Para que el punto de equilibrio entre oferta y demanda sea único, hay varias características que debe cumplir la curva de demanda "Demanda (economía)"):.

Contenido

Bajo ciertos supuestos matemáticos idealizados puede demostrarse la existencia de una "curva" de demanda para un consumidor racional para el que pueden definirse "curvas" de indiferencia continuas. En un mercado con n bienes disponibles la "curva" de demanda al igual que las "curvas" son hipersuperficies de n dimensiones, y no una curva como sucede en un mercado de un único bien que no es ni complementario ni substitutivo de otros bienes. Usualmente se supone que un consumidor racional idealizado conoce de antemano la renta disponible y planifica su consumo durante un cierto período de tiempo eligiendo consumir en él una cantidad que maximiza su "satisfacción" y a la vez cumple la restricción presupuestaria de que el coste de las cantidades consumidas no supera la renta disponible. Matemáticamente eso implica encontrar el máximo de utilidad () sobre un cierto conjunto (que es el conjunto compatible () con la restricción presupuestaria):.

Bajo ciertas condiciones razonables sobre la función de utilidad puede demostrarse que el problema anterior admite una solución única para un nivel de renta y un conjunto de precios dados y, por tanto, define una función o "curva" de demanda.

Carácter decreciente

Además puede demostrarse sin requerirlo a priori que si las funciones de utilidad son diferenciables y convexas entonces se cumplirá la función de demanda es "decreciente" en el precio o más exactamente que:.

Se dice que dos bienes A y B son complementarios cuando se cumple que:.

Mientras que para bienes A y B que sean sustitutivos se cumpliría que:.

Existencia de la curva de demanda

La existencia y unicidad de la curva de demanda bajo las condiciones anteriores puede probarse a partir del teorema de la función implícita. Para probar eso puede es necesario plantear un problema de extremos condicionados, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange. Para ello se define la función auxiliar:.

La función anterior tiene un máximo relativo cuando la utilidad alcanza un máximo, eso implica que se cumplen las siguientes relaciones entre utilidades marginales:.

De las relaciones anteriores puede despejarse de una de ellas por ejemplo:.

Ahora definimos una función a la que aplicar el teorema de la función implícita:.

Es fácil comprobar que si la función de utilidad es estrictamente convexa:.

El teorema de la función implícita aplicado a la función anterior implica que existe una función tal que:.

La función es precisamente la función que da curva de demanda para el vector de precios y la renta disponible del consumidor.

Pendiente de la curva de demanda

Si se incluyen algunos supuestos básicos sobre las funciones de utilidad consideradas anteriormente se puede demostrar que la curva de demanda tiene pendiente negativa, o más exactamente que para cualquier bien:.

Las ecuaciones anteriores se interpretan como que las cantidades demandadas de un bien deben disminuir al aumentar el precio de este, manteniéndose todo lo demás igual (es decir, manteniendo el nivel de renta y el precio del resto de bienes). Las magnitudes anteriores son precisamente los términos de la matriz jacobiana que hace de diferencial de la función Es decir:.

Por la regla de la cadena de funciones de varias variables y el teorema de la función implícita, la matriz jacobiana anterior puede expresarse como producto de matrices jacobianas:.

En general la expresión anterior resulta muy complicada para una función de utilidad totalmente general. Para una función de utilidad separable:.

La expresión (), es más fácilmente calculable resultado por ejemplo para el primer bien:.

Si admitimos que la utilidad marginal es estrictamente decreciente:.

Entonces si es par el numerador es positivo y el denominador de () es positivo y el numerador negativo, si es impar el numerador es negativo y el denominador positivo, y por tanto en todos los casos bajo la condición anterior la expresión resulta ser negativa, y por tanto queda probado en ese caso que la curva de demanda tiene pendiente negativa.

Ejemplo: Mercado de dos bienes

En esta sección se considera aplicar la teoría de los apartados anteriores a un mercado de dos bienes. En este caso la función de utilidad y la restricción presupuestaria vendrán dadas por:.

La matriz jacobiana de cantidades frente a precios vendrá dada por:.

Siendo una cantidad negativa, suponiendo que la función de utilidad es no-decreciente y convexa[2]​ se tienen las condiciones:.

Bajo esos supuestos se demuestra que la "curva" de demanda tiene pendiente negativa en todos sus puntos ya que:.

Para que el punto de equilibrio entre oferta y demanda sea único, hay varias características que debe cumplir la curva de demanda "Demanda (economía)"):.

Contenido

Bajo ciertos supuestos matemáticos idealizados puede demostrarse la existencia de una "curva" de demanda para un consumidor racional para el que pueden definirse "curvas" de indiferencia continuas. En un mercado con n bienes disponibles la "curva" de demanda al igual que las "curvas" son hipersuperficies de n dimensiones, y no una curva como sucede en un mercado de un único bien que no es ni complementario ni substitutivo de otros bienes. Usualmente se supone que un consumidor racional idealizado conoce de antemano la renta disponible y planifica su consumo durante un cierto período de tiempo eligiendo consumir en él una cantidad que maximiza su "satisfacción" y a la vez cumple la restricción presupuestaria de que el coste de las cantidades consumidas no supera la renta disponible. Matemáticamente eso implica encontrar el máximo de utilidad () sobre un cierto conjunto (que es el conjunto compatible () con la restricción presupuestaria):.

Bajo ciertas condiciones razonables sobre la función de utilidad puede demostrarse que el problema anterior admite una solución única para un nivel de renta y un conjunto de precios dados y, por tanto, define una función o "curva" de demanda.

Carácter decreciente

Además puede demostrarse sin requerirlo a priori que si las funciones de utilidad son diferenciables y convexas entonces se cumplirá la función de demanda es "decreciente" en el precio o más exactamente que:.

Se dice que dos bienes A y B son complementarios cuando se cumple que:.

Mientras que para bienes A y B que sean sustitutivos se cumpliría que:.

Existencia de la curva de demanda

La existencia y unicidad de la curva de demanda bajo las condiciones anteriores puede probarse a partir del teorema de la función implícita. Para probar eso puede es necesario plantear un problema de extremos condicionados, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange. Para ello se define la función auxiliar:.

La función anterior tiene un máximo relativo cuando la utilidad alcanza un máximo, eso implica que se cumplen las siguientes relaciones entre utilidades marginales:.

De las relaciones anteriores puede despejarse de una de ellas por ejemplo:.

Ahora definimos una función a la que aplicar el teorema de la función implícita:.

Es fácil comprobar que si la función de utilidad es estrictamente convexa:.

El teorema de la función implícita aplicado a la función anterior implica que existe una función tal que:.

La función es precisamente la función que da curva de demanda para el vector de precios y la renta disponible del consumidor.

Pendiente de la curva de demanda

Si se incluyen algunos supuestos básicos sobre las funciones de utilidad consideradas anteriormente se puede demostrar que la curva de demanda tiene pendiente negativa, o más exactamente que para cualquier bien:.

Las ecuaciones anteriores se interpretan como que las cantidades demandadas de un bien deben disminuir al aumentar el precio de este, manteniéndose todo lo demás igual (es decir, manteniendo el nivel de renta y el precio del resto de bienes). Las magnitudes anteriores son precisamente los términos de la matriz jacobiana que hace de diferencial de la función Es decir:.

Por la regla de la cadena de funciones de varias variables y el teorema de la función implícita, la matriz jacobiana anterior puede expresarse como producto de matrices jacobianas:.

En general la expresión anterior resulta muy complicada para una función de utilidad totalmente general. Para una función de utilidad separable:.

La expresión (), es más fácilmente calculable resultado por ejemplo para el primer bien:.

Si admitimos que la utilidad marginal es estrictamente decreciente:.

Entonces si es par el numerador es positivo y el denominador de () es positivo y el numerador negativo, si es impar el numerador es negativo y el denominador positivo, y por tanto en todos los casos bajo la condición anterior la expresión resulta ser negativa, y por tanto queda probado en ese caso que la curva de demanda tiene pendiente negativa.

Ejemplo: Mercado de dos bienes

En esta sección se considera aplicar la teoría de los apartados anteriores a un mercado de dos bienes. En este caso la función de utilidad y la restricción presupuestaria vendrán dadas por:.

La matriz jacobiana de cantidades frente a precios vendrá dada por:.

Siendo una cantidad negativa, suponiendo que la función de utilidad es no-decreciente y convexa[2]​ se tienen las condiciones:.

Bajo esos supuestos se demuestra que la "curva" de demanda tiene pendiente negativa en todos sus puntos ya que:.