Axiomas

Na geometria euclidiana, axiomas e postulados são proposições que relacionam conceitos, definidos em termos do ponto, da reta e do plano. Euclides propôs cinco postulados e foi o quinto (o postulado do paralelismo) que séculos mais tarde – quando muitos geómetras o questionaram ao analisá-lo – deu origem a novas geometrias: a elíptica (geometria de Riemann) ou a geometria hiperbólica de Nikolai Lobachevsky.

Na geometria analítica, os axiomas são definidos em termos de equações de pontos, com base em análise matemática e álgebra. Falar de pontos, retas ou planos ganha outro novo significado. Você pode definir qualquer função, seja uma linha, um círculo, um plano, etc.

Euclides adotou uma abordagem abstrata da geometria em seus Elementos,[7]​ um dos livros mais influentes já escritos.[8]​ Euclides introduziu certos axiomas ou postulados que expressam propriedades primárias ou autoevidentes de pontos, retas e planos.[9]​ Ele passou a deduzir rigorosamente outras propriedades por meio do raciocínio matemático. O traço característico da abordagem de Euclides à geometria era o seu rigor, e ela passou a ser conhecida como geometria axiomática ou sintética.[10] No início do século XIX, a descoberta de geometrias não euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e outros[11]​ levou a Houve um ressurgimento do interesse nesta disciplina, e no século XIX, David Hilbert (1862–1943) empregou o raciocínio axiomático na tentativa de fornecer uma base moderna para a geometria.[12]

Pontos

Pontos "Ponto (geometria)") são considerados objetos fundamentais na geometria euclidiana. Eles foram definidos de várias maneiras, incluindo a definição de Euclides como "aquilo que não tem parte" [13] e pelo uso de álgebra ou conjuntos aninhados. Em muitas áreas da geometria, como geometria analítica, geometria diferencial e topologia, todos os objetos são considerados construídos a partir de pontos. No entanto, alguns estudos de geometria foram realizados sem referência a pontos.[15]​.

Linhas

Euclides descreveu uma linha como “comprimento sem largura” que “está igualmente em relação aos pontos sobre si mesma”. Na matemática moderna, dada a multiplicidade de geometrias, o conceito de linha está intimamente relacionado à forma como a geometria é descrita. Por exemplo, na geometria analítica, uma linha no plano é frequentemente definida como o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem uma dada equação linear,[16]​ mas em um cenário mais abstrato, como a geometria de incidência, uma linha pode ser um objeto independente, distinto do conjunto de pontos sobre ela.[17]​ Na geometria diferencial, uma geodésica é uma generalização da noção de linha para espaços curvos.[18]​.

Planos

Um plano é uma superfície plana bidimensional que se estende infinitamente.[13] Os planos são usados ​​em todas as áreas da geometria. Por exemplo, os planos podem ser estudados como uma superfície topológica sem referência a distâncias ou ângulos;[19]​ podem ser estudados como um espaço afim, onde a colinearidade e as proporções podem ser estudadas, mas não as distâncias;[20]​ pode ser estudado como o plano complexo usando técnicas de análise complexas;[21]​ e assim por diante.

Ângulos

Euclides define um ângulo plano como a inclinação uma em relação à outra, em um plano, de duas linhas que se encontram e não são retas entre si.[13]​ Em termos modernos, um ângulo é a figura formada por dois raios de luz, chamados lados do ângulo, que compartilham um ponto final comum, chamado vértice do ângulo.[22]​.

Na geometria euclidiana, os ângulos são usados ​​para estudar polígonos e triângulos, além de formar um objeto de estudo por si só.[13]​ O estudo dos ângulos de um triângulo ou dos ângulos em um círculo unitário constitui a base da trigonometria.[23]​.

Na geometria diferencial e no cálculo, os ângulos entre curvas planas ou curvas espaciais ou superfícies podem ser calculados usando a derivada.[24][25]​.

Curvas

Uma curva é um objeto unidimensional que pode ou não ser reto (como uma linha); As curvas no espaço bidimensional são chamadas de curvas planas e aquelas no espaço tridimensional são chamadas de curvas espaciais.[26]​.

Na topologia, uma curva é definida por uma função de um intervalo dos números reais para outro espaço.[19]​ Na geometria diferencial, a mesma definição é usada, mas a função definidora deve ser diferenciável.[27]​ A geometria algébrica estuda curvas algébricas, que são definidas como variedades algébricas de dimensão um.[28]​.

Superfícies

Uma superfície é um objeto bidimensional, como uma esfera ou um parabolóide.[29]​ Em geometria diferencial[27]​ e topologia,[19]​ as superfícies são descritas por "remendos" (ou vizinhanças) bidimensionais que são montados usando difeomorfismos ou homeomorfismos, respectivamente. Na geometria algébrica, as superfícies são descritas por equações polinomiais.[28]​.

Variedades

Uma variedade "Variedade (matemática)") é uma generalização dos conceitos de curva e superfície. Na topologia, uma variedade é um espaço topológico onde cada ponto tem uma vizinhança que é homeomórfica ao espaço euclidiano.[19]​ Na geometria diferencial, uma variedade diferenciável é um espaço onde cada vizinhança é difeomórfica ao espaço euclidiano.[27]​.

As variedades são amplamente utilizadas na física, incluindo a relatividade geral e a teoria das cordas.[30]​.

Comprimento, área e volume

Comprimento, área e volume descrevem o tamanho ou extensão de um objeto em uma dimensão, duas dimensões e três dimensões, respectivamente.[31]​.

Na geometria euclidiana e na geometria analítica, o comprimento de um segmento de linha pode muitas vezes ser calculado usando o teorema de Pitágoras.[32]​.

A área e o volume podem ser definidos como quantidades fundamentais separadas do comprimento, ou podem ser descritos e calculados em termos de comprimentos em um plano ou espaço tridimensional.[31] Os matemáticos encontraram muitas fórmulas explícitas para a área e fórmulas para o volume de vários objetos geométricos. No cálculo, área e volume podem ser definidos em termos de integrais, como a integral de Riemann[33]​ ou a integral de Lebesgue.[34]​.

Métricas e medidas

O conceito de comprimento ou distância pode ser generalizado, dando origem à ideia de métrica.[35] Por exemplo, a métrica euclidiana mede a distância entre pontos no plano euclidiano, enquanto a métrica hiperbólica mede a distância no plano hiperbólico. Outros exemplos importantes de métricas incluem a métrica de Lorentz da relatividade especial e a métrica semi-Riemanniana da relatividade geral.[36]​.

Em outra direção, os conceitos de comprimento, área e volume são ampliados com a teoria da medição, que estuda métodos de atribuição de tamanho ou medida a conjuntos, onde as medidas seguem regras semelhantes às da área e volume clássicos.[37]​.

Congruência e semelhança

Congruência e similaridade são conceitos que descrevem quando duas formas têm características semelhantes.[38]​ Na geometria euclidiana, a similaridade é usada para descrever objetos que têm a mesma forma, enquanto a congruência é usada para descrever objetos que são iguais em tamanho e forma.[39]​ Hilbert, em seu trabalho sobre a criação de uma base mais rigorosa para a geometria, tratou a congruência como um termo indefinido cujas propriedades são definidas por axiomas.

Congruência e similaridade são generalizadas na geometria de transformação, que estuda as propriedades de objetos geométricos que são preservados por diferentes tipos de transformações.[40]​.

Construções com compasso e régua

Os geômetras clássicos prestaram especial atenção à construção de objetos geométricos descritos de alguma outra forma. Classicamente, os únicos instrumentos permitidos nas construções geométricas são o compasso “Compasso (instrumento)”) e a régua. Além disso, cada construção teve que ser concluída em um número finito de etapas. No entanto, alguns problemas revelaram-se difíceis ou impossíveis de resolver apenas por estes meios, e foram encontradas construções engenhosas utilizando parábolas e outras curvas, bem como dispositivos mecânicos.

Dimensão

Onde a geometria tradicional permitia as dimensões de uma linha de um plano e o nosso mundo ambiental concebido como um espaço tridimensional, os matemáticos e os físicos usaram dimensões mais elevadas durante quase dois séculos.[41] Um exemplo de uso matemático para dimensões superiores é o espaço de configuração de um sistema físico, que possui dimensão igual aos graus de liberdade do sistema. Por exemplo, a configuração de um parafuso pode ser descrita por cinco coordenadas.[42]​.

Na topologia geral, o conceito de dimensão foi estendido de números naturais para dimensão infinita (espaços de Hilbert, por exemplo) e números reais positivos (na geometria fractal).[43]​ Na geometria algébrica, a dimensão de uma variedade algébrica recebeu várias definições aparentemente diferentes, que são todas equivalentes nos casos mais comuns.[44]​.

Simetria

O tópico da simetria na geometria é quase tão antigo quanto a própria ciência da geometria.[45] Formas simétricas como o círculo, polígonos regulares e sólidos platônicos tinham um significado profundo para muitos filósofos antigos[46] e foram investigadas em detalhes antes da época de Euclides.[9] Padrões simétricos ocorrem na natureza e foram representados artisticamente em uma infinidade de formas, incluindo os gráficos de Leonardo da Vinci, MC Escher e outros.[47]​ Na segunda metade do século, a relação entre simetria e geometria ficou sob intenso escrutínio.

O programa Erlangen de Felix Klein proclamou que, em um sentido muito preciso, a simetria, expressa através da noção de um grupo de transformação), determina o que é a geometria.[48] A simetria na geometria euclidiana clássica é representada por congruências e movimentos rígidos, enquanto na geometria projetiva um papel análogo é desempenhado por hillions, transformações geométricas que convertem linhas retas em linhas retas. A ideia de Riemann, Clifford e Klein e Sophus Lieque Klein de "definir uma geometria através de seu grupo de simetria" encontrou sua inspiração.[50] Ambas as simetrias discretas e contínuas desempenham um papel proeminente na geometria, a primeira na topologia e na teoria dos grupos geométricos,[51][52]​ a última na teoria de Lie) e na geometria de Riemann.[53][54]​.

Um tipo diferente de simetria é o princípio da dualidade "Dualidade (geometria projetiva)") na geometria projetiva, entre outros campos. Este metafenômeno pode ser descrito aproximadamente da seguinte forma: em qualquer teorema, troque "ponto" por "plano", "junte" por "encontrar", "encontre" por "contém" e o resultado é um teorema igualmente verdadeiro.[55]​ Uma forma semelhante e intimamente relacionada de dualidade existe entre um espaço vetorial e seu espaço dual.[56]​.

Axiomas

Na geometria euclidiana, axiomas e postulados são proposições que relacionam conceitos, definidos em termos do ponto, da reta e do plano. Euclides propôs cinco postulados e foi o quinto (o postulado do paralelismo) que séculos mais tarde – quando muitos geómetras o questionaram ao analisá-lo – deu origem a novas geometrias: a elíptica (geometria de Riemann) ou a geometria hiperbólica de Nikolai Lobachevsky.

Na geometria analítica, os axiomas são definidos em termos de equações de pontos, com base em análise matemática e álgebra. Falar de pontos, retas ou planos ganha outro novo significado. Você pode definir qualquer função, seja uma linha, um círculo, um plano, etc.

Euclides adotou uma abordagem abstrata da geometria em seus Elementos,[7]​ um dos livros mais influentes já escritos.[8]​ Euclides introduziu certos axiomas ou postulados que expressam propriedades primárias ou autoevidentes de pontos, retas e planos.[9]​ Ele passou a deduzir rigorosamente outras propriedades por meio do raciocínio matemático. O traço característico da abordagem de Euclides à geometria era o seu rigor, e ela passou a ser conhecida como geometria axiomática ou sintética.[10] No início do século XIX, a descoberta de geometrias não euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e outros[11]​ levou a Houve um ressurgimento do interesse nesta disciplina, e no século XIX, David Hilbert (1862–1943) empregou o raciocínio axiomático na tentativa de fornecer uma base moderna para a geometria.[12]

Pontos

Pontos "Ponto (geometria)") são considerados objetos fundamentais na geometria euclidiana. Eles foram definidos de várias maneiras, incluindo a definição de Euclides como "aquilo que não tem parte" [13] e pelo uso de álgebra ou conjuntos aninhados. Em muitas áreas da geometria, como geometria analítica, geometria diferencial e topologia, todos os objetos são considerados construídos a partir de pontos. No entanto, alguns estudos de geometria foram realizados sem referência a pontos.[15]​.

Linhas

Euclides descreveu uma linha como “comprimento sem largura” que “está igualmente em relação aos pontos sobre si mesma”. Na matemática moderna, dada a multiplicidade de geometrias, o conceito de linha está intimamente relacionado à forma como a geometria é descrita. Por exemplo, na geometria analítica, uma linha no plano é frequentemente definida como o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem uma dada equação linear,[16]​ mas em um cenário mais abstrato, como a geometria de incidência, uma linha pode ser um objeto independente, distinto do conjunto de pontos sobre ela.[17]​ Na geometria diferencial, uma geodésica é uma generalização da noção de linha para espaços curvos.[18]​.

Planos

Um plano é uma superfície plana bidimensional que se estende infinitamente.[13] Os planos são usados ​​em todas as áreas da geometria. Por exemplo, os planos podem ser estudados como uma superfície topológica sem referência a distâncias ou ângulos;[19]​ podem ser estudados como um espaço afim, onde a colinearidade e as proporções podem ser estudadas, mas não as distâncias;[20]​ pode ser estudado como o plano complexo usando técnicas de análise complexas;[21]​ e assim por diante.

Ângulos

Euclides define um ângulo plano como a inclinação uma em relação à outra, em um plano, de duas linhas que se encontram e não são retas entre si.[13]​ Em termos modernos, um ângulo é a figura formada por dois raios de luz, chamados lados do ângulo, que compartilham um ponto final comum, chamado vértice do ângulo.[22]​.

Na geometria euclidiana, os ângulos são usados ​​para estudar polígonos e triângulos, além de formar um objeto de estudo por si só.[13]​ O estudo dos ângulos de um triângulo ou dos ângulos em um círculo unitário constitui a base da trigonometria.[23]​.

Na geometria diferencial e no cálculo, os ângulos entre curvas planas ou curvas espaciais ou superfícies podem ser calculados usando a derivada.[24][25]​.

Curvas

Uma curva é um objeto unidimensional que pode ou não ser reto (como uma linha); As curvas no espaço bidimensional são chamadas de curvas planas e aquelas no espaço tridimensional são chamadas de curvas espaciais.[26]​.

Na topologia, uma curva é definida por uma função de um intervalo dos números reais para outro espaço.[19]​ Na geometria diferencial, a mesma definição é usada, mas a função definidora deve ser diferenciável.[27]​ A geometria algébrica estuda curvas algébricas, que são definidas como variedades algébricas de dimensão um.[28]​.

Superfícies

Uma superfície é um objeto bidimensional, como uma esfera ou um parabolóide.[29]​ Em geometria diferencial[27]​ e topologia,[19]​ as superfícies são descritas por "remendos" (ou vizinhanças) bidimensionais que são montados usando difeomorfismos ou homeomorfismos, respectivamente. Na geometria algébrica, as superfícies são descritas por equações polinomiais.[28]​.

Variedades

Uma variedade "Variedade (matemática)") é uma generalização dos conceitos de curva e superfície. Na topologia, uma variedade é um espaço topológico onde cada ponto tem uma vizinhança que é homeomórfica ao espaço euclidiano.[19]​ Na geometria diferencial, uma variedade diferenciável é um espaço onde cada vizinhança é difeomórfica ao espaço euclidiano.[27]​.

As variedades são amplamente utilizadas na física, incluindo a relatividade geral e a teoria das cordas.[30]​.

Comprimento, área e volume

Comprimento, área e volume descrevem o tamanho ou extensão de um objeto em uma dimensão, duas dimensões e três dimensões, respectivamente.[31]​.

Na geometria euclidiana e na geometria analítica, o comprimento de um segmento de linha pode muitas vezes ser calculado usando o teorema de Pitágoras.[32]​.

A área e o volume podem ser definidos como quantidades fundamentais separadas do comprimento, ou podem ser descritos e calculados em termos de comprimentos em um plano ou espaço tridimensional.[31] Os matemáticos encontraram muitas fórmulas explícitas para a área e fórmulas para o volume de vários objetos geométricos. No cálculo, área e volume podem ser definidos em termos de integrais, como a integral de Riemann[33]​ ou a integral de Lebesgue.[34]​.

Métricas e medidas

O conceito de comprimento ou distância pode ser generalizado, dando origem à ideia de métrica.[35] Por exemplo, a métrica euclidiana mede a distância entre pontos no plano euclidiano, enquanto a métrica hiperbólica mede a distância no plano hiperbólico. Outros exemplos importantes de métricas incluem a métrica de Lorentz da relatividade especial e a métrica semi-Riemanniana da relatividade geral.[36]​.

Em outra direção, os conceitos de comprimento, área e volume são ampliados com a teoria da medição, que estuda métodos de atribuição de tamanho ou medida a conjuntos, onde as medidas seguem regras semelhantes às da área e volume clássicos.[37]​.

Congruência e semelhança

Congruência e similaridade são conceitos que descrevem quando duas formas têm características semelhantes.[38]​ Na geometria euclidiana, a similaridade é usada para descrever objetos que têm a mesma forma, enquanto a congruência é usada para descrever objetos que são iguais em tamanho e forma.[39]​ Hilbert, em seu trabalho sobre a criação de uma base mais rigorosa para a geometria, tratou a congruência como um termo indefinido cujas propriedades são definidas por axiomas.

Congruência e similaridade são generalizadas na geometria de transformação, que estuda as propriedades de objetos geométricos que são preservados por diferentes tipos de transformações.[40]​.

Construções com compasso e régua

Os geômetras clássicos prestaram especial atenção à construção de objetos geométricos descritos de alguma outra forma. Classicamente, os únicos instrumentos permitidos nas construções geométricas são o compasso “Compasso (instrumento)”) e a régua. Além disso, cada construção teve que ser concluída em um número finito de etapas. No entanto, alguns problemas revelaram-se difíceis ou impossíveis de resolver apenas por estes meios, e foram encontradas construções engenhosas utilizando parábolas e outras curvas, bem como dispositivos mecânicos.

Dimensão

Onde a geometria tradicional permitia as dimensões de uma linha de um plano e o nosso mundo ambiental concebido como um espaço tridimensional, os matemáticos e os físicos usaram dimensões mais elevadas durante quase dois séculos.[41] Um exemplo de uso matemático para dimensões superiores é o espaço de configuração de um sistema físico, que possui dimensão igual aos graus de liberdade do sistema. Por exemplo, a configuração de um parafuso pode ser descrita por cinco coordenadas.[42]​.

Na topologia geral, o conceito de dimensão foi estendido de números naturais para dimensão infinita (espaços de Hilbert, por exemplo) e números reais positivos (na geometria fractal).[43]​ Na geometria algébrica, a dimensão de uma variedade algébrica recebeu várias definições aparentemente diferentes, que são todas equivalentes nos casos mais comuns.[44]​.

Simetria

O tópico da simetria na geometria é quase tão antigo quanto a própria ciência da geometria.[45] Formas simétricas como o círculo, polígonos regulares e sólidos platônicos tinham um significado profundo para muitos filósofos antigos[46] e foram investigadas em detalhes antes da época de Euclides.[9] Padrões simétricos ocorrem na natureza e foram representados artisticamente em uma infinidade de formas, incluindo os gráficos de Leonardo da Vinci, MC Escher e outros.[47]​ Na segunda metade do século, a relação entre simetria e geometria ficou sob intenso escrutínio.

O programa Erlangen de Felix Klein proclamou que, em um sentido muito preciso, a simetria, expressa através da noção de um grupo de transformação), determina o que é a geometria.[48] A simetria na geometria euclidiana clássica é representada por congruências e movimentos rígidos, enquanto na geometria projetiva um papel análogo é desempenhado por hillions, transformações geométricas que convertem linhas retas em linhas retas. A ideia de Riemann, Clifford e Klein e Sophus Lieque Klein de "definir uma geometria através de seu grupo de simetria" encontrou sua inspiração.[50] Ambas as simetrias discretas e contínuas desempenham um papel proeminente na geometria, a primeira na topologia e na teoria dos grupos geométricos,[51][52]​ a última na teoria de Lie) e na geometria de Riemann.[53][54]​.

Um tipo diferente de simetria é o princípio da dualidade "Dualidade (geometria projetiva)") na geometria projetiva, entre outros campos. Este metafenômeno pode ser descrito aproximadamente da seguinte forma: em qualquer teorema, troque "ponto" por "plano", "junte" por "encontrar", "encontre" por "contém" e o resultado é um teorema igualmente verdadeiro.[55]​ Uma forma semelhante e intimamente relacionada de dualidade existe entre um espaço vetorial e seu espaço dual.[56]​.