Ejemplos de sistemas de coordenadas
Sistema coordenado lineal
Es el conjunto de los números reales representado gráficamente por una recta en la que se pueden ubicar todos los números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, etc.[3].
Cada punto de la recta representa un número real, ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, como por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta graduada como la entera[3] de puntos ordenados y separados entre sí a la misma distancia. El punto que representa el cero () es el punto de referencia principal del sistema de coordenadas, llamado punto de origen.
Tomando en cuenta que cada uno de los puntos de la recta representa gráficamente un número real, a la derecha del punto origen se hallan todos los números reales positivos y a la izquierda todos los números reales negativos.[4].
Para representar un número de la recta real se emplean las letras mayúsculas y sus coordenadas correspondientes, por ejemplo, los puntos A(5), B(3), C(-3), D(-5),etc.
Sistema de coordenadas cartesianas
En un espacio euclídeo, un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados "Factores de escala (coordenadas ortogonales)"), dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto () sobre un eje determinado:.
Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector () tal que:.
El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x:.
Sistema de coordenadas polares
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto "Punto (geometría)") o posición del plano se determina mediante un ángulo y una distancia.[5].
Se elige un punto como polo y se toma una semirrecta desde este punto como eje polar. Para un ángulo dado , hay una única línea recta que pasa por el polo cuyo ángulo con el eje polar es (medido en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje hasta la línea). Entonces hay un único punto en esta línea cuya distancia con signo al origen es r para un número dado r. Para un par de coordenadas dado hay un único punto, pero cualquier punto está representado por muchos pares de coordenadas. Por ejemplo, , y son todas coordenadas polares para el mismo punto. El polo está representado por para cualquier valor de .
Sistema de coordenadas log-polares
Es un sistema de coordenadas donde un punto se identifica con dos números, uno para el logaritmo de la distancia a un cierto punto y otro para un ángulo. Las coordenadas logarítmicas están estrechamente conectadas con las coordenadas polares, que generalmente se usan para describir dominios en el plano con algún tipo de simetría rotacional.
Sistema de coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.
Sistema de coordenadas esféricas
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.
Coordenadas geográficas
Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud "Longitud (cartografía)"), que pueden mostrase en los siguientes formatos:.
También se pueden definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM.
Coordenadas curvilíneas generales
Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar los puntos de un espacio localmente euclídeo o de una variedad diferenciable (globalmente, el espacio puede ser euclídeo, pero no necesariamente). Si se trata de un espacio localmente euclídeo de dimensión , se puede construir un sistema de coordenadas curvilíneo local en torno a un punto siempre a partir de cualquier difeomorfismo que cumpla:.
Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas como:.
Si el espacio localmente euclídeo tiene la estructura de variedad de Riemann se pueden clasificar ciertos sistemas de coordenadas curvilíneas como sistemas de coordenadas ortogonales o incluso como sistemas de coordenadas ortonormales. Las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales sobre el espacio euclídeo .
Coordenadas curvilíneas ortogonales
Un sistema de coordenadas curvilíneas se llama ortogonal cuando el tensor métrico expresado en esas coordenadas tiene una forma diagonal. Cuando eso sucede muchas de las fórmulas del cálculo vectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese hecho cuando existe por ejemplo simetría axial, esférica o de otro tipo fácilmente representable en esas coordenadas curvilíneas ortogonales.
Las coordenadas esféricas y cilíndricas son casos particulares de coordenadas curvilíneas ortogonales.
Coordenadas homogéneas
En matemáticas, y más concretamente en geometría proyectiva, las coordenadas homogéneas son un instrumento usado para describir un punto en el espacio proyectivo. Fueron introducidas por el matemático alemán August Ferdinand Möbius en el año 1837.
También pueden usarse como un sistema alternativo de coordenadas para trabajar en el espacio euclídeo, pues este puede verse como un subconjunto del espacio proyectivo. De ese modo, las coordenadas homogéneas son ampliamente usadas en infografía para la representación de escenas en tres dimensiones. Su notación en forma matricial se emplea en bibliotecas de programación gráfica en 3D como OpenGL y Direct3D.
En coordenadas homogéneas, todo punto "Punto (geometría)") bidimensional está definido por tres coordenadas, de tal modo que un punto de dimensiones , se representa por la terna.
Las coordenadas en dos dimensiones se pueden encontrar más fácilmente si , por simplificación. En tres dimensiones, suele ocurrir lo mismo.[6][7].
Una consecuencia de esta escritura es que un punto propio tiene infinitas formas de escribirse, pues está determinado por una relación de equivalencia entre el punto en cuestión y aquellos otros contenidos en la recta que genera.
La idea básica se trata de ampliar el plano euclídeo (en el caso bidimensional) al plano proyectivo. Esto implica la consideración de los puntos impropios, o del infinito. Un punto impropio es aquel donde , y está determinado por la dirección de una recta, contenida en el plano proyectivo.[8].
Otros sistemas de uso común
Algunos otros sistemas de coordenadas comunes son los siguientes:.
Hay formas de describir curvas sin coordenadas, utilizando ecuaciones intrínsecas que usan cantidades invariantes como la curvatura y la longitud de arco. Estas incluyen:.