre el papel, se acelera y se mueve más rápido de lo que se movía cuando se fue La boca del manifestante. Pero esto no se desprende de la demostración.[47]​[48]​[49]​.

Otras demostraciones comunes en el aula, como soplar entre dos esferas suspendidas, inflar una bolsa grande o suspender una bola en una corriente de aire a veces se explican de manera igualmente engañosa al decir "el aire que se mueve más rápido tiene una presión más baja".[50]​[51]​[52]​[53]​[54]​[55]​[56]​.

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En la mayoría de los flujos de líquidos y de gases con un número de Mach bajo, la densidad de una parcela de fluido puede considerarse constante independientemente de las variaciones de presión en el flujo, por lo que se puede considerar que el fluido es incompresible. Estos flujos se denominan flujos incompresibles. Bernoulli realizó sus experimentos con líquidos, por lo que su ecuación en su forma original es válida solo para flujo incompresible.

La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:.

La siguiente ecuación conocida como "ecuación de Bernoulli", consta de estos mismos términos.

donde:.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:[3]​.

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.

Un ejemplo de aplicación del principio se da en el flujo de agua en tubería.

También se puede reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por (peso específico). De esta forma, el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica, y los términos de presión y altura se agruparán en la presión estática.

o escrita de otra manera más sencilla:.

donde:.

Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo") y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:.

En una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos. Pese a que el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía realmente se deriva de la conservación de la cantidad de movimiento.

Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución de la presión. Este efecto explica por qué las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que está en movimiento respecto a aquel que se encuentra dentro, donde la presión es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria, el aire entra al vehículo; pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.

Forma simplificada

En muchas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, el cambio en el término a lo largo de la línea de flujo es tan pequeño en comparación con los otros términos que se puede ignorar. Por ejemplo, en el caso de una aeronave en vuelo, el cambio en la altura a lo largo de una línea de flujo es tan pequeño que se puede omitir el término . Esto permite que la ecuación anterior se presente en la siguiente forma simplificada:.

donde:.

Muchos autores se refieren a la presión como presión estática para distinguirla de la presión total y la presión dinámica . En Aerodynamics, L.J. Clancy escribe:.

La forma simplificada de la ecuación de Bernoulli se puede resumir en la siguiente ecuación de palabras memorables:[2]​.

presión estática + presión dinámica = presión total.

Cada punto en un fluido que fluye constantemente, independientemente de la velocidad del fluido en ese punto, tiene su propia presión estática única y presión dinámica . Su suma se define como la presión total . La importancia del principio de Bernoulli ahora se puede resumir como «la presión total es constante a lo largo de una línea de corriente».

Si el flujo de fluido es irrotacional, la presión total en cada línea de flujo es la misma y el principio de Bernoulli se puede resumir como «la presión total es constante en todas partes en el flujo de fluido».[2]​ Es razonable suponer que existe un flujo irrotacional en cualquier situación en la que un cuerpo grande de líquido fluye a través de un cuerpo sólido. Algunos ejemplos son aviones en vuelo y barcos que se mueven en cuerpos abiertos de agua. Sin embargo, es importante recordar que el principio de Bernoulli no se aplica en la capa límite o en el flujo de fluido a través de tuberías largas.

Si el flujo de fluido en algún punto a lo largo de una línea de corriente se detiene, este punto se llama punto de estancamiento y, en este punto, la presión total es igual a la presión de estancamiento o «presión de remanso».

Aplicabilidad de la ecuación de flujo incompresible al flujo de gases

La ecuación de Bernoulli es a veces válida para el flujo de gases: siempre que no haya transferencia de energía cinética o potencial del flujo de gas a la compresión o expansión del gas. Si tanto la presión del gas como el volumen cambian simultáneamente, entonces el trabajo se hará en o por el gas. En este caso, la ecuación de Bernoulli -en su forma de flujo incompresible- no puede ser asumida como válida. Sin embargo, si el proceso gaseoso es completamente isobárico, o isocórico, entonces no se realiza ningún trabajo sobre o por el gas, (de modo que el simple balance energético no se altera). Según la ley del gas, un proceso isobárico o isocórico es normalmente la única manera de asegurar una densidad constante en un gas. También la densidad del gas será proporcional a la relación de presión y temperatura absoluta temperatura, sin embargo esta relación variará con la compresión o expansión, sin importar la cantidad de calor que no sea cero que se agregue o se elimine. La única excepción es si la transferencia de calor neta es cero, como en un ciclo termodinámico completo, o en un ciclo isoentrópico individual, sin fricción y adiabático, e incluso entonces este proceso reversible debe ser invertido, para restaurar el gas a la presión original y al volumen específico, y por lo tanto a la densidad. Sólo entonces es aplicable la ecuación original de Bernoulli, no modificada. En este caso, la ecuación puede utilizarse si la velocidad de flujo del gas está suficientemente por debajo de velocidad del sonido, de modo que la variación en la densidad del gas (debido a este efecto) a lo largo de cada línea de corriente puede ser ignorada. El flujo adiabático a Mach < 0.3 se considera generalmente como suficientemente lento.

Flujo de potencial inestable

La ecuación de Bernoulli para el flujo de potencial inestable se usa en la teoría de las ondas superficiales del océano y en la acústica.

Para un flujo irrotacional, la velocidad de flujo se puede describir como el gradiente de un potencial de velocidad . En ese caso, y para una densidad constante , las derivadas de las ecuaciones de Euler se pueden integrar en:[3]​.

que es una ecuación de Bernoulli válida también para flujos inestables (o dependientes del tiempo). Aquí.

Como resultado, la ecuación de Bernoulli en algún momento no solo se aplica a lo largo de una cierta línea de corriente, sino en todo el dominio fluido. Esto también es válido para el caso especial de un flujo irrotacional constante, en cuyo caso y son constantes, por lo que la «ecuación (A)» se puede aplicar en cada punto del dominio del fluido.[3]​.

Además se puede hacer igual a cero incorporándolo en el potencial de velocidad utilizando la transformación.

resultando:.

Ha de tenerse en cuenta que la relación del potencial con la velocidad de flujo no se ve afectada por esta transformación: ∇ Φ = ∇ φ.

La ecuación de Bernoulli para el flujo potencial inestable también parece desempeñar un papel central en el principio variacional de Luke") , una descripción variacional de los flujos de superficie libre utilizando el lagrangiano, que no debe confundirse con las coordenadas lagrangianas.

La ecuación de Bernoulli es aplicable a fluidos no viscosos, incompresibles en los que no existe aportación de trabajo exterior, por ejemplo mediante una bomba, ni extracción de trabajo exterior, por ejemplo mediante una turbina. De todas formas, a partir de la conservación de la Cantidad de movimiento para fluidos incompresibles se puede escribir una forma más general que tiene en cuenta fricción y trabajo:.

donde:.

Bernoulli desarrolló su principio a partir de sus observaciones sobre líquidos, y su ecuación es aplicable solo a fluidos incompresibles y fluidos compresibles constantes hasta aproximadamente el número de Mach 0.3.[12]​ Es posible utilizar los principios fundamentales de la física para desarrollar ecuaciones similares aplicables a los fluidos compresibles. Existen numerosas ecuaciones, cada una diseñada para una aplicación particular, pero todas son análogas a la ecuación de Bernoulli y todas se basan únicamente en los principios fundamentales de la física, como las leyes del movimiento de Newton o la primera ley de la termodinámica.

Flujo compresible en dinámica de fluidos

Para un fluido compresible, con una ecuación de estado barotrópica y bajo la acción de fuerzas conservadoras:[13]​.

donde.

En situaciones de ingeniería, las elevaciones son generalmente pequeñas en comparación con el tamaño de la Tierra, y las escalas de tiempo del flujo de fluido son lo suficientemente pequeñas como para considerar la ecuación de estado como adiabática . En este caso, la ecuación anterior para un gas ideal se convierte en:[2]​.

donde, además de los términos mencionados anteriormente::.

En muchas aplicaciones del flujo compresible, los cambios en la elevación son insignificantes en comparación con los otros términos, por lo que el término se puede omitir y queda una forma muy útil de la ecuación:.

donde:.

Flujo compresible en termodinámica

La forma más general de la ecuación, adecuada para uso en termodinámica en caso de flujo (casi) constante, es:[3]​[14]​[15]​.

Aquí es la entalpía por unidad de masa, también conocida como entalpía específica, que a menudo también se escribe como ; que no debe confundirse con la "altura").

Tenga en cuenta que.

donde es la energía termodinámica por unidad de masa, también conocida como energía interna específica. Por lo tanto, para la energía interna constante la ecuación se reduce a la forma de flujo incompresible.

La constante en el lado derecho a menudo se llama constante de Bernoulli y se denota como . Para un flujo adiabático inviscido constante sin fuentes adicionales o sumideros de energía, es constante a lo largo de cualquier línea de corriente dada. De manera más general, cuando puede variar a lo largo de líneas de flujo, todavía demuestra un parámetro útil, relacionado con la "cabeza" del fluido, tal y como se muestra más abajo.

Cuando se puede ignorar el cambio en , es decir, que permanece constante, una forma muy útil de esta ecuación es:.

donde es entalpía total. Para un gas calóricamente perfecto, como un gas ideal, la entalpía es directamente proporcional a la temperatura, y esto lleva al concepto de temperatura total o de estancamiento.

Cuando hay ondas de choque, en un marco de referencia en el que el choque es estacionario y el flujo es constante, muchos de los parámetros en la ecuación de Bernoulli sufren cambios abruptos en el paso a través del choque. El parámetro de Bernoulli, sin embargo, no se ve afectado. Una excepción a esta regla son los choques radiantes, que violan los supuestos que conducen a la ecuación de Bernoulli, es decir, la falta de sumideros o fuentes de energía adicionales.

En la vida cotidiana moderna, hay muchas observaciones que pueden explicarse con éxito mediante la aplicación del principio de Bernoulli, aunque ningún fluido real es totalmente no viscoso,[19]​ una pequeña viscosidad puede tener un gran efecto en el flujo.

Aviación y vehículos de alta velocidad.

El principio de Bernoulli se puede utilizar para calcular la fuerza de sustentación en un perfil aerodinámico si se conoce el comportamiento del flujo de fluido cerca de la lámina. Por ejemplo, si el aire que fluye justo por encima de la superficie superior de un ala de un avión se mueve más rápido que el aire que fluye justo por debajo de la superficie inferior, entonces el principio de Bernoulli implica que la presión en la superficie superior (extradós alar) será más baja que en la superficie inferior (intradós alar), esta diferencia de presiones da como resultado una fuerza vectorial vertical denominada “sustentación”. [d][20]​ Siempre que se conoce la distribución de la velocidad más allá de las superficies superior e inferior de un ala, se pueden calcular las fuerzas de sustentación (en una buena aproximación) utilizando las ecuaciones de Bernoulli[21]​ establecidas por él mismo un siglo antes de que las primeras alas hechas por el hombre se usaran para volar. El principio de Bernoulli no explica por qué el aire fluye más rápido por la parte superior del ala y más lento por la parte inferior. Vea el artículo sobre la sustentación aerodinámica para más información.

Chimenea.

Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y mayor es la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen mejor.

Tubería.

La tasa máxima de drenaje posible para un tanque con un orificio o grifo en la base se puede calcular directamente a partir de la ecuación de Bernoulli, y se encuentra que es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del fluido en el tanque. Esta es la ley de Torricelli, que muestra que la ley de Torricelli es compatible con el principio de Bernoulli. La viscosidad reduce esta tasa de drenaje. Esto se refleja en el coeficiente de descarga, que es una función del número de Reynolds y la forma del orificio.[22]​.

Natación.

La aplicación dentro de este deporte se ve reflejado directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presión y mayor propulsión.

Carburador de automóvil.

En un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpo del carburador disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presión, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire.

Dispositivos de Venturi.

En oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de alto consumo utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual está basado en el principio de Bernoulli.

Sistema pitot-estático en aviación.

El tubo de pitot y el puerto estático de una aeronave se utilizan para determinar la velocidad aérea de la aeronave. Estos dos dispositivos están conectados al indicador de velocidad del aire , que determina la presión dinámica del flujo de aire que pasa por la aeronave. La presión dinámica es la diferencia entre la presión de estancamiento y la presión estática . El principio de Bernoulli se utiliza para calibrar el indicador de velocidad del aire de modo que muestre la velocidad indicada según la presión dinámica.[2]​.

Se pueden encontrar muchas explicaciones para la generación de sustentación (en las aspas aerodinámicas , las palas de la hélice , etc.); Algunas de estas explicaciones pueden ser engañosas, y algunas son falsas.[23]​ Ha habido un debate sobre si el mejor modo de presentar la elevación o sustentación a los estudiantes que utilizan el principio de Bernoulli o las leyes de movimiento de Newton. Los escritos modernos coinciden en que tanto el principio de Bernoulli como las leyes de Newton son relevantes y se pueden usar para describir correctamente la elevación.[24]​[25]​.

Varias de estas explicaciones utilizan el principio de Bernoulli para conectar la cinemática del flujo a las presiones inducidas por el flujo. En casos de explicaciones incorrectas (o parcialmente correctas) que se basan en el principio de Bernoulli , los errores generalmente ocurren en los supuestos sobre la cinemática de flujo y cómo se producen. No es el principio de Bernoulli lo que se cuestiona porque este principio está bien establecido (el flujo de aire sobre el ala es más rápido, la pregunta es por qué es más rápido).[3]​[26]​[27]​[28]​.

Hay varias demostraciones comunes en el aula que a veces se explican incorrectamente utilizando el principio de Bernoulli.[29]​ Uno consiste en sostener un pedazo de papel horizontalmente para que caiga hacia abajo y luego soplar sobre su parte superior. Cuando el demostrador sopla sobre el papel, el papel se eleva. Luego se afirma que esto se debe a que "el aire en movimiento más rápido tiene una presión más baja".[30]​[31]​[32]​.

Un problema con esta explicación se puede ver soplando a lo largo de la parte inferior del papel: si la desviación se debiera simplemente al aire en movimiento más rápido, se podría esperar que el papel se desvíe hacia abajo, pero el papel se desvía hacia arriba, independientemente de si el aire en movimiento es más rápido arriba o abajo.[33]​ Otro problema es que cuando el aire sale de la boca del demostrador tiene la misma presión que el aire circundante;[34]​ el aire no tiene menor presión simplemente porque se está moviendo; en la demostración, la presión estática del aire que sale de la boca del demostrador es igual a la presión del aire circundante.[35]​[36]​ Un tercer problema es que es falso hacer una conexión entre el flujo en los dos lados del papel utilizando la ecuación de Bernoulli, ya que el aire arriba y abajo son campos de flujo diferentes y el principio de Bernoulli solo se aplica dentro de un campo de flujo.[37]​[38]​[39]​[40]​.

Como la redacción del principio puede cambiar sus implicaciones, es importante que se establezca correctamente.[41]​ Lo que realmente dice el principio de Bernoulli es que dentro de un flujo de energía constante, cuando el fluido fluye a través de una región de presión más baja, se acelera y viceversa.[42]​ Por lo tanto, el principio de Bernoulli se refiere a cambios en la velocidad y cambios en la presión dentro de un campo de flujo. No se puede utilizar para comparar diferentes campos de flujo.

Una explicación correcta de por qué sube el papel observaría que la pluma sigue la curva del papel y que una línea de corriente curva desarrollará un gradiente de presión perpendicular a la dirección del flujo, con la presión más baja en el interior de la curva.[43]​[44]​[45]​[46]​ El principio de Bernoulli predice que la disminución de la presión está asociada con un aumento de la velocidad, es decir, que cuando el aire pasa sobre el papel, se acelera y se mueve más rápido de lo que se movía cuando se fue La boca del manifestante. Pero esto no se desprende de la demostración.[47]​[48]​[49]​.

Otras demostraciones comunes en el aula, como soplar entre dos esferas suspendidas, inflar una bolsa grande o suspender una bola en una corriente de aire a veces se explican de manera igualmente engañosa al decir "el aire que se mueve más rápido tiene una presión más baja".[50]​[51]​[52]​[53]​[54]​[55]​[56]​.