Contenido

La hipótesis cinemática es una especificación matemática de los desplazamientos de un sólido deformable que permite calcular las deformaciones en función de un conjunto de parámetros incógnita.

El concepto se usa especialmente en el cálculo de elementos lineales (por ejemplo, vigas) y elementos bidimensionales, donde gracias a la hipótesis cinemática se pueden obtener relaciones funcionales más simples. Así pues, gracias a la hipótesis cinemática se pueden relacionar los desplazamientos en cualquier punto del sólido deformable de un dominio tridimensional con los desplazamientos especificados sobre un conjunto unidimensional o bidimensional.

Hipótese cinemática em elementos lineares

A resistência de materiais é proposta para elementos lineares ou prismas mecânicos, como vigas e pilares, nos quais o deslocamento de qualquer ponto pode ser calculado a partir de deslocamentos e rotações especificados em torno do eixo baricêntrico. Isto significa que, por exemplo, para calcular uma viga, em vez de especificar os deslocamentos de qualquer ponto em função de três coordenadas, podemos expressá-los em função de uma única coordenada no eixo baricêntrico, o que leva a sistemas relativamente simples de equações diferenciais. Existem vários tipos de hipóteses cinemáticas dependendo do tipo de tensão na viga ou elemento unidimensional:

• - A hipótese de Navier-Bernouilli, que é utilizada para elementos lineares alongados submetidos à flexão "Flexão (engenharia)") quando as deformações de cisalhamento são pequenas.

• - Hipótese de Timoshenko"), que é utilizada para elementos lineares sujeitos à flexão num caso completamente geral, uma vez que a deformação por cisalhamento não é negligenciada.

• - Hipótese de prolongamento de Saint-Venant, utilizada em peças com tensões normais para áreas da viga distantes da área de aplicação das cargas.

• - A hipótese de Saint-Venant para torção") é utilizada para peças prismáticas submetidas à torção "Torção (engenharia)") e em peças com grande rigidez torcional.

• - A hipótese de Coulomb é utilizada para peças prismáticas submetidas à torção e em peças com grande rigidez torcional e seção circular ou tubular. Esta hipótese constitui uma especialização do caso anterior.

Hipótese cinemática em elementos de superfície

Para chapas e chapas submetidas à flexão "Flexão (engenharia)") são utilizadas duas hipóteses, que podem ser colocadas em correspondência com as hipóteses da viga:

• - Hipótese de Love-Kirchhoff").

• - Hipótese de Reissner-Mindlin.

As equações constitutivas da resistência dos materiais são aquelas que explicam o comportamento do material; as equações de Lamé-Hooke de elasticidade linear "Elasticidade (mecânica dos sólidos)" são geralmente tomadas como equações constitutivas. Essas equações podem ser especializadas para elementos lineares e de superfície. Para elementos lineares no cálculo das seções, as tensões em qualquer ponto (y,z) da seção podem ser escritas em função das deformações como:.

Por outro lado, para elementos de superfície predominantemente sujeitos à flexão, como placas, a especialização das equações de Hooke é:

Além das equações constitutivas elásticas, no cálculo estrutural vários regulamentos incluem métodos de cálculo plástico onde são utilizadas equações constitutivas de plasticidade "Plasticidade (mecânica dos sólidos)".

Las ecuaciones de equivalencia expresan los esfuerzos resultantes a partir de la distribución de tensiones. Gracias a ese cambio es posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos.

elementos lineares

Em elementos lineares retos, as coordenadas cartesianas para representar a geometria e expressar tensões e esforços são normalmente escolhidas com o eixo X paralelo ao eixo baricêntrico da peça, e os eixos Y e Z coincidindo com as principais direções de inércia. Neste sistema de coordenadas, a relação entre a tensão normal (N), as tensões de cisalhamento (V, V), o momento torcional (M) e os momentos fletores (M, M) é:

Onde as tensões que aparecem são as componentes do tensor de tensão de uma peça prismática:

elementos bidimensionais

Para elementos bidimensionais é comum tomar um sistema de duas coordenadas (cartesianas ou curvilíneas) coincidentes com a superfície média, com a terceira coordenada alinhada com a espessura. Para uma placa plana de espessura 2t e com um sistema de coordenadas em que o plano XY coincide com o seu plano médio. As forças são compostas por 4 forças de membrana (ou forças axiais por unidade de área), 4 momentos fletores e 2 forças de cisalhamento. Tensões na membrana usando um conjunto de coordenadas ortogonais em uma folha Reissner-Mindlin:

Onde estão os raios de curvatura em cada uma das direções coordenadas e z é a altura acima da superfície média da folha. As tensões de cisalhamento e momentos fletores por unidade de área são dados por:.

O tensor de tensão de uma folha geral para o qual se aplicam as hipóteses de Reissner-Mindlin é:

Um caso particular do acima exposto são as chapas planas cuja deformação obedece à hipótese de Love-Kirchhoff, caracterizada pelo vetor normal à superfície média deformada coincidindo com a normal deformada. Esta hipótese é uma aproximação muito boa quando as tensões de cisalhamento são desprezíveis e, nesse caso, os momentos fletores por unidade de área em função das tensões são dados por:.

Onde as tensões que aparecem são os componentes do tensor de tensão para uma folha de Love-Kirchhoff:

Las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio para elementos lineales y elementos bidimensionales son el resultado de escribir las ecuaciones de equilibrio elástico en términos de los esfuerzos en lugar de las tensiones.

Las ecuaciones de equilibrio para el campo de tensiones#Ecuaciones_de_equilibrio "Elasticidad (mecánica de sólidos)") generales de la teoría de la elasticidad lineal "Elasticidad (mecánica de sólidos)"):.

Si en ellas se trata de substituir las tensiones por los esfuerzos internos, se llega entonces a las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales. El procedimiento, que se detalla a continuación, es ligeramente diferente para elementos unidimensionales y bidimensionales.

Equações de equilíbrio em elementos lineares retos

Numa viga horizontal reta, alinhada ao eixo X, e na qual as cargas são verticais e localizadas no

Equações de equilíbrio em elementos planos bidimensionais

As equações de equilíbrio para elementos bidimensionais (placas) em flexão, análogas às equações da seção anterior para elementos lineares (vigas), relacionam os momentos por unidade de largura (m, m, m), com as tensões de cisalhamento por unidade de largura (v, m) e a carga superficial vertical (q):.

El diseño mecánico de piezas requiere:.

• - Conocimiento de las tensiones, para verificar si éstas sobrepasan los límites resistentes del material.

• - Conocimiento de los desplazamientos, para verificar si éstos sobrepasan los límites de rigidez que garanticen la funcionalidad del elemento diseñado.

En general, el cálculo de tensiones puede abordarse con toda generalidad desde la teoría de la elasticidad, sin embargo cuando la geometría de los elementos es suficientemente simple (como sucede en el caso de elementos lineales o bidimensionales) las tensiones y desplazamientos pueden ser calculados de manera mucho más simple mediante los métodos de la resistencia de materiales, que directamente a partir del planteamiento general del problema elástico.

Elementos lineares ou unidimensionais

O cálculo de tensões pode ser obtido a partir da combinação da fórmula de Navier para flexão, da fórmula de Collignon-Jourawski e das fórmulas de cálculo de tensões para torção.

O cálculo dos deslocamentos em elementos lineares pode ser realizado utilizando métodos diretos como a equação da curva elástica, teoremas de Mohr ou método matricial ou a partir de métodos energéticos como os teoremas de Castigliano ou ainda por métodos computacionais.

Elementos de superfície ou bidimensionais

A teoria das placas de Love-Kirchhoff é o análogo bidimensional da teoria dos feixes de Euler-Bernouilli. Por outro lado, o cálculo de folhas é o análogo bidimensional do cálculo de arcos.

O análogo bidimensional para uma placa da equação da curva elástica é a equação Lagrangiana para a deflexão do plano médio da placa. Para o cálculo de placas também é comum a utilização de métodos variacionais.

Outro problema importante em muitas aplicações de resistência de materiais é o estudo da rigidez. Mais especificamente, certas aplicações requerem a garantia de que, sob as forças atuantes, alguns elementos resistentes nunca excedam deslocamentos acima de um determinado valor predefinido. O cálculo das deformações das forças pode ser determinado por diversos métodos semidiretos como o uso do teorema de Castigliano, as fórmulas vetoriais de Navier-Bresse, o uso da equação da curva elástica, o método matricial de rigidez e outros métodos numéricos para os casos mais complexos.

• - Conceitos de resistência de materiais: rigidez, equilíbrio mecânico, flexão “Flexão (engenharia)”), torção “Torsão (engenharia)”).

• - Mecânica dos sólidos deformáveis: tensão, deformação, elasticidade "Elasticidade (mecânica dos sólidos)").

• - Plasticidade "Plasticidade (mecânica dos sólidos)"), Mecânica do dano, Viscoelasticidade.

• - Elementos lineares resistentes: vigas, pilares, treliças “Treli (estrutura)”), arcos “Arco (construção)”).

• - Elementos resistentes à superfície: placas e folhas, membranas "Membrana (estrutura)").

• - Métodos de cálculo: cálculo de tensões, teoremas de Castigliano, equações de Navier-Bresse, teoremas de Mohr, método matricial de rigidez, teorema dos três momentos.

• - Stephen Timoshenko, considerado o pai da engenharia mecânica moderna.

Literatura

• - Timoshenko S., Resistência dos Materiais, 3ª ed., Krieger Publishing Company, 1976, ISBN 0-88275-420-3.

• - Den Hartog, Jacob P., Resistência dos Materiais, Dover Publications, Inc., 1961, ISBN 0-486-60755-0.

• - Popov, Egor P., Engenharia Mecânica de Sólidos, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990, ISBN 0-13-279258-3.

• - Monleón Cremades, Salvador, Análise de vigas, arcos, placas e chapas, Universidade Politécnica de Valência, 1999, ISBN 84-7721-769-6.

Links externos

• - Resistência de materiais, em virtual.unal.edu.co (03-10-09).

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La hipótesis cinemática es una especificación matemática de los desplazamientos de un sólido deformable que permite calcular las deformaciones en función de un conjunto de parámetros incógnita.

El concepto se usa especialmente en el cálculo de elementos lineales (por ejemplo, vigas) y elementos bidimensionales, donde gracias a la hipótesis cinemática se pueden obtener relaciones funcionales más simples. Así pues, gracias a la hipótesis cinemática se pueden relacionar los desplazamientos en cualquier punto del sólido deformable de un dominio tridimensional con los desplazamientos especificados sobre un conjunto unidimensional o bidimensional.

Hipótese cinemática em elementos lineares

A resistência de materiais é proposta para elementos lineares ou prismas mecânicos, como vigas e pilares, nos quais o deslocamento de qualquer ponto pode ser calculado a partir de deslocamentos e rotações especificados em torno do eixo baricêntrico. Isto significa que, por exemplo, para calcular uma viga, em vez de especificar os deslocamentos de qualquer ponto em função de três coordenadas, podemos expressá-los em função de uma única coordenada no eixo baricêntrico, o que leva a sistemas relativamente simples de equações diferenciais. Existem vários tipos de hipóteses cinemáticas dependendo do tipo de tensão na viga ou elemento unidimensional:

• - A hipótese de Navier-Bernouilli, que é utilizada para elementos lineares alongados submetidos à flexão "Flexão (engenharia)") quando as deformações de cisalhamento são pequenas.

• - Hipótese de Timoshenko"), que é utilizada para elementos lineares sujeitos à flexão num caso completamente geral, uma vez que a deformação por cisalhamento não é negligenciada.

• - Hipótese de prolongamento de Saint-Venant, utilizada em peças com tensões normais para áreas da viga distantes da área de aplicação das cargas.

• - A hipótese de Saint-Venant para torção") é utilizada para peças prismáticas submetidas à torção "Torção (engenharia)") e em peças com grande rigidez torcional.

• - A hipótese de Coulomb é utilizada para peças prismáticas submetidas à torção e em peças com grande rigidez torcional e seção circular ou tubular. Esta hipótese constitui uma especialização do caso anterior.

Hipótese cinemática em elementos de superfície

Para chapas e chapas submetidas à flexão "Flexão (engenharia)") são utilizadas duas hipóteses, que podem ser colocadas em correspondência com as hipóteses da viga:

• - Hipótese de Love-Kirchhoff").

• - Hipótese de Reissner-Mindlin.

As equações constitutivas da resistência dos materiais são aquelas que explicam o comportamento do material; as equações de Lamé-Hooke de elasticidade linear "Elasticidade (mecânica dos sólidos)" são geralmente tomadas como equações constitutivas. Essas equações podem ser especializadas para elementos lineares e de superfície. Para elementos lineares no cálculo das seções, as tensões em qualquer ponto (y,z) da seção podem ser escritas em função das deformações como:.

Por outro lado, para elementos de superfície predominantemente sujeitos à flexão, como placas, a especialização das equações de Hooke é:

Além das equações constitutivas elásticas, no cálculo estrutural vários regulamentos incluem métodos de cálculo plástico onde são utilizadas equações constitutivas de plasticidade "Plasticidade (mecânica dos sólidos)".

Las ecuaciones de equivalencia expresan los esfuerzos resultantes a partir de la distribución de tensiones. Gracias a ese cambio es posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos.

elementos lineares

Em elementos lineares retos, as coordenadas cartesianas para representar a geometria e expressar tensões e esforços são normalmente escolhidas com o eixo X paralelo ao eixo baricêntrico da peça, e os eixos Y e Z coincidindo com as principais direções de inércia. Neste sistema de coordenadas, a relação entre a tensão normal (N), as tensões de cisalhamento (V, V), o momento torcional (M) e os momentos fletores (M, M) é:

Onde as tensões que aparecem são as componentes do tensor de tensão de uma peça prismática:

elementos bidimensionais

Para elementos bidimensionais é comum tomar um sistema de duas coordenadas (cartesianas ou curvilíneas) coincidentes com a superfície média, com a terceira coordenada alinhada com a espessura. Para uma placa plana de espessura 2t e com um sistema de coordenadas em que o plano XY coincide com o seu plano médio. As forças são compostas por 4 forças de membrana (ou forças axiais por unidade de área), 4 momentos fletores e 2 forças de cisalhamento. Tensões na membrana usando um conjunto de coordenadas ortogonais em uma folha Reissner-Mindlin:

Onde estão os raios de curvatura em cada uma das direções coordenadas e z é a altura acima da superfície média da folha. As tensões de cisalhamento e momentos fletores por unidade de área são dados por:.

O tensor de tensão de uma folha geral para o qual se aplicam as hipóteses de Reissner-Mindlin é:

Um caso particular do acima exposto são as chapas planas cuja deformação obedece à hipótese de Love-Kirchhoff, caracterizada pelo vetor normal à superfície média deformada coincidindo com a normal deformada. Esta hipótese é uma aproximação muito boa quando as tensões de cisalhamento são desprezíveis e, nesse caso, os momentos fletores por unidade de área em função das tensões são dados por:.

Onde as tensões que aparecem são os componentes do tensor de tensão para uma folha de Love-Kirchhoff:

Las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio para elementos lineales y elementos bidimensionales son el resultado de escribir las ecuaciones de equilibrio elástico en términos de los esfuerzos en lugar de las tensiones.

Las ecuaciones de equilibrio para el campo de tensiones#Ecuaciones_de_equilibrio "Elasticidad (mecánica de sólidos)") generales de la teoría de la elasticidad lineal "Elasticidad (mecánica de sólidos)"):.

Si en ellas se trata de substituir las tensiones por los esfuerzos internos, se llega entonces a las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales. El procedimiento, que se detalla a continuación, es ligeramente diferente para elementos unidimensionales y bidimensionales.

Equações de equilíbrio em elementos lineares retos

Numa viga horizontal reta, alinhada ao eixo X, e na qual as cargas são verticais e localizadas no

Equações de equilíbrio em elementos planos bidimensionais

As equações de equilíbrio para elementos bidimensionais (placas) em flexão, análogas às equações da seção anterior para elementos lineares (vigas), relacionam os momentos por unidade de largura (m, m, m), com as tensões de cisalhamento por unidade de largura (v, m) e a carga superficial vertical (q):.

El diseño mecánico de piezas requiere:.

• - Conocimiento de las tensiones, para verificar si éstas sobrepasan los límites resistentes del material.

• - Conocimiento de los desplazamientos, para verificar si éstos sobrepasan los límites de rigidez que garanticen la funcionalidad del elemento diseñado.

En general, el cálculo de tensiones puede abordarse con toda generalidad desde la teoría de la elasticidad, sin embargo cuando la geometría de los elementos es suficientemente simple (como sucede en el caso de elementos lineales o bidimensionales) las tensiones y desplazamientos pueden ser calculados de manera mucho más simple mediante los métodos de la resistencia de materiales, que directamente a partir del planteamiento general del problema elástico.

Elementos lineares ou unidimensionais

O cálculo de tensões pode ser obtido a partir da combinação da fórmula de Navier para flexão, da fórmula de Collignon-Jourawski e das fórmulas de cálculo de tensões para torção.

O cálculo dos deslocamentos em elementos lineares pode ser realizado utilizando métodos diretos como a equação da curva elástica, teoremas de Mohr ou método matricial ou a partir de métodos energéticos como os teoremas de Castigliano ou ainda por métodos computacionais.

Elementos de superfície ou bidimensionais

A teoria das placas de Love-Kirchhoff é o análogo bidimensional da teoria dos feixes de Euler-Bernouilli. Por outro lado, o cálculo de folhas é o análogo bidimensional do cálculo de arcos.

O análogo bidimensional para uma placa da equação da curva elástica é a equação Lagrangiana para a deflexão do plano médio da placa. Para o cálculo de placas também é comum a utilização de métodos variacionais.

Outro problema importante em muitas aplicações de resistência de materiais é o estudo da rigidez. Mais especificamente, certas aplicações requerem a garantia de que, sob as forças atuantes, alguns elementos resistentes nunca excedam deslocamentos acima de um determinado valor predefinido. O cálculo das deformações das forças pode ser determinado por diversos métodos semidiretos como o uso do teorema de Castigliano, as fórmulas vetoriais de Navier-Bresse, o uso da equação da curva elástica, o método matricial de rigidez e outros métodos numéricos para os casos mais complexos.

• - Conceitos de resistência de materiais: rigidez, equilíbrio mecânico, flexão “Flexão (engenharia)”), torção “Torsão (engenharia)”).

• - Mecânica dos sólidos deformáveis: tensão, deformação, elasticidade "Elasticidade (mecânica dos sólidos)").

• - Plasticidade "Plasticidade (mecânica dos sólidos)"), Mecânica do dano, Viscoelasticidade.

• - Elementos lineares resistentes: vigas, pilares, treliças “Treli (estrutura)”), arcos “Arco (construção)”).

• - Elementos resistentes à superfície: placas e folhas, membranas "Membrana (estrutura)").

• - Métodos de cálculo: cálculo de tensões, teoremas de Castigliano, equações de Navier-Bresse, teoremas de Mohr, método matricial de rigidez, teorema dos três momentos.

• - Stephen Timoshenko, considerado o pai da engenharia mecânica moderna.

Literatura

• - Timoshenko S., Resistência dos Materiais, 3ª ed., Krieger Publishing Company, 1976, ISBN 0-88275-420-3.

• - Den Hartog, Jacob P., Resistência dos Materiais, Dover Publications, Inc., 1961, ISBN 0-486-60755-0.

• - Popov, Egor P., Engenharia Mecânica de Sólidos, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990, ISBN 0-13-279258-3.

• - Monleón Cremades, Salvador, Análise de vigas, arcos, placas e chapas, Universidade Politécnica de Valência, 1999, ISBN 84-7721-769-6.

Links externos

• - Resistência de materiais, em virtual.unal.edu.co (03-10-09).