La ley de Hooke usada para materiales elásticos reversibles y lineales es una ecuación constitutiva en que las tensiones se describen como el producto de componentes tensoriales del tensor de constantes elásticas por las componentes del tensor deformación. En dicha ley las tensiones son combinaciones lineales de las deformaciones, y no existe disipación de energía y por tanto irreversibilidad. Por esas razones no pueden describir la plasticidad. De hecho, la descripción matemática de la plasticidad debe incluir tanto la irreversibilidad o disipación de energía como la no linealidad de las expresiones que relacionan tensiones y deformaciones. Existe un buen número de modelos matemáticos de plasticidad con estas características. En todos los modelos de plasticidad la relación entre tensiones y deformaciones es del tipo:.

Donde en la ecuación anterior y en las siguientes se usa el convenio de sumación de Einstein sobre índices repetidos, y donde además:.

La diferencia básica entre los diversos modelos de plasticidad es la superficie de fluencia y por tanto la manera en que se computan las deformaciones plásticas, además de las posibles variaciones en la componente viscoplástica. De hecho, un modelo de plasticidad además de la ecuación () necesita especificar dos relaciones más:.

Donde.

Si se derivan las ecuaciones () y () respecto al tiempo y se añade la ecuación () se tiene un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias respecto al tiempo, que junto con las correspondientes ecuaciones de contorno describiendo las cargas, los valores iniciales y otras restricciones forman un problema elastoplástico cuya solución es única en el caso lineal. En el caso no lineal no considerado aquí no se ha demostrado la unicidad "Unicidad").

Modelo de plasticidade J2

Este é um modelo elasto-plástico isotrópico sem viscosidade ou endurecimento e é um dos modelos elasto-plásticos mais simples. A tensão em cada instante é dada por uma tensão puramente elástica independente da taxa de deformação:

Onde a superfície de escoamento e a zona plástica são dadas pelo segundo invariante ou invariante quadrático #Explicit_form_of_the_basic_invariants "Invariante algébrico (álgebra linear)") do tensor desviatório.

Nas equações anteriores e nas seguintes, a convenção de soma de Einstein é usada em relação a índices repetidos. As equações básicas adicionais da evolução temporal da tensão de escoamento e da deformação elástica são:.

A função é a função de rampa. Esta última expressão indica que o tensor de deformação plástica é proporcional ao tensor de tensão desviatório.

Modelo elastoplástico hidrodinâmico

Este modelo atribui comportamento elástico ao material abaixo do limite de escoamento e atribui aumentos na deformação plástica acima dele. A taxa de distorção não desempenha nenhum papel nisso. As relações entre tensão e deformação são da forma:.

Onde são usados ​​para calcular a taxa de variação objetiva de Jaumann e onde a superfície de escoamento e a área onde ocorrem as deformações plásticas são as mesmas que no modelo de plasticidade J, o que significará que haverá um aumento na deformação plástica, desde que:

Equações adicionais para a evolução temporal da tensão de escoamento e da deformação plástica são:.

Onde foi tomado o instante inicial antes do aparecimento da plastificação.

Modelo visco-elastoplástico Krieg-Key

Este modelo é um modelo elasto-plástico com endurecimento cinemático, uma vez ultrapassado o limite de escoamento do material. A relação entre tensões e deformações é dada por uma contribuição elástica mais uma contribuição plástica.

No caso isotrópico, a superfície de escoamento é tomada como o lugar geométrico geométrico:[1]​.

Onde:.

A versão isotrópica deste modelo contém 7 constantes de material: duas constantes elásticas, dois parâmetros de plasticidade, dois parâmetros viscoelásticos e o parâmetro de endurecimento.

Modelo de plasticidade J2 com endurecimento

Este é um modelo elasto-plástico isotrópico sem viscosidade que generaliza o modelo J sem endurecimento. Neste modelo, as equações de evolução do tensor de deformação plástica são substituídas por outras mais complicadas e as seguintes variáveis ​​internas são adicionadas. A deformação plástica evolui de acordo com a equação:.

Onde:.

Enquanto as equações de evolução das variáveis ​​internas são dadas por:.

En los metales, la plasticidad frecuentemente aparece relacionada con el desplazamiento de dislocaciones en el interior del material. Los metales usualmente están formados por cristales con planos razonablemente bien alineados dentro de cada cristal, aunque siempre existen algunas dislocaciones y planos atómicos incompletos. A partir de un cierto valor de la tensión esas dislocaciones sufren desplazamientos, que constituyen transformaciones irreversibles que absorben energía y cuyas deformaciones asociadas no se recuperan cuando desaparece el esfuerzo.

Cálculo plástico em estrutura metálica

O cálculo plástico refere-se ao cálculo de tensões, tensões e deformações na engenharia estrutural de elementos que possuem comportamento plástico. Ao contrário dos mecanismos que devem operar de forma reversível, as estruturas estáticas podem ser projetadas para trabalhar acima do domínio elástico, conseguindo assim um aproveitamento mais completo da sua capacidade resistente. Isto porque, uma vez ultrapassado o domínio elástico de reversibilidade, alguns materiais de construção continuam a ter a capacidade de resistir a tensões maiores, devido ao endurecimento cinemático, mesmo ao custo de sofrerem transformações internas irreversíveis.

Nas estruturas metálicas, o cálculo plástico consiste basicamente em identificar os pontos de aparecimento de dobradiças plásticas ou regiões de plastificação que, uma vez completamente plastificadas, transformam-se em juntas, denominadas “dobradiças de plastificação”. Para saber para qual valor da carga uma dobradiça plástica é formada, a estrutura é representada por uma estrutura elástica linear onde todas as dobradiças plastificantes já formadas foram substituídas por juntas. O aparecimento de dobradiças plastificantes reduz o grau de hiperstaticidade, ampliando o número de graus de liberdade "Graus de liberdade (engenharia)"). Quando aparece um número suficiente de dobradiças plásticas, a estrutura se torna um mecanismo, e sua configuração dá origem ao mecanismo de colapso da estrutura. O cálculo plástico é especialmente útil em estruturas hiperestáticas com condições de ligação redundantes. O cálculo plástico inclui a identificação dos modos de colapso devido à formação de rótulas plásticas, e da carga necessária para a plastificação de todas as rótulas. A carga plástica última é o valor a partir do qual a estrutura é convertida em mecanismo pela plastificação da última dobradiça.

Em uma estrutura com uma única carga aplicada quase estaticamente, a primeira dobradiça de escoamento terá terminado de se formar quando o momento máximo for igual ao momento plástico. Para calculá-lo, considera-se uma carga de teste arbitrária aplicada no mesmo ponto da carga original e os momentos fletores em todos os pontos são calculados com base na referida carga, então a carga de formação da primeira dobradiça P é calculada simplesmente como:

Onde:.

Uma vez identificada a primeira dobradiça, continuamos calculando uma estrutura como a original mas em que o ponto de formação da dobradiça plastificante foi substituído por uma junta, considera-se uma nova carga de teste, vê-se em que outro ponto ocorre agora o momento máximo e determina-se qual a carga necessária para o novo ponto, tendo em conta o momento fletor total que já tinha na fase anterior, para que o momento seja igual ao momento plástico:

O procedimento anterior é generalizável para o caso de diversas cargas P, ...,P que aumentam quase estaticamente de maneira uniparamétrica P = P(λ). No caso mais geral em que cada carga varia independentemente, o estado final dependerá de quais cargas aumentam mais rapidamente, portanto a resistência última no regime plástico só pode ser determinada se a variação de todas as cargas no tempo for especificada: P = P(t).

Cálculo plástico em concreto armado

Ainda no cálculo de estruturas de concreto armado, aceita-se que as barras de aço submetidas à tração adquiram deformações plásticas, pois o aço tem comportamento plástico com o endurecimento, e quando ultrapassa seu limite elástico endurece e pode suportar tensões maiores do que antes de adquirir deformações plásticas. Este endurecimento ou aumento da capacidade resistente do aço em tração permite economia e construção de estruturas com menor quantidade de aço.

No caso de alguns solos úmidos, a plasticidade é a propriedade que permite moldá-los pela aplicação de forças externas, e manter as formas adquiridas, mesmo quando a umidade e as forças externas desaparecem. Segundo Atterberg[2]​ dois limites de plasticidade podem ser definidos,[3]​ o máximo e o mínimo. Com um percentual de umidade acima do limite máximo de plasticidade, a massa terrena torna-se fluida e perde a capacidade de manter sua forma, e se o solo tiver um percentual de umidade abaixo do limite mínimo de plasticidade, a massa terrena torna-se quebradiça e não pode ser moldada. É evidente que nem todos os solos possuem a mesma plasticidade; Areias e siltes apresentam plasticidade baixa ou muito baixa, enquanto solos com alto teor de argila apresentam maior plasticidade. Em geral, pode-se afirmar que solos com teor de argila inferior a 15% não são plásticos.[5]​.

Para cada um dos limites de plasticidade, o máximo e o mínimo, uma percentagem de humidade corresponde, dependendo do terreno, à diferença entre as duas percentagens de limites de humidade da chama número ou índice de plasticidade. Tanto os limites de plasticidade como o correspondente número de plasticidade ou índice de plasticidade variam, obviamente de terreno para terreno, dependendo principalmente da textura e mais precisamente do conteúdo de colóides inorgânicos.

Outro fator importante que influencia a plasticidade é o tipo de cátions disponíveis.[6]​ Geralmente o íon K+ diminui tanto os limites de plasticidade quanto o índice de plasticidade, enquanto o íon Na+ diminui os limites de plasticidade, mas aumenta o índice de plasticidade; Os cátions Mg++ e Ca++ aumentam a plasticidade, mas os solos saturados com eles requerem uma grande quantidade de água para atingir o estado de plasticidade, ao contrário daqueles saturados com cátions K+.

O efeito de hidratação e dispersão do Na+ determina uma plasticidade dos solos saturados com este cátion maior que a alcançada pelos solos saturados com cátions divalentes.

Geralmente, a influência de vários cátions na plasticidade varia com a qualidade e a natureza da argila.

A matéria orgânica contida no solo também tem um efeito importante na plasticidade dos solos.[7]​ Em geral, os estratos superiores do solo têm uma plasticidade maior do que os estratos mais profundos. Isto pode ser atribuído à maior presença de matéria orgânica nas camadas superiores do solo.

La ley de Hooke usada para materiales elásticos reversibles y lineales es una ecuación constitutiva en que las tensiones se describen como el producto de componentes tensoriales del tensor de constantes elásticas por las componentes del tensor deformación. En dicha ley las tensiones son combinaciones lineales de las deformaciones, y no existe disipación de energía y por tanto irreversibilidad. Por esas razones no pueden describir la plasticidad. De hecho, la descripción matemática de la plasticidad debe incluir tanto la irreversibilidad o disipación de energía como la no linealidad de las expresiones que relacionan tensiones y deformaciones. Existe un buen número de modelos matemáticos de plasticidad con estas características. En todos los modelos de plasticidad la relación entre tensiones y deformaciones es del tipo:.

Donde en la ecuación anterior y en las siguientes se usa el convenio de sumación de Einstein sobre índices repetidos, y donde además:.

La diferencia básica entre los diversos modelos de plasticidad es la superficie de fluencia y por tanto la manera en que se computan las deformaciones plásticas, además de las posibles variaciones en la componente viscoplástica. De hecho, un modelo de plasticidad además de la ecuación () necesita especificar dos relaciones más:.

Donde.

Si se derivan las ecuaciones () y () respecto al tiempo y se añade la ecuación () se tiene un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias respecto al tiempo, que junto con las correspondientes ecuaciones de contorno describiendo las cargas, los valores iniciales y otras restricciones forman un problema elastoplástico cuya solución es única en el caso lineal. En el caso no lineal no considerado aquí no se ha demostrado la unicidad "Unicidad").

Modelo de plasticidade J2

Este é um modelo elasto-plástico isotrópico sem viscosidade ou endurecimento e é um dos modelos elasto-plásticos mais simples. A tensão em cada instante é dada por uma tensão puramente elástica independente da taxa de deformação:

Onde a superfície de escoamento e a zona plástica são dadas pelo segundo invariante ou invariante quadrático #Explicit_form_of_the_basic_invariants "Invariante algébrico (álgebra linear)") do tensor desviatório.

Nas equações anteriores e nas seguintes, a convenção de soma de Einstein é usada em relação a índices repetidos. As equações básicas adicionais da evolução temporal da tensão de escoamento e da deformação elástica são:.

A função é a função de rampa. Esta última expressão indica que o tensor de deformação plástica é proporcional ao tensor de tensão desviatório.

Modelo elastoplástico hidrodinâmico

Este modelo atribui comportamento elástico ao material abaixo do limite de escoamento e atribui aumentos na deformação plástica acima dele. A taxa de distorção não desempenha nenhum papel nisso. As relações entre tensão e deformação são da forma:.

Onde são usados ​​para calcular a taxa de variação objetiva de Jaumann e onde a superfície de escoamento e a área onde ocorrem as deformações plásticas são as mesmas que no modelo de plasticidade J, o que significará que haverá um aumento na deformação plástica, desde que:

Equações adicionais para a evolução temporal da tensão de escoamento e da deformação plástica são:.

Onde foi tomado o instante inicial antes do aparecimento da plastificação.

Modelo visco-elastoplástico Krieg-Key

Este modelo é um modelo elasto-plástico com endurecimento cinemático, uma vez ultrapassado o limite de escoamento do material. A relação entre tensões e deformações é dada por uma contribuição elástica mais uma contribuição plástica.

No caso isotrópico, a superfície de escoamento é tomada como o lugar geométrico geométrico:[1]​.

Onde:.

A versão isotrópica deste modelo contém 7 constantes de material: duas constantes elásticas, dois parâmetros de plasticidade, dois parâmetros viscoelásticos e o parâmetro de endurecimento.

Modelo de plasticidade J2 com endurecimento

Este é um modelo elasto-plástico isotrópico sem viscosidade que generaliza o modelo J sem endurecimento. Neste modelo, as equações de evolução do tensor de deformação plástica são substituídas por outras mais complicadas e as seguintes variáveis ​​internas são adicionadas. A deformação plástica evolui de acordo com a equação:.

Onde:.

Enquanto as equações de evolução das variáveis ​​internas são dadas por:.

En los metales, la plasticidad frecuentemente aparece relacionada con el desplazamiento de dislocaciones en el interior del material. Los metales usualmente están formados por cristales con planos razonablemente bien alineados dentro de cada cristal, aunque siempre existen algunas dislocaciones y planos atómicos incompletos. A partir de un cierto valor de la tensión esas dislocaciones sufren desplazamientos, que constituyen transformaciones irreversibles que absorben energía y cuyas deformaciones asociadas no se recuperan cuando desaparece el esfuerzo.

Cálculo plástico em estrutura metálica

O cálculo plástico refere-se ao cálculo de tensões, tensões e deformações na engenharia estrutural de elementos que possuem comportamento plástico. Ao contrário dos mecanismos que devem operar de forma reversível, as estruturas estáticas podem ser projetadas para trabalhar acima do domínio elástico, conseguindo assim um aproveitamento mais completo da sua capacidade resistente. Isto porque, uma vez ultrapassado o domínio elástico de reversibilidade, alguns materiais de construção continuam a ter a capacidade de resistir a tensões maiores, devido ao endurecimento cinemático, mesmo ao custo de sofrerem transformações internas irreversíveis.

Nas estruturas metálicas, o cálculo plástico consiste basicamente em identificar os pontos de aparecimento de dobradiças plásticas ou regiões de plastificação que, uma vez completamente plastificadas, transformam-se em juntas, denominadas “dobradiças de plastificação”. Para saber para qual valor da carga uma dobradiça plástica é formada, a estrutura é representada por uma estrutura elástica linear onde todas as dobradiças plastificantes já formadas foram substituídas por juntas. O aparecimento de dobradiças plastificantes reduz o grau de hiperstaticidade, ampliando o número de graus de liberdade "Graus de liberdade (engenharia)"). Quando aparece um número suficiente de dobradiças plásticas, a estrutura se torna um mecanismo, e sua configuração dá origem ao mecanismo de colapso da estrutura. O cálculo plástico é especialmente útil em estruturas hiperestáticas com condições de ligação redundantes. O cálculo plástico inclui a identificação dos modos de colapso devido à formação de rótulas plásticas, e da carga necessária para a plastificação de todas as rótulas. A carga plástica última é o valor a partir do qual a estrutura é convertida em mecanismo pela plastificação da última dobradiça.

Em uma estrutura com uma única carga aplicada quase estaticamente, a primeira dobradiça de escoamento terá terminado de se formar quando o momento máximo for igual ao momento plástico. Para calculá-lo, considera-se uma carga de teste arbitrária aplicada no mesmo ponto da carga original e os momentos fletores em todos os pontos são calculados com base na referida carga, então a carga de formação da primeira dobradiça P é calculada simplesmente como:

Onde:.

Uma vez identificada a primeira dobradiça, continuamos calculando uma estrutura como a original mas em que o ponto de formação da dobradiça plastificante foi substituído por uma junta, considera-se uma nova carga de teste, vê-se em que outro ponto ocorre agora o momento máximo e determina-se qual a carga necessária para o novo ponto, tendo em conta o momento fletor total que já tinha na fase anterior, para que o momento seja igual ao momento plástico:

O procedimento anterior é generalizável para o caso de diversas cargas P, ...,P que aumentam quase estaticamente de maneira uniparamétrica P = P(λ). No caso mais geral em que cada carga varia independentemente, o estado final dependerá de quais cargas aumentam mais rapidamente, portanto a resistência última no regime plástico só pode ser determinada se a variação de todas as cargas no tempo for especificada: P = P(t).

Cálculo plástico em concreto armado

Ainda no cálculo de estruturas de concreto armado, aceita-se que as barras de aço submetidas à tração adquiram deformações plásticas, pois o aço tem comportamento plástico com o endurecimento, e quando ultrapassa seu limite elástico endurece e pode suportar tensões maiores do que antes de adquirir deformações plásticas. Este endurecimento ou aumento da capacidade resistente do aço em tração permite economia e construção de estruturas com menor quantidade de aço.

No caso de alguns solos úmidos, a plasticidade é a propriedade que permite moldá-los pela aplicação de forças externas, e manter as formas adquiridas, mesmo quando a umidade e as forças externas desaparecem. Segundo Atterberg[2]​ dois limites de plasticidade podem ser definidos,[3]​ o máximo e o mínimo. Com um percentual de umidade acima do limite máximo de plasticidade, a massa terrena torna-se fluida e perde a capacidade de manter sua forma, e se o solo tiver um percentual de umidade abaixo do limite mínimo de plasticidade, a massa terrena torna-se quebradiça e não pode ser moldada. É evidente que nem todos os solos possuem a mesma plasticidade; Areias e siltes apresentam plasticidade baixa ou muito baixa, enquanto solos com alto teor de argila apresentam maior plasticidade. Em geral, pode-se afirmar que solos com teor de argila inferior a 15% não são plásticos.[5]​.

Para cada um dos limites de plasticidade, o máximo e o mínimo, uma percentagem de humidade corresponde, dependendo do terreno, à diferença entre as duas percentagens de limites de humidade da chama número ou índice de plasticidade. Tanto os limites de plasticidade como o correspondente número de plasticidade ou índice de plasticidade variam, obviamente de terreno para terreno, dependendo principalmente da textura e mais precisamente do conteúdo de colóides inorgânicos.

Outro fator importante que influencia a plasticidade é o tipo de cátions disponíveis.[6]​ Geralmente o íon K+ diminui tanto os limites de plasticidade quanto o índice de plasticidade, enquanto o íon Na+ diminui os limites de plasticidade, mas aumenta o índice de plasticidade; Os cátions Mg++ e Ca++ aumentam a plasticidade, mas os solos saturados com eles requerem uma grande quantidade de água para atingir o estado de plasticidade, ao contrário daqueles saturados com cátions K+.

O efeito de hidratação e dispersão do Na+ determina uma plasticidade dos solos saturados com este cátion maior que a alcançada pelos solos saturados com cátions divalentes.

Geralmente, a influência de vários cátions na plasticidade varia com a qualidade e a natureza da argila.

A matéria orgânica contida no solo também tem um efeito importante na plasticidade dos solos.[7]​ Em geral, os estratos superiores do solo têm uma plasticidade maior do que os estratos mais profundos. Isto pode ser atribuído à maior presença de matéria orgânica nas camadas superiores do solo.